歷年高考數(shù)學(xué)真題精選30 立體幾何中的平行關(guān)系31 立體幾何中的垂直關(guān)系

1、歷年高考數(shù)學(xué)真題精選（按考試點(diǎn)分類)專題30平行關(guān)系(學(xué)生版）1.（21江蘇)如圖,在直三棱柱中，分別為，的中點(diǎn)，.求證：(）平面；(）2（217江蘇）如圖，在三棱錐中，平面平面，點(diǎn)、與、不重合）分別在棱，上，且。求證：未經(jīng)許可 請(qǐng)勿轉(zhuǎn)載(1)平面;(2)3（06山東)在如圖所示的幾何體中,是的中點(diǎn),（）已知，求證:；（)已知，分別是和的中點(diǎn),求證:平面.4(201新課標(biāo))如圖，直三棱柱中,，分別是，的中點(diǎn)(）證明:平面；（），求三棱錐的體積5。（203山東）如圖,四棱錐中，,，,，分別為、的中點(diǎn)。未經(jīng)許可 請(qǐng)勿轉(zhuǎn)載(）求證:平面()求證：平面平面.6.(213天津)如圖，三棱柱中，側(cè)棱底面，

2、且各棱長(zhǎng)均相等,分別為棱，的中點(diǎn)未經(jīng)許可 請(qǐng)勿轉(zhuǎn)載（）證明平面；(）證明平面平面；（）求直線與平面所成角的正弦值7。（013北京）如圖,在四棱錐中,，平面底面，和分別是和的中點(diǎn)，求證：未經(jīng)許可 請(qǐng)勿轉(zhuǎn)載（）底面；（）平面；（)平面平面8。（212山東）如圖,幾何體是四棱錐，為正三角形，()求證：；()若，為線段的中點(diǎn)，求證：平面9（202遼寧)如圖,直三棱柱,，點(diǎn),分別為和的中點(diǎn)（)證明:平面;(）求三棱錐的體積（錐體體積公式，其中為底面面積,為高）0(2012北京）如圖1,在中，,分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段上的一點(diǎn)，將沿折起到的位置，使，如圖2未經(jīng)許可 請(qǐng)勿轉(zhuǎn)載(1)求證：平面;（）求證：;（

3、3）線段上是否存在點(diǎn)，使平面？說(shuō)明理由.（2010湖南)如圖所示，在正方體中，是棱的中點(diǎn)。（）求直線與平面所成的角的正弦值；（）在棱上是否存在一點(diǎn)，使平面?證明你的結(jié)論。12.（2013陜西）如圖，四棱柱的底面是正方形，為底面中心，平面，(）證明:平面平面；（) 求三棱柱的體積1（01山東）如圖，在四棱臺(tái)中，平面，底面是平行四邊形,，()證明：；（）證明：平面歷年高考數(shù)學(xué)真題精選(按考試點(diǎn)分類）專題0平行關(guān)系（教師版）1(2019江蘇)如圖,在直三棱柱中，分別為，的中點(diǎn)，求證：（1)平面;（）.證明:（1）在直三棱柱中，分別為，的中點(diǎn)，平面，平面，平面.解：(）在直三棱柱中，是的中點(diǎn)，。，又,

4、平面,平面，。（01江蘇）如圖，在三棱錐中，平面平面，點(diǎn)、與、不重合)分別在棱,上，且求證：未經(jīng)許可 請(qǐng)勿轉(zhuǎn)載(1）平面；（）證明:（1），且、四點(diǎn)共面，,又平面,平面，平面;(2)在線段上取點(diǎn),連結(jié)、使得，則，又平面平面，平面平面，平面，平面，平面，,，且，平面，平面，,，3。（21山東）在如圖所示的幾何體中，是的中點(diǎn),()已知，求證：；()已知，分別是和的中點(diǎn),求證：平面（)證明：如圖所示,是的中點(diǎn)，,、都是等腰三角形，、四點(diǎn)共面，這樣，垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線、，平面顯然，平面，.()已知，分別是和的中點(diǎn),再取的中點(diǎn)，則，又，故有,而平面，平面.同理，而平面,平面。,平面平面，平面。（

5、213新課標(biāo))如圖,直三棱柱中，分別是，的中點(diǎn)(）證明：平面;（),，求三棱錐的體積.解：(）證明：連接 交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)直棱柱中,，分別是,的中點(diǎn)，故為三角形的中位線,故.由于平面，而不在平面中，故有平面（）,故此直三棱柱的底面為等腰直角三角形。由為的中點(diǎn)可得平面，同理，利用勾股定理求得,.再由勾股定理可得,5（013山東）如圖,四棱錐中,，,，分別為、的中點(diǎn)。未經(jīng)許可 請(qǐng)勿轉(zhuǎn)載（）求證：平面（)求證：平面平面解：（)證明:四棱錐中,，,，分別為、的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，則由,而且，,可得和平行且相等，故四邊形為平行四邊形，故.由于在平面內(nèi),而不在平面內(nèi)，故有平面(）證明：由于，而，可得平面。再

6、由可得，平面。由于是三角形的中位線,故有，故平面.由于為三角形的中位線,可得,而在平面內(nèi),而不在平面內(nèi),故有平面同理可得，平面。而 和是平面內(nèi)的兩條相交直線,故有平面平面平面,而在平面內(nèi)，故有平面平面6。（23天津）如圖,三棱柱中,側(cè)棱底面,且各棱長(zhǎng)均相等，,分別為棱,的中點(diǎn)未經(jīng)許可 請(qǐng)勿轉(zhuǎn)載（）證明平面;（）證明平面平面；（)求直線與平面所成角的正弦值證明:三棱柱中,，連接，可得,，又為棱的中點(diǎn)。，,所以是平行四邊形,所以，平面，平面，平面是的中點(diǎn)，又平面，平面，,又,面，又面,平面平面;過(guò)作交于，平面平面,且平面平面，面,則為所求的角，設(shè)棱長(zhǎng)為，可得，由，得,在直角中,直線與平面所成角的正

7、弦值.7.(2013北京)如圖，在四棱錐中，,平面底面,.和分別是和的中點(diǎn)，求證：未經(jīng)許可 請(qǐng)勿轉(zhuǎn)載()底面;（）平面;（）平面平面解：()，平面平面,平面平面,由平面和平面垂直的性質(zhì)定理可得平面（），和分別是和的中點(diǎn)，故四邊形為平行四邊形,故有.又平面,不在平面內(nèi),故有平面.（)平行四邊形中，由可得,為矩形，故有.由平面,可得，再由可得平面,平面，故有再由、分別為和的中點(diǎn),可得,.而和是平面內(nèi)的兩條相交直線，故有平面.由于平面，平面平面。8。（202山東)如圖，幾何體是四棱錐，為正三角形，（)求證：;（)若，為線段的中點(diǎn)，求證:平面。證明:設(shè)中點(diǎn)為，連接,，則由知，又已知,所以平面。所以,即

8、是的垂直平分線,所以.證法一：取中點(diǎn)，連接,是的中點(diǎn)，,又平面，平面,平面，是等邊三角形，,又，,，,又平面，平面,平面,又,故平面平面,又平面，平面證法二：延長(zhǎng)，交于點(diǎn),連接，是等邊三角形,，因此，,又，為線段的中點(diǎn)，連接，又平面，平面，平面9。(2012遼寧）如圖，直三棱柱,，點(diǎn),分別為和的中點(diǎn).（)證明：平面；(）求三棱錐的體積。（錐體體積公式，其中為底面面積，為高)(）（證法一）連接，,由已知，三棱柱為直三棱柱，所以為的中點(diǎn)，又因?yàn)闉橹悬c(diǎn),所以,又平面，平面，所以平面；(證法二)取中點(diǎn)，連接，.而,分別為，中點(diǎn),所以，所以平面,平面;又,所以平面平面，而平面,所以平面;（)(解法一)連

9、接，由題意,平面平面,所以平面，又,故。(解法二）1（012北京)如圖1,在中,分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段上的一點(diǎn),將沿折起到的位置，使，如圖2未經(jīng)許可 請(qǐng)勿轉(zhuǎn)載(）求證：平面;（）求證:;(3)線段上是否存在點(diǎn)，使平面？說(shuō)明理由.解：（1），分別為，的中點(diǎn)，又平面，平面()由已知得且,，又，平面,而平面，又，平面，（3)線段上存在點(diǎn),使平面.理由如下：如圖，分別取,的中點(diǎn)，,則，平面即為平面。由（）知平面，,又是等腰三角形底邊的中點(diǎn),平面,從而平面，故線段上存在點(diǎn)，使平面11（010湖南)如圖所示，在正方體中,是棱的中點(diǎn).（)求直線與平面所成的角的正弦值;（）在棱上是否存在一點(diǎn),使平面？證明你

10、的結(jié)論。解:如圖（）,取的中點(diǎn)，連接,，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn),四邊形為正方形,所以.又在正方體中平面，所以面，從而為直線在平面上的射影,直線與平面所成的角設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,則，于是在中,即直線與平面所成的角的正弦值為.（）在棱上存在點(diǎn),使平面，事實(shí)上，如圖（b)所示,分別取和的中點(diǎn)，連接,，因，且,所以四邊形為平行四邊形，因此，又，分別為,的中點(diǎn)，所以，從而，這說(shuō)明,共面，所以平面因四邊形與皆為正方形，分別為和的中點(diǎn)，所以，且,因此四邊形為平行四邊形，所以,而平面，平面,故平面未經(jīng)許可 請(qǐng)勿轉(zhuǎn)載12。（201陜西）如圖,四棱柱的底面是正方形，為底面中心，平面，。（)證明：平面平面;(） 求三棱柱的體

11、積解:（）四棱柱的底面是正方形，為底面中心,平面,由棱柱的性質(zhì)可得 和平行且相等,故四邊形為平行四邊形，故有和平行且相等.而不在平面內(nèi),而在平面內(nèi),平面同理可證,為平行四邊形,平面而和是平面內(nèi)的兩條相交直線,故有平面平面。（) 由題意可得為三棱柱的高三角形中，由勾股定理可得，三棱柱的體積。13（2011山東）如圖，在四棱臺(tái)中，平面,底面是平行四邊形,，,。（）證明：；（）證明：平面證明：（）平面，.又,，中,由余弦定理得,，又，面.由面,(）證明:連接和,設(shè)，由于底面是平行四邊形,故為平行四邊形的中心，由棱臺(tái)的定義及，可得，且，故為平行四邊形,，而 平面,平面。歷年高考數(shù)學(xué)真題精選(按考試點(diǎn)分

12、類)專題3 垂直關(guān)系(學(xué)生版)1（019北京)如圖,在四棱錐中,平面，底面為菱形，為的中點(diǎn).（)求證：平面；（)若，求證：平面平面；()棱上是否存在點(diǎn)，使得平面？說(shuō)明理由。(215重慶)如圖，三棱錐中，平面平面，點(diǎn)、在線段上，且，,點(diǎn)在線段上，且未經(jīng)許可 請(qǐng)勿轉(zhuǎn)載()證明:平面.()若四棱錐的體積為7，求線段的長(zhǎng)3（205福建）如圖，是圓的直徑,點(diǎn)是圓上異于，的點(diǎn),垂直于圓所在的平面,且,未經(jīng)許可 請(qǐng)勿轉(zhuǎn)載（）若為線段的中點(diǎn),求證;平面;(）求三棱錐體積的最大值；（）若，點(diǎn)在線段上，求的最小值（214四川）在如圖所示的多面體中，四邊形和都為矩形（）若，證明：直線平面;（）設(shè)、分別是線段、的中點(diǎn)

13、，在線段上是否存在一點(diǎn)，使直線平面？請(qǐng)證明你的結(jié)論。未經(jīng)許可 請(qǐng)勿轉(zhuǎn)載5（204福建）如圖，三棱錐中,平面,。(）求證:平面；（)若，為中點(diǎn)，求三棱錐的體積6（204廣東）如圖1，四邊形為矩形,平面，作如圖2折疊;折痕,其中點(diǎn),分別在線段，上,沿折疊后點(diǎn)疊在線段上的點(diǎn)記為,并且。未經(jīng)許可 請(qǐng)勿轉(zhuǎn)載（）證明：平面；（2）求三棱錐的體積。（2014新課標(biāo)）如圖，三棱柱中，側(cè)面為菱形,的中點(diǎn)為，且平面。（1）證明：；（2)若，,求三棱柱的高.8（2014山東）如圖，四棱錐中，平面，,分別為線段，的中點(diǎn)。（）求證:平面;()求證:平面。9(2013安徽）如圖，四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為2的菱形,已知，（)證

14、明：面（)若為的中點(diǎn)，求三菱錐的體積.10。（21重慶）如圖,四棱錐中，底面,，,.()求證:平面；（）若側(cè)棱上的點(diǎn)滿足，求三棱錐的體積。.（2013新課標(biāo)）如圖,三棱柱中，,(）證明：；（）若，求三棱柱的體積。(219新課標(biāo))圖1是由矩形,和菱形組成的一個(gè)平面圖形,其中，將其沿,折起使得與重合，連結(jié),如圖2未經(jīng)許可 請(qǐng)勿轉(zhuǎn)載（1）證明:圖中的，,四點(diǎn)共面,且平面平面;(）求圖2中的四邊形的面積。13。(20江蘇）在平行六面體中，,.求證:(1）平面；(2）平面平面4.（2018新課標(biāo))如圖，矩形所在平面與半圓弧所在平面垂直，是上異于,的點(diǎn)未經(jīng)許可 請(qǐng)勿轉(zhuǎn)載（1）證明:平面平面；(2）在線段上

15、是否存在點(diǎn)，使得平面?說(shuō)明理由。15。(018新課標(biāo))如圖，在平行四邊形中，以為折痕將折起,使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且.未經(jīng)許可 請(qǐng)勿轉(zhuǎn)載（）證明：平面平面;（2）為線段上一點(diǎn),為線段上一點(diǎn)，且,求三棱錐的體積.16。(07新課標(biāo)）如圖，在四棱錐中,，且（）證明：平面平面；（)若，且四棱錐的體積為,求該四棱錐的側(cè)面積.歷年高考數(shù)學(xué)真題精選（按考試點(diǎn)分類）專題 垂直關(guān)系（教師版)（2019北京)如圖，在四棱錐中，平面，底面為菱形，為的中點(diǎn)(）求證:平面；(）若，求證:平面平面;(）棱上是否存在點(diǎn)，使得平面?說(shuō)明理由。證明：(）四棱錐中，平面，底面為菱形，,，平面（）在四棱錐中,平面，底面為菱形，為的中

16、點(diǎn)，,平面，平面，平面平面解:()棱上是存在中點(diǎn)，使得平面.理由如下：取中點(diǎn)，連結(jié),在四棱錐中，平面，底面為菱形，為的中點(diǎn)，,，平面平面,平面,平面（215重慶)如圖，三棱錐中,平面平面，點(diǎn)、在線段上,且，點(diǎn)在線段上，且。未經(jīng)許可 請(qǐng)勿轉(zhuǎn)載（）證明：平面（)若四棱錐的體積為7，求線段的長(zhǎng)解:(）如圖，由，知，為等腰中邊的中點(diǎn),故，又平面平面，平面平面，平面，所以平面,從而。因?yàn)?，故，從而與平面內(nèi)兩條相交直線，都垂直，所以平面.（）設(shè)，則在直角中，從而,由知,得，故，即，由,，從而四邊形的面積為:。由（)知，平面,所以為四棱錐的高.在直角中，故體積,故得,解得或，由于，可得或.所以：或.3（20

17、15福建)如圖，是圓的直徑,點(diǎn)是圓上異于，的點(diǎn),垂直于圓所在的平面,且，未經(jīng)許可 請(qǐng)勿轉(zhuǎn)載()若為線段的中點(diǎn)，求證;平面;（）求三棱錐體積的最大值；()若，點(diǎn)在線段上，求的最小值。解：（）在中,因?yàn)?為的中點(diǎn)，所以,又垂直于圓所在的平面,所以，因?yàn)?所以平面（)因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，所以當(dāng)時(shí),到的距離最大,且最大值為1,又,所以面積的最大值為，又因?yàn)槿忮F的高，故三棱錐體積的最大值為:(）在中,，所以，同理,所以,在三棱錐中，將側(cè)面繞旋轉(zhuǎn)至平面，使之與平面共面，如圖所示，當(dāng),，共線時(shí),取得最小值,又因?yàn)?所以垂直平分，即為中點(diǎn).從而亦即的最小值為：.（20四川）在如圖所示的多面體中，四邊形和都為矩形(

18、）若,證明：直線平面；(）設(shè)、分別是線段、的中點(diǎn)，在線段上是否存在一點(diǎn)，使直線平面?請(qǐng)證明你的結(jié)論未經(jīng)許可 請(qǐng)勿轉(zhuǎn)載(）證明：四邊形和都為矩形，平面,平面，,直線平面;（)解:取的中點(diǎn),連接，,設(shè)為,的交點(diǎn),則為的中點(diǎn)。連接，,則,，,，,連接，則四邊形為平行四邊形，平面,平面,平面,線段上存在一點(diǎn)（線段的中點(diǎn)），使直線平面5.（20福建)如圖，三棱錐中，平面,(）求證：平面；()若，為中點(diǎn),求三棱錐的體積.（）證明:平面,平面，,平面；(）解：平面，平面,，為中點(diǎn)，平面，。（214廣東）如圖1,四邊形為矩形,平面，,作如圖2折疊;折痕，其中點(diǎn)，分別在線段，上,沿折疊后點(diǎn)疊在線段上的點(diǎn)記為，并

19、且。未經(jīng)許可 請(qǐng)勿轉(zhuǎn)載（1)證明：平面；()求三棱錐的體積。解：（1）證明:平面，平面,平面平面;又平面平面,平面,，平面，平面,;又，、平面，平面;（）平面，又中,，,，；,，即，,；，.（201新課標(biāo))如圖，三棱柱中,側(cè)面為菱形，的中點(diǎn)為,且平面。（1)證明:；（）若,，求三棱柱的高。()證明:連接，則為與的交點(diǎn)，側(cè)面為菱形,，平面,，平面,平面,；(2）解：作,垂足為，連接，作,垂足為,，,，平面，,平面,為等邊三角形，,，由，可得，,為的中點(diǎn)，到平面的距離為,三棱柱的高。8（21山東)如圖，四棱錐中，平面,分別為線段，的中點(diǎn).（）求證：平面；(）求證：平面。證明：（）連接，則，為線段的

20、中點(diǎn)，四邊形是平行四邊形，是平行四邊形，設(shè)，連接，則是的中點(diǎn),為線段的中點(diǎn)，,平面，平面，平面;（)是平行四邊形，,平面,平面，,四邊形是平行四邊形，四邊形是菱形，,，平面.9（2013安徽）如圖，四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為的菱形，。已知，。（）證明：面（）若為的中點(diǎn)，求三菱錐的體積.(）證明：連接，交于點(diǎn),又是菱形,，平面，平面，平面（）則,和的三邊長(zhǎng)均為,，,，10（201重慶)如圖，四棱錐中，底面,，()求證：平面；（）若側(cè)棱上的點(diǎn)滿足,求三棱錐的體積解：(）,為等腰三角形，再由，.再由底面,可得而,故平面。（）側(cè)棱上的點(diǎn)滿足，三棱錐的高是三棱錐的高的的面積。三棱錐的體積11.（13新課標(biāo)）如圖,三棱柱中，（)證明：；(）若,，求三棱柱的體積()證明：如圖，取的中點(diǎn),連結(jié),，因?yàn)?所以由于，故為等邊三角形，所以.因?yàn)?所以平面。又平面，故；（）解：由題設(shè)知與都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，所以又，則，故.因?yàn)?所以平面，為三棱柱的高.又的面積，故三棱柱的體積12(201新課標(biāo)）圖是由矩形,和菱形組成的一個(gè)平面圖形，其中，.將其沿，折起使得與重合，連結(jié)，如圖2未經(jīng)許可 請(qǐng)勿轉(zhuǎn)載（）證明:圖2中的，四點(diǎn)共面，