§4 基變換與坐標(biāo)變換

1、遼東學(xué)院教案紙第6.4. 頁課程：高等代數(shù)4基變換與坐標(biāo)變換教學(xué)目的通過教學(xué)，使學(xué)生理解基變換定理及可逆矩陣的同何意義，掌握坐標(biāo)變換公式.教學(xué)內(nèi)容在數(shù)域F上的n維向量空間V中，若取定一個基a，a，則1nV中每個向量a在這個基下有唯一確定的坐標(biāo).對于不同的基，同一個向量a的坐標(biāo)一般是不同的.本節(jié)討論基的變動，以及同一個向量的坐標(biāo)是如何隨其變化的.4.1基變換設(shè)a，a與p，p是V的兩個基，則1n1n0二aa+aa+aa1111212n1n0=aa+aa+aa2121222n2n.0=aa+aahfaaJn1n12n2nnn將（1）用矩陣表示，記作（p，p，p）=（a，a，a）A,其中A=（a.）G

2、M（F）.（2）TOC o 1-5 h z廠1廠2n12nijnnn請注意，（2）的寫法是“形式的”因為在這里是以一般的向量空間V的元素a，a，a構(gòu)成有序元素組（a，a，a），不是以數(shù)域F12n12n的元素構(gòu)成有序數(shù)組，但是我們卻賦予它與數(shù)域F上的有序數(shù)組一樣的運算性質(zhì).對于具體的n維列（行）向量空間Fn,由于a，a都1n是n元有序數(shù)組，因此當(dāng)a，.,a為列向量時，有序元數(shù)組1n（a，a，a）表示以a，a，a為列的矩陣，這時（2）正好是第12n12n一章講的矩陣乘法形式.設(shè)（a，a，a）與（p，p，p）是V的兩個向量組，12n12nA=（a.）nn，B=（bj）GMn（F），則上述矩陣形式寫法

3、滿足以下運算規(guī)則：（a，a，a）A）B=（a，a，a）（AB），12n12n（a，a，a）A+（a，a，a）B=（a，a，a）（A+B），12n12n12n（a，a，-a）A+（p，p，p）A=（a+p,a+p，a+p）A.1因為上述矩陣形式寫法的定義與矩1陣乘法的定義在形式上一樣，所以把矩陣乘法的有關(guān)運算法則的證明重復(fù)一遍，便得出上述三個規(guī)則因此，這里將其證明略述.課程：高等代數(shù),到基p,p，pn12n公式(2)中出現(xiàn)的矩陣A叫做由基a1，a2，a的過渡矩陣.a2，a到基p1,p2,.,2n12命題641在n維向量空間V中，基d,p的過渡矩陣是可逆矩陣.1n證設(shè)(p,p，p)=(a,a,.a

4、)A，要證A可逆.用反證法,12n12n假如A不可逆，則IAI=0.于是齊次線性方程組AX=0有非零解，rci取一個非零解Y=-，有VCn丿cp+cp+cp-(p,p，p)cn丿a)(AY)-0.nTOC o 1-5 h z1廠12廠2n廠n廠1廠2n=C,a，a力-(a,a，1212這表明p,p，p線性相關(guān)，矛盾.因此A可逆.12n命題6.4.2設(shè)a,a，a是V的一個基，p，peV,且12n1n(p,p，p)=(a,a，a)A.12n12-若A可逆，則p,p，p是V的一個基.12n證只要證p,p，p線性無關(guān)即可.假設(shè)12nkp+kp+kp-011r2(k)/-G,kn丿mia2,丿)0.于是

5、,因為a1,a2,.a是V的一個基，所以從上式得A:k丿ny由A可逆知道kkk0.故p，p線性無關(guān).口TOC o 1-5 h z12n1n由命題6.4.1、6.4.2立得定理641設(shè)a,a，a是數(shù)域F上向量空間V的一個基，且12n(幾，卩2，卩)=叫a2，a)A，12n12n其中A=(a.)GM(F)，則p,p，p是V的一個基的充分且必要(/nnn12n條件為A是可逆矩陣.口這一個定理所刻畫的也正是可逆矩陣的幾何意義.4.2坐標(biāo)變換公式設(shè)aeV在基a，a,.a下的坐標(biāo)是(x，x,，,x)，在基12n12n遼東學(xué)院教案紙課程：高等代數(shù)第6.4. 頁P，P，P下的坐標(biāo)是(y，y)，則12n12na

6、=xa=(a，ii1i=1a，2(X)1X2Xn丿把(3)代入(5),得=y.卩.=(p，ii1i=1yn丿a=(ai，a2a)A)n12=(ai，yn丿yn丿丿(7)因此，再注意到(4),則由坐標(biāo)的唯一性得到fx1x2=Afy丿10)維向量空間，A是由V的基a，a，a到基p，p，p的過渡矩陣，則V中向量a在基TOC o 1-5 h z12n12na，a，a下的坐標(biāo)(x，x，x)與在p，p，p下的坐12n12n12n椒y，y，y)由等式(7)聯(lián)系著.口2n例1取V2的兩個彼此正交的單位向量S，S，作成V2的一個2122基.令V分別是由氣和霜旋轉(zhuǎn)角e所得的向量(圖6-1),則也121212是V2

7、的一個基，且有g(shù)，1=scose+ssineJ112IS=-ssine+scose212圖6-11所以.,2到：,2的過渡矩陣是(cose-sine、sinecose丿設(shè)V2的一個向量a在.,下的坐標(biāo)是(x,x2),在：,：下的坐121212標(biāo)是（x；,x；），則由定理6.4.2得fx=xcos0-xsin0,J112丨x=xsin0+xxcos0.I212這正是平面解析幾何里轉(zhuǎn)軸的坐標(biāo)變換公式.例2在F3中，設(shè)a=（1,0,1）,P=（0,1,1）,a=（2,5,3）,a=(2,1,1)，a=(1,1,1),P2=(-1,1,),3P=(1,2,1),23求基a,a,a到基p,p,p的過渡矩陣T,并且求a分別在這兩123123個基下的坐標(biāo).設(shè)a為a的轉(zhuǎn)置.因為卩=的+k2a2+k3a3OP=W+k2a2+k3a3所以勺，于是，卩2,設(shè)p）=（a，a，a）To（p；p，p）=（a,a，a）T.3123123123a=（a1，a2，a3），b=（p卩2，p3），則從（p1，卩2，p3）需要解這個矩陣方程，可按=（”，”，a）T得出，B=AT.為了求T,123第一章的方法求解.因為f1201-11所以，過渡矩陣121丿行變換1001-24丿設(shè)a在基片，p2,解這個線性方程組得