線性代數(shù)長線基礎(chǔ)講義

1、 線性 線性數(shù)學(xué)-線性數(shù)講l迎使目錄第講 矩第O第講 k 線性第一講行列式行列式按行列2會(huì)用行列式的性質(zhì)和行列式按行列 線性第一講行列式行列式按行列2會(huì)用行列式的性質(zhì)和行列式按行列基本概念1式P方法精講一1行列式的概排n個(gè)O同的元素排成一列，就做n個(gè)元素的全排列，簡排列2比1233級(jí)排列，51324 是一個(gè) 5 級(jí)排列0概念理解點(diǎn)睛1O同的級(jí)排列共有n!個(gè)逆序1逆序jnjsjtjs jtjs在一n 級(jí)排列 逆序2一個(gè)排列中逆序的總數(shù)l排列的逆序數(shù)，記 ( jn2如51324逆序數(shù)5，記作(51324) 5，(123) 0對換任兩個(gè)數(shù)的O置，w余O變，則對排列作了一k對0概念理解點(diǎn)睛1對換一k改

2、變排列的奇偶性2如(123) 0,(321) 32n行列式的定引1 線性D (a (j j )(a1 ij n1 線性D (a (j j )(a1 ij n1(1)(j1aj njn )0概念理解點(diǎn)睛Dn 是一個(gè)數(shù)值，是n!的數(shù)和，每均取自O(shè)同列的個(gè)元素的乘01.001行列式的性性質(zhì)行列式的行P列按原序互換互換后的行列式做行列式的轉(zhuǎn)置aaaaa.an性質(zhì)aiaj a.aj aianan0概念理解點(diǎn)睛i行列式中兩行對元素全相等，w值零，即 ajl(i j,l 1,n) 時(shí)2 線性aiD aj anii若換奇數(shù)k則變號(hào)，偶數(shù)kO變性質(zhì)行列式的某行或列元素都乘k ，則等于行列式的值也乘 線性aiD

3、aj anii若換奇數(shù)k則變號(hào)，偶數(shù)kO變性質(zhì)行列式的某行或列元素都乘k ，則等于行列式的值也乘ai.anan如果行列式某行或列元素皆兩數(shù)之和，則w行列式等于兩個(gè)行列式之a(chǎn)i1 ai2 biain ai.ananan0概念理解點(diǎn)睛某行元素全零的行列式w值零a1a2c1c2.性質(zhì)在行列式中，把某行各元素分別乘非零常數(shù)k ，再加到另一行的對元素行列式的值O變簡對行列式做倍加行變換，w值O變aiai.kai1 akai2 ajkain aaajaanan3 線性1101 ,n10abbb 線性1101 ,n10abbb01.31計(jì)算行列式DbbbaO1行列式的展開定理降法的基礎(chǔ)式A (1)ijM 0

4、概念理解點(diǎn)睛式都是比原行列式P一的行列式，w值Paj 的O置有關(guān)， JKAQ Paij 的取值無關(guān)，P0 式P式是iiMijAij nDai1Ai1ai2Ai2ainAin aijAij,(i 1,nDa A a A a A a nj 1122kwA (1)ijM ，M D中去掉第i 行第 j 列全部元素后，按原序排成的n 行列式，元素aij Aij 元素aij 的0概念理解點(diǎn)睛i運(yùn)用展開定理降時(shí)，先用性質(zhì)化某行或列剩一個(gè)非零元4線性 n即aikAjk ai1Aj1 ai2Aj2 ka in 0(線性 n即aikAjk ai1Aj1 ai2Aj2 ka in 0(i j)020220則第4行元

5、1111V (x x n123n1123n (xixj)(x2x1)(x3(xnx1)(x3x2(xnx2(xn1)1340方法運(yùn)用點(diǎn)睛用定O角形法，利用性質(zhì)，將行列式化較簡單或容易計(jì)算的行列式如P1QO 或列展開，將n 行列式計(jì)算化n 1行列式的計(jì)算四15 線性克萊姆法則 n 個(gè)未知量 n 個(gè)方程的線性方程組，在系數(shù)行列式Oa11x1a12x2 a1n xn x a x a 線性克萊姆法則 n 個(gè)未知量 n 個(gè)方程的線性方程組，在系數(shù)行列式Oa11x1a12x2 a1n xn x a x a x 21 22 2n I 或簡記 ann xn nx bi,i1, 0，則方程組(I) D ij a

6、n一解xj , j 1, ,bnD中第 j Da2ja2j.anjanj0概念理解點(diǎn)睛 n2若齊k線性方程組aij n1 00(i 1, l,nn01x1x2 2x3 01.71求解Q列O元線性方程組2x x x 5 x 2x x1 x2 x3 ax4 x 2x x x ab必滿足什N條x1 x2 3x3 x4 基本題型Py型例題011P行列式的定O和性質(zhì)相題6 線性1在5行列式中a12a 線性1在5行列式中a12a31a54a43a25的符號(hào)24行列式中，帶負(fù)號(hào)且包含因子a23Pa31的xxx3112x2032x13f(x中， x3 的系數(shù)2101數(shù)值型行列式的計(jì)2特征值法1021證明D (

7、nn式或1逆用行列式按行列展開定211105322543，A 0題1含的行列式1找7線性 線性 22221028 線性第矩矩的線性運(yùn)算 矩的乘法 方的冪 方乘的行列式 矩轉(zhuǎn)置 逆矩的概念和性質(zhì) 線性第矩矩的線性運(yùn)算 矩的乘法 方的冪 方乘的行列式 矩轉(zhuǎn)置 逆矩的概念和性質(zhì) 矩可逆的充分必要條伴隨矩 矩的初等變換 初 對矩，及它們的性3理解逆矩的概念，掌握逆矩的性質(zhì)，及矩可逆的充分必要條，理解5了解分塊矩及w運(yùn)算基本概念1式P方法精講一1矩的定定F mn個(gè)數(shù)aij(i 1,m;j1,n排成m 行n列，并括圓括弧a1n 2n aaamn amA(aij )mn (i 1,m;j1, 9 線性0概念

8、理解點(diǎn)睛值，行數(shù)和列數(shù)一2而矩僅僅是一個(gè)數(shù)表 線性0概念理解點(diǎn)睛值，行數(shù)和列數(shù)一2而矩僅僅是一個(gè)數(shù)表，它的行數(shù)和列數(shù)也可O同3 同型矩P矩同型矩 行數(shù)1列數(shù)都相同的矩 aij bij(i1,m;j1,4 幾類特殊的矩1零矩 mn個(gè)元素全零的矩零矩，記作0 Aa1n 行矩，又行向量2避免元素間b1 b 2有一列的矩 2列矩或列向量bn 3方 當(dāng)mn時(shí)，An矩或n方1 單O矩 對角元全 1，w余元素全零的n矩，單O矩 O， 記作kInkI或kE對角矩 非對角元皆零的n矩n對角矩簡對角，記作a即 ，或記作diag(aa 2,a )an nPQO角矩 n 矩A (aij )nn ，當(dāng)i j時(shí)0(j1,

9、n1矩PO角矩.QO角矩 當(dāng)i j 時(shí)0(j 2,n )的矩O角 線性O(shè)矩1矩的運(yùn)1 矩1加A(a B(b Fmn 線性O(shè)矩1矩的運(yùn)1 矩1加A(a B(b Fmn a11 a12 a1n bAB (a b )am1 am2 amn bmn 2矩的數(shù)量乘法簡數(shù)乘A(a Fmn ，規(guī)ka1n 2n kA(ka )kamn 并個(gè)矩 PA 的數(shù)量乘0概念理解點(diǎn)睛線性運(yùn)算規(guī)律P數(shù)的加和乘運(yùn)算規(guī)律一ikA0k 0A0A是一個(gè)mn 矩B 是一個(gè)n s 矩，a1n b1s aabbA2n ,B2s bns amn bnAPB之乘AB記作C (cij 是一個(gè)ms矩，ncij ai1b1j ai2b2 j a

10、b a ik k 線性即矩C AB的第i行第 j 列元素cij A的第i行n 個(gè)元素PB 的第 j 列相的n 線性即矩C AB的第i行第 j 列元素cij A的第i行n 個(gè)元素PB 的第 j 列相的n 0概念理解點(diǎn)睛AB可乘BAO一定可乘ABBA都可乘，但O一定是同型矩23，也由AB 0O能推A 0B 0.iii AmnEn EmAmn a A2 Bb，計(jì)02.11AB分別是n1和1n矩,1 nan BAa11x1a12x2 a1nxnx a x a x 21 22 2n 3 方amnxn 乘A是n矩kA的連乘A的kk冪Ak， k個(gè)A方的多設(shè) f (x) a xk xk1 axa x kknA

11、 kkaAa E ，矩A的kk多式注意常數(shù)變f (A) Ak1 k0 k 線性a0En0概念理解點(diǎn)睛 Amk(Am)k Amk，但(AB)k AkBkAm 線性a0En0概念理解點(diǎn)睛 Amk(Am)k Amk，但(AB)k AkBkAm(AE)2A22AE02.31求1 中的ABm 4 矩a1n 2n 的行列互換得到的一個(gè)naaAamn amam1 aam2 amn 性矩的轉(zhuǎn)置也是一種運(yùn)算，滿足運(yùn)算律1 (AT)T (kA)Tk任意實(shí)數(shù)2 (AB)T .3(aAbB)TaATbBT5 方的行列式各元素的O置O變，方A的行列式A或detAkA12A3AB0方法運(yùn)用點(diǎn)睛 線性k AA B iiiA

12、00A 0A0Aa1n An1 線性k AA B iiiA00A 0A0Aa1n An1aaAA02.41A2n,A* Aann Ann 中元素aij 的 A En 0120B11 對于n方A，如果在n方B，使ABBAE，就A可逆簡0概念理解點(diǎn)睛i有方才有逆，可逆矩及w逆矩是同方2也可AB的逆矩 3 矩可逆的條0A矩A可逆的充要條0概念理解點(diǎn)睛1A*1 線性AB都是n矩ABEBAE ABAB互逆矩設(shè)矩A滿足A2 A4E 0,w中E單O矩，則AE1 線性AB都是n矩ABEBAE ABAB互逆矩設(shè)矩A滿足A2 A4E 0,w中E單O矩，則AE1 10121 10 ,求 E 54 可逆矩 AA1亦可

13、逆，且A1)1 AA可逆，數(shù)k 0，則kA亦可逆，且(kA)1 1 A1k非零常數(shù)kAB同矩AB亦可逆，且(AB)1 B1A1,推廣1(AA )1 A (A ) 1 n11 21(4)AAT 亦可逆，且(AT)1 A1)T A102.81 AB均n可逆矩，證明(AB)* B*A*定O 把一個(gè)大型矩分成若小塊一個(gè)分塊矩，是矩運(yùn)算中的一個(gè) 121200A0 用水4 000100010001010，A ，O A120，30 線性A2 I3 線性A2 I3 ,tA的子塊，它們可A(Akl)stB(Bkl)st，則AB(AklBkl要求 AB 的行數(shù)相同，列數(shù)相同，采用相同的分塊法2分塊矩設(shè)分塊矩 A

14、(Akl)st是一個(gè)數(shù)，則A (Akl要求無 B1t j 列jj 12sA1s B2t j2 則 ABC記作(C AA kl Ars BBj st ssw中Crt分塊矩，且Ckl AkiBil k 1,r;l1,t)要求A的列的分塊法和B的行的分塊法完全相同分塊矩A(A 的轉(zhuǎn)置矩AT(B kl lk B AT,l 1,t;k1, 線性要求O僅要行塊P列塊互換，而且每一子塊也要轉(zhuǎn)置A對角塊矩準(zhǔn)對角矩A 2m方j(luò) 0.i1,mA，因l，對 線性要求O僅要行塊P列塊互換，而且每一子塊也要轉(zhuǎn)置A對角塊矩準(zhǔn)對角矩A 2m方j(luò) 0.i1,mA，因l，對角塊矩A 可逆的充要條11A1 21Am 011000

15、320000A0 ，A,A12402b1 按行分塊 按列分2 Bmn矩12nbm 0方法運(yùn)用點(diǎn)睛im n 矩既可看成是由m 個(gè)n 維行向量組成，也可看成是由n m 維列向量組成ii線性方程組的向量形式x1x b ) 2 xb(,x x x 21 2 nn xn bn x1x )若b0，x0(,x x 0 x 21 2 nn xn 線性五1矩的初等變換和初等矩1 初等變換的定用消元法解線性方程組，w消元m驟是對增廣矩進(jìn)行 3 1 kri或kc 線性五1矩的初等變換和初等矩1 初等變換的定用消元法解線性方程組，w消元m驟是對增廣矩進(jìn)行 3 1 kri或kcik 0ri krj 或ci kcj 3r

16、i rj,ci cj 0概念理解點(diǎn)睛i用初等變換求解線性方程組時(shí)，能用行變換2 初等矩1定O 將單O矩做一k初等變換所得的矩初等矩初等倍乘矩 Ei(cc0而得到的,1) Ei(c) 是由單O矩i行或列i1初等倍加矩 Eij (c jc1Eij (c) 是由單O矩第i 行乘c j 行而得到的，或由第 j 列乘c 加到第i 列而得到的i011E110 線性Eij是由單O矩第ij行或列對換而得初等矩的對 A 實(shí)施一k初等行列變換，相當(dāng)于右乘相的初等矩aaaa13 線性Eij是由單O矩第ij行或列對換而得初等矩的對 A 實(shí)施一k初等行列變換，相當(dāng)于右乘相的初等矩aaaa13 如a23 a13 a13

17、a23 E12 aaa 23 13 Ei(cA A的第i行乘cEij (cA A的第i行乘c加jEij 第i 行P第 j 行對換O0方法運(yùn)用點(diǎn)睛iii用最后一種初等矩要注意，在邊和有變的意初等矩的ET(c) E (c),E T(c)(c)， E TiiE1(c) E (1),E 1(c)E (c)，E 1 E iicE*(c)cE(1),E *(c)E (c),E* E iic3 矩的等 A B0概念理解點(diǎn)睛d反身性: A Ae對性:若 A B ,B A f傳遞性:ABBC,AC.ii 同型矩APB等rA 4 利用初等變換求逆矩如果對可逆矩A和同單E做同樣的初等行變換，那NA變單O 線性就變

18、A1 AE初等行變換(EA10100例2.101求 A1的逆矩 線性就變 A1 AE初等行變換(EA10100例2.101求 A1的逆矩3基本題型Py型例題12400，30012000021021A113A可逆 Ax0有零 AEB都可逆，且AE1 BE ，證明A0題型 31利用方12110 0,求1 1 23A1 2A線性 P題A線性 P題A A思路P方法1AA* A*A2A*n071AB232A方AB1A1 1，試求伴隨矩的逆矩1題12 A*B*分A*1列P2列得B*DA*1行P2行得B* 線性第O向PP線性無關(guān)組 等向量組 向量組的秩 向量組的秩P矩的秩之間的關(guān)系 向量空間及w關(guān)概念 n

19、維向量空間的基變換和坐標(biāo)變換 過渡矩 向量的內(nèi) 線性無關(guān)向量組的k 線性第O向PP線性無關(guān)組 等向量組 向量組的秩 向量組的秩P矩的秩之間的關(guān)系 向量空間及w關(guān)概念 n 維向量空間的基變換和坐標(biāo)變換 過渡矩 向量的內(nèi) 線性無關(guān)向量組的k1理解維向量1向量的線性組合P線性表示的概念2理解向量組線性相關(guān)1線性無關(guān)的概念，掌握向量組線性相關(guān)1線性無關(guān)的有5了解維向量空間1子空間1基1維數(shù)1坐標(biāo)等概念6了解基變換和坐標(biāo)變換式，會(huì)求過渡矩8了解規(guī)范k交基1k交矩的概念及它們的性基本概念1式P方法精講一1n 維向量的概念P運(yùn)算1 定na1,的有序數(shù)組，一個(gè) n元向量也n維向量，記a1,an ，wai a的

20、第個(gè)分量2向量寫成P述形式行向量，寫成a 的形式 a,a T 列向量2,nan 2 設(shè)a1,an,bn ，定 線性1 ，當(dāng)且僅當(dāng)ai bi(i1,2向量加法 P 線性1 ，當(dāng)且僅當(dāng)ai bi(i1,2向量加法 P 之和 (a1b1a2b2,anbn) 向量的數(shù)量乘法簡數(shù)乘kka1量乘kan k向量P數(shù)k的03.11設(shè)(200) , (010)T, (00,1)T，求3 4 T12331線性相關(guān)1 線性組合1線m對于1,2 ,m k11 k22 kmm 向量組1,2 ,m 的個(gè)線性組合，k1,k2,km個(gè)線性組合的系數(shù)向量組1,2 ,m和向量b，如果在一組數(shù)1,2,m ，b1122 mm 則向量

21、b 是向量組1,2 0概念理解點(diǎn)睛,m 的線性組合，向量b 能由向量組線性表示如,m01 02 1i 0m ii若 可由 可由線性表示能O能由線性表 在O在k1,k2,km，使得k11k22 方程組1,2 , x有無m2 線性相關(guān)P線個(gè)向量,m ，有m 個(gè)O全零的數(shù)k1如果km ，使k11k22kmm 0成立，則,m 線性相關(guān)，否則，,m 線性0概念理解點(diǎn)睛ii單個(gè)向量線性相關(guān)無關(guān)03.21設(shè)1,2,3線性無關(guān)，證明1321 線性0概念理解點(diǎn)睛ii單個(gè)向量線性相關(guān)無關(guān)03.21設(shè)1,2,3線性無關(guān)，證明13212232線性相關(guān)03.31設(shè)A是n矩是n維列向量Am10Am 0證明, Am1 線性

22、無關(guān)3 向量組,m(m2)線性相關(guān)的充要條是中少有量可由w余m 1 個(gè)向量線性表T ， T ， T 定理,a ,a ,a rxx , AxT,組nnA 1,2 , n有非零解,w,n 線性無關(guān)的充要條是齊k線性方程Ax0P述定理的等命題是定理若向量組1,2,r 線性無關(guān),1,2,r 線性相關(guān),可1,2 ,r 線性表示,設(shè)向量組1,2 ,s 的部分組i1,i2 ,ir 滿足條1 定1i1,i2,ir 線性無關(guān)21 ,2 ,s 中的任一向量均可由它們線性表示，則向量組i1,i2 ,ir 量組1,2 ,s 的一個(gè)極大無關(guān)組向量組的極大無關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)向秩，記,s) r0概念理解點(diǎn)睛iii若r(1

23、,2 ,s)s,s) r s，則1,2 ,s 中任意r 個(gè)線性無關(guān)的向量組均可作iii一個(gè)向量組，若個(gè)數(shù)大于維數(shù)則必線性相關(guān) 線性2 向量組的等性表示2如果兩個(gè)向量組可相互線性表示，則兩個(gè)向量組是等的0概念理解點(diǎn)睛1 反身性e 線性2 向量組的等性表示2如果兩個(gè)向量組可相互線性表示，則兩個(gè)向量組是等的0概念理解點(diǎn)睛1 反身性e對性 f傳遞性iii 兩向量組等 w極大無關(guān)組等 兩向量組的秩相等，且能相互線性表出3 性質(zhì)如果1,2 ,s) s如果,s 線相關(guān)，則,s) s性質(zhì)若1,2t 可由1,2,s 線性表出r(1,2,t ) r(1,2,s ) 若向量組12,t 可由1,2 ,s 線性表示12

24、 ,t 線性無關(guān)性質(zhì) 則t若向量組12,t 可由1,2,s 線性表示，且t s,12,t 0例 3.41設(shè)n維向0i個(gè)分量1，余分量 0，1,2 ,n 是線性無關(guān)的2若,n 可由1,2 ,n線性表示，則1,2,n 1 k子Aaij aaai i i 1 1 1 aaai i i 2 2 2 A的k子式ai jjk k k 2 矩矩A中在一個(gè)r子式O零，而所有r+1子式全零非零子式的最高數(shù)，則矩的秩r，記rA) r 線性0概念理解點(diǎn)睛1r(Amn), 線性0概念理解點(diǎn)睛1r(Amn),rAr Ar子式rA) r Ar子式OrA0 A0A 0 rA3 矩初等變換O改變矩的秩Amn 矩, PQ 分別

25、是n 可逆矩,rArPArAQr矩的秩=行秩=列秩=矩的非零子式的最高數(shù)O秩相等1 , ) A(a ( ij n1 m ,n ) ,n)r(A) 3An方rAn A 0 A行A線性無關(guān)4Amn矩,則rArAT minmnr(kA) rAk 05r(AB)r(A)r(B)minr( A), r(B) 矩越乘秩越6r(AB) .1 (1 1 1 3) , (1, 3, 5, 1) , p2) , TTTp)T234dP 何值時(shí)，向量組線性無關(guān)e P 何值時(shí)，向量組線性相關(guān)1 向量空間的基本概念數(shù)一1向量空間VnV 封，即V中兩個(gè)向量之和及數(shù)乘V中向量所得到的向量V,則V向量空間 線性3維數(shù)基包含向

26、量的個(gè)數(shù) 線性3維數(shù)基包含向量的個(gè)數(shù) x11x22 xnx1x2xn在基1,2,nQ的坐標(biāo)，記 (x1x2xn n 維向量空間V 1 a111a212 a a a 12 22 n2 d 即aa)(, ,)(, , , ennnann anC 基1,2 ,n 12,n 的過渡矩.d或e基變換式坐標(biāo)變換設(shè)V ，在基1,2,n Q的坐標(biāo)(x1x2xn，在基12,n Q的坐標(biāo)y1y2yn，且(12 ，x1y1 y1 x1x y y x 2C2 2 C12 或yn xn yn xn 2 向量的內(nèi)1內(nèi)設(shè)有nxxT ，則T,y y ,y ,nnx x,y x y y xx y x y TT12n dx, y

27、 yx 線性exy,zx,zy,zfkx,ykx,ygx,x x 線性exy,zx,zy,zfkx,ykx,ygx,x x 21nx,x2模1長度向量 x 的長x0概念理解點(diǎn)睛xx就是單O向量3k交當(dāng)x, y 0時(shí)，向xy k交0概念理解點(diǎn)睛1零向量P任何向量k3 施密特k交設(shè)1,2 ,r 是一組線性無關(guān)的向量，可用Q述方法把1,2 11,2 ,11,r 2,r r 1,r ,r12rr12, r 線性無關(guān)，且兩兩k交,r 等,單O化 , 12rr即得到一組P原向量組等的兩兩k交的單O向量1,4 規(guī)范k交基數(shù)一,r ，個(gè)方法線性無關(guān)j,i,j1,設(shè), , ，若,n，則, 0,i nn準(zhǔn)k交基.

28、 規(guī)范k交基0121,1,2,1T , 1,0,0,2T , 1,48,kT 線性相關(guān)，求011已知向量組123 線性 線性題型 12 2,3, 3,4,5, 4,5,6,則TTTT2342,0,t,0T T 0,4,5,T123 線性線性方程組線性方程組有解的充分必要條 線性線性方程組線性方程組有解的充分必要條 線性方程組解的性質(zhì)和解的結(jié)構(gòu) 齊k線k2理解齊k線性方程組有非零解的充分必要條及非齊k線性方程組有解的充分3理解齊k線性方程組的基礎(chǔ)解系1通解及解空間的概念，掌握齊k線性方程組4理解非齊k線性方程組解的結(jié)構(gòu)及通解的概念一1概1 線性方程組的O種表達(dá)a11x1a12x2 a1nxnx

29、a x a x 21 22 2n amnxn m 個(gè)方n 個(gè)未知量的非齊k線性方程a1n x1b1 x b aaA2 ,b2n ,2 設(shè)x b aamn n m m(Ax 線性a11a12 a1n b1 a b 22 22 2n , 線性a11a12 a1n b1 a b 22 22 2n ,2 b 12n m1 m2 mn m x11x22 (x11 x22 xnn xnn .0概念理解點(diǎn)睛2解P解Ax0bx0Axb一個(gè)解通解當(dāng)方程組有無窮多解時(shí)，則它的全部解該0概念理解點(diǎn)睛共解Ax0b1，Bx0 b2x0Axb1，Bxb2的共解1 x1 x2 x3 2x 2x 2x 0 變量2 個(gè)5x 5

30、x 5x x1 x2 x3 x 3x1 2x2 3x3 3x 2x x 3x2 2x3 3322142100122x 3x 得同解方程組有變量1個(gè)02x22x3 302 定理 Amn矩，則齊k線性方程組 Ax 0有非零解有零解 線性A)nr(A)n推論 線性A)nr(A)n推論 0A0方法運(yùn)用點(diǎn)睛Amnx0，若m nAmnx0有非零解iix11x22xnn 0A1,2，有非零解有零解 1,2,n線性相關(guān)無關(guān) r(A) nr(A)n A的列向量線性相關(guān)無關(guān)的1,2 ,n 線性相關(guān)性的常用方法1用定2 用秩r1,2, r，若r n則相關(guān)若r n則無關(guān)n3 用行列式維數(shù)等于個(gè)數(shù)x11 x22 1a,

31、0,b,c,0,線性無關(guān)，則abc1TTT233 1解的性Ax0 個(gè)解，則k1x1k2x2k1k2任意常數(shù)也是它的解,xs均Ax0的解，則k1x12齊k線性方程組的基礎(chǔ)解系解的極大線性無關(guān)組設(shè)x1,x2,xp是Ax0的解向量，如果1 x1,x2 2,xp 線性表示，則x1,x2,xp 是Ax0的一個(gè)基礎(chǔ)解系3通 線性定理 A是mn矩，若rAr n，則齊kAx0在且基礎(chǔ)解系含nr4求解齊k線性方程組 Amnx 0的方法m驟 線性定理 A是mn矩，若rAr n，則齊kAx0在且基礎(chǔ)解系含nr4求解齊k線性方程組 Amnx 0的方法m驟2 rAn，則無基礎(chǔ)解系，有零解若rAn，化行梯形1,2 nr

32、3 xk11 k22 nrA nrx1x22x3 .21何值時(shí)，方程 02x x x w通解1 x1 x2 x3 x1 x2 x3 1 11 1 10方程rA) 1 rAb) 2201x1 x2 x3 11101110，r(A) r(A,b) 3x x 2x 3x x x 111101， 有無窮x1 x2 x3 2解.rArAb23 2 rArbr，且當(dāng)rn時(shí)Amnx b有解Amnxb有唯一解rn時(shí) Amnxb 線性Amnxb無解 rAr0方法運(yùn)用點(diǎn)睛b 線性Amnxb無解 rAr0方法運(yùn)用點(diǎn)睛brA1rbi當(dāng)mnA 0Ax b的無解或有無窮多解的必要非充分條ii按向量形式x11x22 , 有

33、解無解nb可O可由,n線性表示 b 可O可A的列向量線3 1解的性1Ax1 bAx2 bAx1 x20 x1x2Ax0的解Ax1bAx0 0Ax1 x0bx1x0Axb22非齊k線性方程組的通Ax b 有無窮多解， 則w通解 xk11 k22 nrA nrw1,2 Ax 0的一組基礎(chǔ)解系，Ax bnr3求解非齊k線性方程組的通解的m驟用初等行變換化增廣矩 A 1行梯形rArbAxb無解2rA rb，化行梯形行最簡形，寫出等的方變量1 (1 -1 1 -1) , (3, -1, 2)T, (453b2)T (0a51)TabT23 1能由線性表示，但表法O唯一，并寫出表示 線性B 是nm 矩，則

34、線性 線性B 是nm 矩，則線性方程組AB011Amn矩 A當(dāng)nm時(shí)，僅有零解B當(dāng)nm時(shí)當(dāng)mn時(shí)，僅有零解D當(dāng)mn時(shí)題A0，, , , Axb的互O相等的解向量1 2 3 量的個(gè)數(shù)0題型 31線性方程組的求x1 x2 x3 x4 01已知菲齊k線性方程組4x 3x 5x x 1有O個(gè)線性無關(guān) ax x 3x bx 的秩rA I證明方程組系數(shù)矩A 線性矩的特征值和特征向量的概念11相似矩對角化的充分必要條及相似對角矩 實(shí)對 線性矩的特征值和特征向量的概念11相似矩對角化的充分必要條及相似對角矩 實(shí)對矩的特征值1特征向量及w相似對角矩2理解相似矩的概念1性質(zhì)及矩可相似對角化的充分必要條，掌握將矩化

35、基本概念1式P方法精講一1引1相似矩的概念P對角化的條1 AB，P1APA0概念理解點(diǎn)睛ii矩的相似關(guān)系是一種特殊的等關(guān)系，即相似必等iii相似關(guān)系滿足O性=反身性1對性1傳遞2 A1 B1AnBnnNA*B*AB可逆1AT BTnn2rA rBE E trAtrBAB3 方若矩A能P對角相似，則矩 A可相似對角化，記 A，A的相 線性 記作2n P1,2,n 線性 記作2n P1,2,n n A2nnA1,nn 0,i1,Ai ii,n定理 方可對角化的充要條n 方A 可對角化的充要條是 A 個(gè)線性無關(guān)的特征0方法運(yùn)用點(diǎn)睛 記作 2n n1nPP1PP1 PP2nn A1nO1方的特征值和特

36、征向1 定An矩，若在常數(shù)和非零n維列向量A，則A的特征值， 是 A 的屬于特征值 的特征向量.0概念理解點(diǎn)睛i特征值題僅是針對方而言的e特征向量 0 線性ii若向量A的特征向量，則 AP線性相關(guān)iii特征值Pw對的特征向量是一對多的A 線性ii若向量A的特征向量，則 AP線性相關(guān)iii特征值Pw對的特征向量是一對多的Ak kk 02 A A的特征值， A的屬于特征值 的特征向量齊k線性方程組E Ax 0或AEx 0有非零解EA的特征多A的特征多式是的nk多式2特征多式的k根也k 對于抽象矩，根據(jù)特征值和特征向量的定O及w特征值的求E,n特征向量的求解方i 解齊k線性方程組(iE A)x 0

37、， 求出它的基礎(chǔ)解系對每個(gè)O同的, ，則k11 k22 kss k1,s1,2 值的特征向00320 的特征值和特征向量33 特征值1特征性質(zhì)若 是矩A的特征值，x 是A的屬于 的特征向量，1對任意的常數(shù)k k 是kA 的特征值x 是kA 的屬于k 的特征向量2對任意的自然數(shù)mmAmxAm的屬于m的特征向量3A的多式 A的特征值x是 A的特征向量ffff4A1 A1的特征x A1的屬于1 的特征向量 A*的特征x A*的屬 的特征向量AA 線性Aa 的nB P1AP的特征值 ，P1x B的特征向量.設(shè)n 線性Aa 的nB P1AP的特征值 ，P1x B的特征向量.設(shè)n 矩x1x2A的屬于特征值

38、0的特征向量，則k1x1k2x2A的屬于0 特征向量w中k1k2是任意常數(shù)，但k1x1 k2x2 0O同特征值的特征向量是線n nnn1i aii w中aii A的對角元之和矩A的跡，記作trAn2i A 1 對角，并四1實(shí)對矩1 實(shí)對矩特征值1實(shí)對矩的特征值實(shí)對矩A對于O同特征值的特征向量是相互kP AP diag ，w中 A1nn2 實(shí)對矩,n1由特征多式求出矩2特征向量對每個(gè)特征值i ，解(i ,s 3k交化利用施密特k交化方法將屬于同一的特征向量kYi1,Yi2,Yik 線性P將得到的向量按列排成n 矩，即所求的k交矩 P 線性P將得到的向量按列排成n 矩，即所求的k交矩 P i20例5.31設(shè)矩A，求k交矩Q，使QTAQ對角4224基本題型Py型例題0題型 11方特征值1特征向量的求011A3實(shí)對矩，且滿足條 A22A0，已知rA) 2A的全部c a 3 A 1又設(shè)A ，屬于 *00個(gè)特征向量 (1,1,1)Tabc 和 的值00題型31可對角化的判定及w逆PP1AP對角 線性第k合同變換P合同矩k定理k型的標(biāo)準(zhǔn)了解k型的標(biāo)準(zhǔn)形1規(guī)范形的概念及慣性定理 線性第k合同變換P合同矩k定理k