高等數(shù)學(xué)課件：5-2定積分的性質(zhì)

1、5.2 定積分的性質(zhì)性質(zhì) 1 ( 線性運(yùn)算性質(zhì))若 f (x) , g (x) 在 a , b 上可積 , k1 , k2 R 是常數(shù) , 則 k1 f (x) + k2 g (x) 在a , b 上也可積 , 且證明使 xi= xi - xi-1 ; 任取作和式取極限有性質(zhì) 2 ( 對(duì)積分區(qū)間的可加性)證明不妨設(shè) a c b .因?yàn)?f (x) 在 a , b 上可積 ,取區(qū)間a , b 上的劃分P:若 f (x) 在 ,上可積 , 則對(duì)任意 a , b ,f (x) 在 a , b 上可積 , 且對(duì)任意 a , b , c , , 有由于 P1:是a , c 的劃分;P2:是 c , b

2、的劃分 , 且當(dāng)故有abxyo性質(zhì) 3 ( 積分值與積分變量的名稱(chēng)無(wú)關(guān) )若 f (x) 在 a , b 上可積 , 則abtyo 性質(zhì) 4(1) 若 f (x) 在 a , b 上除有限個(gè)點(diǎn)外恒為零 , 則(2) 若 f (x) 在 a , b 上可積 , 如果改變 f (x) 的有限個(gè)函數(shù)值得 F(x) , 則性質(zhì) 5 (定積分的不等式性質(zhì))(1) 若 f (x) 在 a , b 上可積 , f (x) 0 ,則(2) 若 f (x) , g (x) 在 a , b 上可積 , 且 f (x) g(x) ,則(3) 若 f (x) 在 a , b 上可積 , 則有( 估值定理 )證明 (3

3、)兩邊取極限 , 得的選取 , 有對(duì)于 a , b 的任意分割及任意的即證明由 f (x) 在 a , b 上連續(xù) , 則存在 x1 , x2 使據(jù)估值定理 , 有性質(zhì) 6 (積分中值定理)若 f (x) 在 a , b 上連續(xù) , 則存在使( 積分中值公式 )據(jù)介值定理 , 存在 使即積分中值定理的幾何意義:abxyo定積分幾何意義的再討論:如果在a , b上 , f (x) 0 ,則 即當(dāng) f (x) 0 時(shí) , 的幾何意義表示曲邊梯形 abcd 面積的負(fù)值 abxyocd進(jìn)一步地 , 若 f (x) 在 a , b 上有正有負(fù)xyo進(jìn)一步地 , 若 f (x) 在 a , b 上有正有負(fù)

4、 (如圖所示) ,則有abdcA2 A1 A3 即的幾何意義表示：由 y =f (x) , y =0, x=a , x =b 所界圖形面積的 “ 代數(shù)和 ”性質(zhì) 7 ( 奇、偶函數(shù)在對(duì)稱(chēng)區(qū)間的積分性質(zhì)) (2) f (x) 在 -l , l 上連續(xù) , f (-x)= f (x) , x -l , l (1) f (x) 在 -l , l 上連續(xù) , f (-x)= -f (x) , x -l , l 則則xyo-lloxyl-l例證明:解首先計(jì)算 在 上的最大值與最小值 駐點(diǎn) x = 0又由 最小值 最大值 據(jù)估值定理 , 有例證明: 若 f (x) 在 0 , 1 上單調(diào)減少 , 則對(duì)任意a( 0 , 1 ) 有解由于因?yàn)?f (x) 在 0 ,