高等數(shù)學(xué)課件：2-4極限存在準(zhǔn)則兩個(gè)重要極限

1、二、 兩個(gè)重要極限 一、極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則第六節(jié)極限存在準(zhǔn)則與兩個(gè)重要極限 第一章 準(zhǔn)則1 (夾逼準(zhǔn)則 )證 由條件 (2) ,當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),如果數(shù)列滿足一、 極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則 令則當(dāng)時(shí), 有由條件 (1)，得即故 注 1 利用夾逼準(zhǔn)則求數(shù)列極限的關(guān)鍵：構(gòu)造 yn , zn .要求： yn , zn 的極限易求；例1 證明證而因?yàn)橛蓨A逼準(zhǔn)則，得準(zhǔn)則(2)設(shè)函數(shù) f(x), g(x), h(x) 滿足:1 數(shù)列極限的夾逼準(zhǔn)則可以推廣到函數(shù)的極限：例2解= 由夾逼準(zhǔn)則，得同理， 由夾逼準(zhǔn)則得單調(diào)有界數(shù)列必有極限.準(zhǔn)則(單調(diào)有界準(zhǔn)則)如果數(shù)列滿足( 證明略 )(單調(diào)增加有上界)(單調(diào)減少有下界)證例

2、31單調(diào)性假定:，則2有界性 學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明xn的單調(diào)性和有界性.(舍去)圓扇形AOB的面積二、 兩個(gè)重要極限 證故只需證AOB 的面積AOC 的面積( 利用準(zhǔn)則)因?yàn)槿〉箶?shù)得當(dāng)時(shí),例4解注由復(fù)合函數(shù)求極限法則，可知證明思路: （分四步）1（單調(diào)有界準(zhǔn)則）2(利用1及夾逼準(zhǔn)則)3（作變換：t = - x )4（極限存在的充要條件）. 利用二項(xiàng)式公式 , 有證 1（單調(diào)有界準(zhǔn)則）大 大 正比較可知大 又根據(jù)準(zhǔn)則 可知數(shù)列記此極限為 e , 可以證明：e 為無理數(shù) , 其值為即有極限 .2需證：即即 由夾逼準(zhǔn)則，得3需證：4由極限存在的充要條件： 得注12由復(fù)合函數(shù)求極限法則，可知3 可以證

3、明：或例5 求解 則注 若利用則 原式 令例6解 原式的不同數(shù)列內(nèi)容小結(jié)1. 函數(shù)極限與數(shù)列極限關(guān)系的應(yīng)用(1) 利用數(shù)列極限判別函數(shù)極限不存在 (2) 數(shù)列極限存在的夾逼準(zhǔn)則法1 找一個(gè)數(shù)列且使法2 找兩個(gè)趨于及使不存在 .函數(shù)極限存在的夾逼準(zhǔn)則2. 兩個(gè)重要極限或注 代表相同的表達(dá)式思考題問：下列推導(dǎo)是否正確？解答：不正確.事實(shí)上，注意：一定2. 命題(減少)()注可根據(jù)此命題，推測再證之.易證，用倒推法：+推測：但需證之.推測：但需證之.3.答：到目前為止，有以下方法：假設(shè)：+ 04.填空題 :求極限解即而所以備用題例1-1例1-2解因即而所以一般地，有例1-3解由于而由夾逼準(zhǔn)則可知例1

4、-4解設(shè) , 且求例3-1分析易知xn的單調(diào)性如何？ 0？關(guān)鍵：？證1有界性易知關(guān)鍵：？2單調(diào)性或則得 即 例3-2 設(shè)證顯然證明下述數(shù)列有極限 .即單調(diào)增,又存在“拆項(xiàng)相消” 法例4-1 求解 例4-2 求解 令則因此原式例4-3 求解 原式 =例4-4 已知圓內(nèi)接正 n 邊形面積為證明: 證注 注意利用例4-5解使用n次倍角公式后例4-6解例5-1解并且有例5-2解例5-3解例5-4解例6-1解 原式v(x)求極限例 6-2解例6-3 求解 原式 =變成形式超越數(shù)e 在中學(xué)數(shù)學(xué)書中這樣提出：以e為底的對數(shù)叫做自然對數(shù)。那么e到底有什么實(shí)際意義呢？ 1844年，法國數(shù)學(xué)家劉維爾最先推測e是超

5、越數(shù)，一直到了1873年才由法國數(shù)學(xué)家愛米特證明e是超越數(shù)。 1727年，歐拉最先用e作為數(shù)學(xué)符號使用，后來經(jīng)過一個(gè)時(shí)期人們又確定用e作為自然對數(shù)的底來紀(jì)念他。有趣的是，e正好是歐拉名字第一個(gè)小寫字母，是有意的還是偶然巧合？現(xiàn)已無法考證！ e在自然科學(xué)中的應(yīng)用并不亞于值。像原子物理和地質(zhì)學(xué)中考察放射性物質(zhì)的衰變規(guī)律或考察地球年齡時(shí)便要用到e。 在用齊奧爾科夫斯基公式計(jì)算火箭速度時(shí)也會(huì)用到e，在計(jì)算儲(chǔ)蓄最優(yōu)利息及生物繁殖問題時(shí)，也要用到e。 同一樣，e也會(huì)在意想不到的地方出現(xiàn)，例如：“將一個(gè)數(shù)分成若干等份，要使各等份乘積最大，怎么分？”要解決這個(gè)問題便要同e打交道。答案是：使等分的各份盡可能接近e值。如，把10分成10e=3.7份，但3.7份不好分，所以分成4份，每份為104=2.5，這時(shí)2.54=39.0625乘積最大，如分成3或5份，乘積都小于39。e就是這樣神奇的。 1792年，15歲的高斯發(fā)現(xiàn)了素?cái)?shù)定理：“從1到任何自然數(shù)N之間所含素?cái)?shù)的百分比，近似等于N的自然對數(shù)的倒數(shù)；N越大，這個(gè)規(guī)