基本不等式 新課標(biāo) 0

1、基本不等式2021/8/8 星期日1課題: 3.4基本不等式 1.課題導(dǎo)入1重要不等式：如果 2基本不等式：如果a,b是正數(shù)，那么 3.我們稱 的算術(shù)平均數(shù)，稱 的幾何平均數(shù) 成立的條件是不同的： 前者要求a,b都是實(shí)數(shù)，而后者要求a,b都是正數(shù)。 2021/8/8 星期日22.講授新課例1（1）用籬笆圍成一個(gè)面積為100m的矩形菜園，問這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，所用籬笆最短。最短的籬笆是多少？（2）一段長(zhǎng)為36 m的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形菜園，問這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，菜園的面積最大，最大面積是多少?解：（1）設(shè)矩形菜園的長(zhǎng)為x m，寬為y m， 則xy=100，籬笆的長(zhǎng)為2（x+

2、y）m. 等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)成立，此時(shí)x=y=10. 因此，這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬都為10m時(shí)，所用的籬笆最短，最短的籬笆是40m. 2021/8/8 星期日3（2）解法一：設(shè)矩形菜園的寬為xm，則長(zhǎng)為（362x）m，其中0 x ， 當(dāng)且僅當(dāng)2x362x，即x9時(shí)菜園面積最大， 其面積 為:Sx（362x） 2x（362x） 即菜園長(zhǎng)18m，寬為9 m時(shí)菜園面積最大為162 m2.解法二：設(shè)矩形菜園的長(zhǎng)為x m,寬為y m , 則x+2y=36, 矩形菜園的面積為xy m。 當(dāng)且僅當(dāng)x=2y,即x=18，y=9時(shí)等號(hào)成立。 因此，這個(gè)矩形的長(zhǎng)為18m、寬為9m時(shí)，菜園的面積最大，最大面積是162m

3、 2021/8/8 星期日4小結(jié)： 1.兩個(gè)正數(shù)的和為定值時(shí)，它們的積有最大值，即若a，bR，且abM，M為定值， 則ab . 等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)成立. 2.兩個(gè)正數(shù)的積為定值時(shí)，它們的和有最小值，即若a， bR，且abP，P為定值，則 ab2 ， 等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)成立. 例2 某工廠要建造一個(gè)長(zhǎng)方體無蓋貯水池，其容積為4800m3,深為3m，如果池底每1m2的造價(jià)為150元，池壁每1m2的造價(jià)為120元，問怎樣設(shè)計(jì)水池能使總造價(jià)最低，最低總造價(jià)是多少元？ 分析：此題首先需要由實(shí)際問題向數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化，即建立函數(shù)關(guān)系式，然后求函數(shù)的最值，其中用到了均值不等式定理。2021/8/8 星期日5解：

4、設(shè)水池底面一邊的長(zhǎng)度為xm， 則水池的寬為 ,水池的總造價(jià)為y元，根據(jù)題意，得 因此，當(dāng)水池的底面是邊長(zhǎng)為40m的正方形時(shí)，水池的總造價(jià)最低，最低總造價(jià)是297600元 評(píng)述：此題既是不等式性質(zhì)在實(shí)際中的應(yīng)用，應(yīng)注意數(shù)學(xué)語言的應(yīng)用即函數(shù)解析式的建立，又是不等式性質(zhì)在求最值中的應(yīng)用，應(yīng)注意不等式性質(zhì)的適用條件。2021/8/8 星期日6小結(jié)：用均值不等式解決此類問題時(shí)，應(yīng)按如下步驟進(jìn)行：(1)先理解題意，設(shè)變量，設(shè)變量時(shí)一般把要求最大值或最小值的變量定為函數(shù)；(2)建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，把實(shí)際問題抽象為函數(shù)的最大值或最小值問題；(3)在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大值或最小值；(4)正確寫出答案.2021/8/8 星期日73.隨堂練習(xí)1.已知x0，當(dāng)x取什么值時(shí)，x2 的值最小?最小值是多少?2課本第113頁的練習(xí)1、2、3、42021/8/8 星期日84.課時(shí)小結(jié)本節(jié)課我們用兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的關(guān)系順利解決了函數(shù)的一些最值問題。在用均值不等式求函數(shù)的最值，是值得重視的一種方法，但在具體求解時(shí)，應(yīng)注意考查下列三個(gè)條件：(1)函數(shù)的解析式中，各項(xiàng)均為正數(shù)；(2)函數(shù)的解析式中，含變數(shù)的各項(xiàng)的和或積必須有一個(gè)為定值；(3)函數(shù)的解析式中，含變數(shù)的各項(xiàng)均相等，取得最值即用均值不等式求某些函數(shù)的最值時(shí)，應(yīng)具備