基于灰色系統(tǒng)的學(xué)生成績(jī)預(yù)測(cè)模型

1、基于灰色系統(tǒng)的學(xué)生成績(jī)預(yù)測(cè)模型摘要:灰色模型在對(duì)數(shù)據(jù)量不算很大的貧信息系統(tǒng)進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)具有一定的優(yōu)勢(shì)，適合進(jìn)行學(xué)生成績(jī)趨勢(shì)的預(yù)測(cè) 與建模。筆者使用灰色系統(tǒng)建立了模型，使用MATLAB完成了相關(guān)的代碼，繪制了相關(guān)的模擬結(jié)果，最終給出了在 滿(mǎn)足一定前提條件下的學(xué)生成績(jī)趨勢(shì)預(yù)測(cè)，結(jié)果有利于增強(qiáng)教學(xué)的交互性。關(guān)鍵詞：灰色系統(tǒng);灰色模型；數(shù)學(xué)建模;成績(jī)預(yù)測(cè)；回歸分析Prediction Model of Students % Examination Points Based on Grey SystemAbstract: Grey Model is good for predicting in poor

2、information system with little data, and it is suitable for predicting and modeling the trend of test scores achievement. It established the model in this study with Grey System and completed the relevant code with MATLAB, then drew the relevant simulation results. Finally, it gave the prediction of

3、 test scores performance trend under certain preconditions, which is conducive to the improvement and reflection of both teaching and learning sides.Key words： Grey System; Grey Model; Mathematical Modeling; prediction of examination points; regression analysis對(duì)階段性的成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)與分析是教學(xué)中重要 的一環(huán)，使用傳統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)分析方法對(duì)成績(jī)

4、進(jìn)行整理 與回歸分析費(fèi)時(shí)費(fèi)力，難以高效、精準(zhǔn)地預(yù)測(cè)成績(jī)。 針對(duì)學(xué)生成績(jī)模型的實(shí)際特點(diǎn)，引入灰色預(yù)測(cè)模型 對(duì)學(xué)生成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)學(xué)分析是一個(gè)很好的選擇?；?色預(yù)測(cè)模型是將少量的、不完全的信息，放到學(xué)生成 績(jī)預(yù)測(cè)模型中作為離散序列，在貧信息系統(tǒng)中建立 數(shù)學(xué)模型，在特定條件下根據(jù)現(xiàn)有的條件建立一定 的模型，完成回歸分析并進(jìn)行必要的預(yù)測(cè)或給出趨 勢(shì)分析。在本次實(shí)例中，使用的樣本為蚌埠學(xué)院理 學(xué)院（簡(jiǎn)稱(chēng)理學(xué)院）數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)本科專(zhuān)業(yè)2013 -2017級(jí)的一些數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)主干課程成績(jī)，僅將總評(píng) 分?jǐn)?shù)作為樣本，針對(duì)學(xué)生成績(jī)分布的特點(diǎn)，借助模型 做出必要的預(yù)測(cè)與規(guī)劃，可以將定性的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為 比較精準(zhǔn)的定量分析，便于

5、后期歸納與整理,具有一 定的推廣價(jià)值。1模型總體應(yīng)用流程灰色系統(tǒng)理論由原華中理工大學(xué)鄧聚龍教授于 1982年提出并加以發(fā)展，隨后三十多年內(nèi)進(jìn)行了 多次的改進(jìn)，并引入了通信系統(tǒng)的相關(guān)概念與模型 對(duì)灰色理論進(jìn)行擴(kuò)充，目前在物理、電力調(diào)度、信 息科學(xué)、交通運(yùn)輸、機(jī)器學(xué)習(xí)等領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用。 眾所周知，機(jī)器學(xué)習(xí)中有兩個(gè)基本問(wèn)題:分類(lèi)與回歸，灰色系統(tǒng)模型常用于回歸問(wèn)題。在樣本個(gè)數(shù)較 小，樣本本身所含有的信息量有限的時(shí)候，若單純使 用弱分類(lèi)器或構(gòu)造結(jié)構(gòu)相對(duì)簡(jiǎn)單的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，性?xún)r(jià) 比低，常造成較大誤差,且不易解決訓(xùn)練后期會(huì)出現(xiàn) 的陷入局部極小值區(qū)域的問(wèn)題?；疑A(yù)測(cè)模型建模 所需樣本較少，而且對(duì)樣本所含有的信息

6、量沒(méi)有硬 性的規(guī)定，運(yùn)算方便，建模精度相對(duì)而言較高。在本 次實(shí)例中，根據(jù)學(xué)生成績(jī)預(yù)測(cè)的實(shí)際要求，構(gòu)造一個(gè) 灰色模型中十分常用的GM( 1,1)模型就能夠滿(mǎn)足 實(shí)際需求囪，此時(shí)系統(tǒng)的總體流程如圖1所示：(開(kāi)始)(開(kāi)始)匚二1生成原始數(shù)據(jù)序列|匚=數(shù)據(jù)累加I圖1系統(tǒng)總體流程圖2相關(guān)理論與推導(dǎo)灰色系統(tǒng)本質(zhì)上為增加若干先驗(yàn)條件的黑箱系 統(tǒng)血。開(kāi)發(fā)者完成灰色模型的建模后，用戶(hù)僅需輸 入維度合適的數(shù)據(jù)即可。為實(shí)現(xiàn)定性問(wèn)題的定量分 析,在求解的過(guò)程中要引入最小二乘法等方法，以完 成對(duì)于參數(shù)的近似求解。隨后用特定的微分方程來(lái) 完成近似求根工作，即可將所得數(shù)據(jù)作為離散序列 進(jìn)行預(yù)測(cè)工作在學(xué)生成績(jī)預(yù)測(cè)系統(tǒng)的實(shí)際要

7、 求中，筆者根據(jù)實(shí)際情況，使用灰色模型來(lái)處理不確 定量，使之量化,就能獲知符合學(xué)生成績(jī)預(yù)測(cè)模型的 樣本分布的某些特性，也可洞察在滿(mǎn)足特定條件下 的一般性規(guī)律，從而進(jìn)行回歸分析與預(yù)測(cè)。2.1初始化記序列X為理學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)一些 主干課程(常微分方程、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)，數(shù)學(xué)分 析(上、中、下)，高等代數(shù)(上、下)、空間解析幾何與 應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué))的期末總評(píng)的平均分，其中應(yīng)用統(tǒng)計(jì) 學(xué)課程因2017級(jí)目前還未開(kāi)設(shè)，僅僅使用4屆成績(jī) 完成相關(guān)實(shí)驗(yàn)。用L表示教務(wù)系統(tǒng)中記錄的科目的 系數(shù),0表示開(kāi)始統(tǒng)計(jì)的最初的2013級(jí)的成績(jī)，則 有：X( 0) = (X( 0) (1) ,X( 0) ( 2) ,%,

8、X( 0) ( J) )( 1)經(jīng)過(guò)必要的數(shù)據(jù)累加即可得到X( 1 ,X(2),。 兼顧系統(tǒng)的魯棒性與健壯性，將樣本帶入系統(tǒng)完成 相應(yīng)的運(yùn)算，輸出經(jīng)由回歸分析得來(lái)的結(jié)果。2. 2前期準(zhǔn)備學(xué)生成績(jī)作為樣本，其維度不算過(guò)高，而且系統(tǒng) 也并不需要完成高維度數(shù)據(jù)量的分類(lèi)與回歸工作, 使用灰色模型中相對(duì)簡(jiǎn)單的模型即可完成全部預(yù)定 工作。對(duì)于GM( 1,1)模型,-為與4無(wú)關(guān)的量，不失 一般性，方程可以記作：+ )4 =dt(2)經(jīng)由必要的采樣工作，引入一定離散含義，將- 寫(xiě)作離散形式，用6表示迭代的代際(epochs)(2)1( 1) (4( 1) ( 6 +1) + a 4(1) ( 6 +1) =

9、( 3)由微分方程通解,得具有離散含義的形式為 4(0( 6 +1) = ：4(0( 1) -%e-a6 + 4aa(4)由一元函數(shù)導(dǎo)數(shù)的基本定義可知，也為簡(jiǎn)化計(jì) 算，在1t很小的時(shí)候，代入到上述算式中，(4)14 = 4( 6 + 1) - 4( 6) = 1( 1) ( 4( 6 + 1) )( 5)1t2. 3實(shí)際含義在學(xué)生成績(jī)的預(yù)測(cè)模型中，若用(表示時(shí)間， 4()根據(jù)實(shí)際情況應(yīng)該取前后兩個(gè)單位時(shí)間段內(nèi) 的平均值作近似的代替，這樣做可以適當(dāng)減小計(jì)算 量，也可以在一定程度上彌補(bǔ)樣本數(shù)目不算很大的 數(shù)據(jù)求解平均值時(shí)帶來(lái)的弊端，此時(shí)4()( 6 +1 )可 用;R()( 6 + 1) + 4(

10、)( 6)代替。此時(shí)存在一個(gè)特例，即(=1的時(shí)候,這個(gè)時(shí)候 進(jìn)行額外的定義，具體如下所示： TOC o 1-5 h z 14 = 4( 6 + 1) - 4( 6) = 1( M 頃 6 + 1) :( 6)1t1( 1 ：4( ( 6 +1) : = 4( ( 6 +1) - 4(1)( 6) = 4( O) (6+1)(7)將(6)、( 7)稍微整理，代入到(2)中就能得到1(。4(。( 6 + 1) + a R( )( 6 + 1) = -( 8)在(=0時(shí)，上面的式子聯(lián)立，能夠得到如下的 式子：4(0) ( 6 + 1) = a( -y ：4( 11 ( 6) + 4( 11 ( 6

11、+ 1) :+ -(9)此時(shí)形成了遞推關(guān)系，下列式子可以寫(xiě)作：4 ( 2)-40 ( 3)L 40 ( C4 ( 2)-40 ( 3)L 40 ( C)-y 41 ( C + 41 ( C -1):1-y 41 ( C + 41 ( C -1):1小小。為簡(jiǎn)化書(shū)寫(xiě)，令(11)( (11)( 12)(13)(14)經(jīng)處理，針對(duì)學(xué)生成績(jī)預(yù)測(cè)系統(tǒng)的成績(jī)離散序列可由下面的式子表示:析,具體標(biāo)準(zhǔn)如表1所示：表1精度檢驗(yàn)等級(jí)參照表模型精度等級(jí)均方差比值81級(jí)（好）8%0. 352級(jí)（合格）0. 35 8%0. 53級(jí)（勉強(qiáng)）0. 5 8%0. 654級(jí)（不合格）0. 65 82 二(2) ,4( 3),4

12、( C) T TOC o 1-5 h z -y ：4 ( 2) + 41 (1) :1-：4( 3) + 41 ( 2) :1B T 2-；U( N) + 41 ( N -1) :1as =則(12)式可以寫(xiě)作2 = Bv姜啟源在其著作中通過(guò)大量的實(shí)際案例，給 定了一個(gè)實(shí)用性較強(qiáng)的表征誤差精度的表格，筆者 在實(shí)測(cè)時(shí)也按照下表中的指標(biāo)參數(shù)對(duì)理學(xué)院數(shù)學(xué)與 應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)一些主干課程的成績(jī)進(jìn)行參數(shù)精準(zhǔn)程 度的測(cè)試，并且引入了評(píng)價(jià)等級(jí)以及相關(guān)的定性說(shuō) 法（參照姜啟源書(shū)），有利于后期進(jìn)行必要的定量分( BTB) -1BT2(15)a至此,推導(dǎo)工作的核心部分已經(jīng)全部完成，之后 需進(jìn)行必要的驗(yàn)證工作,驗(yàn)證通過(guò)

13、才能保證此模型 在滿(mǎn)足特定條件的情況下是可信的。2. 4模型精度檢驗(yàn)按照清華大學(xué)姜啟源在其著作中給出的相 關(guān)說(shuō)明，灰色模型一般通過(guò)三種方式進(jìn)行相關(guān)的檢 驗(yàn)，分別為:相對(duì)誤差大小檢驗(yàn)法、關(guān)聯(lián)度檢驗(yàn)法和 后驗(yàn)差檢驗(yàn)法。本模型中根據(jù)學(xué)生成績(jī)預(yù)測(cè)的實(shí)際 情況使用后驗(yàn)差檢驗(yàn)法完成檢驗(yàn)。此時(shí)需要計(jì)算殘 差，殘差從某種程度上反映了后續(xù)參數(shù)優(yōu)化程度及 樣本進(jìn)化前進(jìn)方向。若已按照GM（ 1，1）的建模方 式求出了 4，做一次累減即得到4（0），遞推即可求 出第6項(xiàng)的殘差&（ 6）為： TOC o 1-5 h z &（ 6） = 4（ 0）（ 6） - 4（ 0） （ 6）（16）此時(shí)原始序列4（0）與殘差序列的

14、方差分別為：1;_= $ 4（）（ 6） - 4（17）；6 = 11;_52 = $ &（ 6） - /（18）；6 = 1_1；_1；其中 4 二一$ 4（）（ 6） ，& = $&（ 6） !；6 = 1； 6 = 1后驗(yàn)差比8可以寫(xiě)成：528 =寸（19）對(duì)于8而言，根據(jù)學(xué)生成績(jī)預(yù)測(cè)模型的實(shí)際要 求，此時(shí)8的取值越小越有益于模型發(fā)揮實(shí)際功 效。8越小表示51越大且A?越小。51大表示原始 數(shù)據(jù)方差取值較大，即原始數(shù)據(jù)的離散程度大。52 小表示殘方差小，即學(xué)生成績(jī)預(yù)測(cè)模型的離散程度3結(jié)果與分析使用MATLAB完成了相關(guān)的代碼，對(duì)理學(xué)院數(shù) 學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)一些主干課程進(jìn)行預(yù)測(cè)，對(duì)2013

15、-2017級(jí)一些數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)主干課程的期末總評(píng)成績(jī) （主要是期末學(xué)科成績(jī)的班級(jí)平均分）進(jìn)行分析，其 中包含的課程有常微分方程、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)、數(shù) 學(xué)分析（分為上、中、下三個(gè)部分）、高等代數(shù)（分為 上、下兩個(gè)部分）、空間解析幾何以及應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué) （應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)的課程因2017級(jí)還沒(méi)有開(kāi)設(shè)，成績(jī)暫 缺）。試卷滿(mǎn)分均為100,補(bǔ)考通過(guò)后成績(jī)一律記作 60。在此基礎(chǔ)上，使用上述介紹的灰色模型對(duì)學(xué)生 成績(jī)進(jìn)行了預(yù)測(cè)與回歸分析，從而得到了之后兩級(jí) 成績(jī)的預(yù)測(cè)，也按照表1所示的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行精度檢驗(yàn), 得到了表2（ C1:常微分方程,C2：概率論與數(shù)理統(tǒng) 計(jì),C3：數(shù)學(xué)分析（上），C4：數(shù)學(xué)分析（中），C5：數(shù)學(xué) 分析

16、（下），C6：高等代數(shù)（上），C7：高等代數(shù)（下）， C8:空間解析幾何,C9：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)學(xué)。結(jié)果保留四位 小數(shù)） ：在數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)主干課程的統(tǒng)計(jì)總表 中,發(fā)現(xiàn)有些學(xué)生并未通過(guò)考試，同時(shí)也因某些原因 并未參加補(bǔ)考，其作為特殊樣本在一定程度上影響 了模型的最終判斷。對(duì)于預(yù)測(cè)精度結(jié)果為合格的常微分方程學(xué)科以 及預(yù)測(cè)精度結(jié)果為好的概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)、數(shù)學(xué)分 析（上）、數(shù)學(xué)分析（中）、高等代數(shù)（上）以及應(yīng)用統(tǒng) 計(jì)學(xué)而言，用橫軸均表示年份（以2013級(jí)為起點(diǎn)）， 縱軸均表示分?jǐn)?shù),其趨勢(shì)圖經(jīng)匯總?cè)鐖D2所示（其 中“”表示實(shí)際結(jié)果，“5”表示擬合結(jié)果）。C1C2C3C4C5C6C7C8C9后驗(yàn)差比值0.3

17、8580. 19200. 07110. 10430. 57740. 13480. 52370. 56850. 3034系統(tǒng)預(yù)測(cè)精度合格好好好勉強(qiáng)好勉強(qiáng)勉強(qiáng)好下一個(gè)擬合值71.913085. 287185. 194377. 219377. 820778. 301779. 450279. 7594C1C2C3C4C5C6C7C8C9后驗(yàn)差比值0.38580. 19200. 07110. 10430. 57740. 13480. 52370. 56850. 3034系統(tǒng)預(yù)測(cè)精度合格好好好勉強(qiáng)好勉強(qiáng)勉強(qiáng)好下一個(gè)擬合值71.913085. 287185. 194377. 219377. 820778.

18、301779. 450279. 759479.2422隨后第二個(gè)擬合值69.745486. 934689. 387077. 788578. 127479. 274479. 952681. 919280.2724表2灰色模型預(yù)測(cè)結(jié)果匯總表圖2預(yù)測(cè)結(jié)果合格以上的課程圖3預(yù)測(cè)結(jié)果合格以下的課程通過(guò)實(shí)驗(yàn)?zāi)軌蚩闯鰯M合效果并不理想，特別是 數(shù)學(xué)分析（下）與高等代數(shù)（下）。在2015級(jí)的成績(jī) 統(tǒng)計(jì)中，與前面幾屆以及后面多屆相比，數(shù)學(xué)分析 （下）、空間解析幾何的成績(jī)出現(xiàn)了集體大幅度波動(dòng) 的情況。在整合了 4-5屆學(xué)生成績(jī)的基礎(chǔ)上，發(fā)現(xiàn)有些 學(xué)科的成績(jī)總體上呈現(xiàn)穩(wěn)步上升的趨勢(shì)，未來(lái)也將 很有可能持續(xù)這個(gè)趨勢(shì),如

19、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)、數(shù)學(xué) 分析（上）與數(shù)學(xué)分析（中），但是有些學(xué)科的成績(jī)總 體上呈現(xiàn)下降趨勢(shì),如常微分方程，一些數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)主 干課程確實(shí)存在最終評(píng)分的預(yù)測(cè)值與實(shí)際值相差過(guò) 大的情況。造成上述情況的原因有很多，如學(xué)生來(lái) 自五湖四海同學(xué)們的生活習(xí)慣、學(xué)習(xí)方式、理解能 力、高中階段相應(yīng)學(xué)科的積累等因素受到很多方面 的影響;數(shù)學(xué)分析（下）、高等代數(shù)（下）本身教學(xué)內(nèi) 容比數(shù)學(xué)分析（上、中）、高等代數(shù)（上）難度加大，有 部分學(xué)生并不能很快適應(yīng)全新的思維方式以及全新 的教學(xué)節(jié)奏;每個(gè)屆別的學(xué)生之間進(jìn)校成績(jī)有些差 異;不同的授課教師對(duì)學(xué)生的成績(jī)也有影響,個(gè)別教 師的教學(xué)方法與教學(xué)手段亟待改善;每年上述課程 的試卷

20、難易程度差別不大，但每年的試卷難度還是 有所不同；每屆學(xué)生的學(xué)風(fēng)與管理水平也不同等。 雖然影響學(xué)生成績(jī)預(yù)測(cè)模型結(jié)果的原因有多種，但 是成績(jī)的大幅度波動(dòng)現(xiàn)象還是值得每一個(gè)基層教師 與管理人員思考和關(guān)注的。4基于趨勢(shì)的分析與展望蚌埠學(xué)院是一所以工科為主的普通應(yīng)用型本科 院校,學(xué)校緊緊圍繞“立德樹(shù)人”這一根本任務(wù)，銳 意進(jìn)取,根據(jù)學(xué)生的個(gè)性對(duì)教學(xué)方法與教學(xué)計(jì)劃不 斷革新。雖然僅從灰色模型預(yù)測(cè)的結(jié)果上無(wú)法完全 斷定理學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)一些主干課程的教 學(xué)質(zhì)量，但是由模型回歸分析所得的預(yù)測(cè)結(jié)果上仍 能得到某些趨勢(shì)，有些趨勢(shì)令人欣慰，值得發(fā)揚(yáng)光 大，而有些趨勢(shì)并不讓人十分滿(mǎn)意，需要對(duì)教與學(xué)、 管理等方面提出改進(jìn)和提高的辦法和措施，達(dá)到優(yōu) 化教學(xué)與管理，不斷提高教學(xué)質(zhì)量的目的，值得推 廣。下面對(duì)這些趨勢(shì)進(jìn)行分析，在此基礎(chǔ)上僅從個(gè) 人的角度出發(fā)