概率及其計(jì)算

1、本章知識(shí)結(jié)構(gòu)圖第十三章概率與統(tǒng)計(jì)第一節(jié)概率及其計(jì)算考綱解讀了解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性、頻率的穩(wěn)定性、概率的意義、頻率與概率的區(qū)別。了解兩個(gè)互斥事件的概率的加法公式。掌握古典概型及其概率計(jì)算公式。了解隨機(jī)數(shù)的意義，能運(yùn)用模擬方法估計(jì)概率。了解幾何概型的意義。命題趨勢探究本部分為高考必考內(nèi)容，在選擇題、填空題和解答題中都有滲透。命題設(shè)置以兩種概型的概率計(jì)算及運(yùn)用互斥、對立事件的概率公式為核心內(nèi)容，題型及分值穩(wěn)定，難度中等或中等以下。知識(shí)點(diǎn)精講一、必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件在一定條件下：必然要發(fā)生的事件叫必然事件；一定不發(fā)生的事件叫不可能事件；可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件叫隨機(jī)事件。二、概率在相同

2、條件下，做次重復(fù)實(shí)驗(yàn)，事件發(fā)生次，測得發(fā)生的頻率為，當(dāng)很大時(shí)，發(fā)生的頻率總是在某個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)，隨著的增加，擺動(dòng)幅度越來越小，這時(shí)就把這個(gè)常數(shù)叫做的概率，記作。對于必然事件，對于不可能事件A三、基本事件和基本事件空間在一次實(shí)驗(yàn)中，不可能再分的事件稱為基本事件，所有基本事件組成的集合稱為基本事件空間。四、兩個(gè)基本概型的概率公式1條件：、基本事件空間含有限個(gè)基本事件、每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同p.A包含基本事件數(shù)_card(A)基本事件總數(shù)：card()2條件：每個(gè)事件都可以看作某幾何區(qū)域的子集A的幾何度量(長度、面積、體積或時(shí)間)記為A五、互斥事件的概率、互斥事件在一次實(shí)驗(yàn)中不能同時(shí)發(fā)生的事件

3、稱為互斥事件。事件與事件互斥，則PBPP。、對立事件事件互斥，且其中必有一個(gè)發(fā)生，稱事件對立，記作B不或AB。P1p。、互斥事件與對立事件的聯(lián)系對立事件必是互斥事件，即“事件，對立“是“事件，互斥”的充分不必要條件。題型176古典概型思路提示首先確定事件類型為古典概型，古典概型特征有二：有限個(gè)不同的基本事件及各基本事件發(fā)生的可能性是均等的；其次計(jì)算出基本事件的總數(shù)及事件所包含的基本事件數(shù)；最后計(jì)算Phua包含基本事件數(shù)基本事件總數(shù)。例13.1設(shè)平面向量a看,1.bn，其中m,n11.2,3,4mn1請列出有序數(shù)組咻,n.所有可能結(jié)果；()若“使得abb,立的餐n1為事件，求事件發(fā)生的概率。mm

4、n分析：兩向量垂直的充要條件是兩向量的數(shù)量積為0,從而可得m與n的關(guān)系，再從以上1m,n16個(gè)有序數(shù)組中篩選出符合條件的，即得事件A包含的基本事件個(gè)數(shù)。解析：(1)由m,n.2,立4有序數(shù)組看,nH勺所有可能結(jié)果為，.2-U，,1,2M,3-,4，,11,2f，,1,2,3.4共16個(gè)。(2)因?yàn)閍看b,n1所以ab嗝12,1In，.又ab1得mnmnmmn即m22mnHO，所以n嗎1。故事件A包含的基本事件有,1口,4,共2個(gè)，由古典概型概率計(jì)算公式得P*121。168評注：解題時(shí)，將所有基本事件全部列出是避免重復(fù)和遺漏的有效方法，注意在列舉時(shí)，必須按照某一順序來列舉；本題以向量為載體，利用

5、向量的運(yùn)算和關(guān)系等向量的基本知識(shí)解決概率問題，是將兩類知識(shí)結(jié)合得較好的一道題目。變式1電子鐘一天顯示的時(shí)間從00：0023：59,每一時(shí)間都由4個(gè)數(shù)字組成，則一天中任取一時(shí)刻顯示的4個(gè)數(shù)字之和為23的概率為（）111A.B.C.180288360夾角為，則的概率是（1D.-480，記向量a看,n向量B.，a與b的變式2連拋兩次骰子的點(diǎn)數(shù)分別為m,n5175A.B.一C.D.一122126例13.2（2012重慶理15）某藝校在一天的6節(jié)課中隨機(jī)安排語文，數(shù)學(xué)，外語三門文化課和其它三門藝術(shù)課各1節(jié)，則在課表上的相鄰兩節(jié)文化課之間最多間隔1節(jié)藝術(shù)課的概率為（用數(shù)字作答）。解析：6節(jié)課隨機(jī)安排，共有

6、A6720種不同的方法。課表上相鄰兩節(jié)文化課之間最多間6隔1節(jié)藝術(shù)課，有以下三種情況：三門文化課間有2節(jié)藝術(shù)課：有A3A2A172種方法;332三門文化課間有1節(jié)藝術(shù)課：有A3C1A1A3216種方法；三門文化課間有0節(jié)藝術(shù)課:3323有A3A4144種方法。共有72+216+144=432種符合題意的安排方法，故所求概率為34p四2=37205變式1（2012上海理11）三位同學(xué)參加跳高，跳遠(yuǎn)，鉛球項(xiàng)目的比賽，若每人都選擇其中兩個(gè)項(xiàng)目，則有且僅有兩人選擇的項(xiàng)目完全相同的概率是（結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示）。變式2甲乙兩人一起去游“2011西安世園會(huì)”，他們約定：各自獨(dú)立地從1到6號(hào)景點(diǎn)中任選4個(gè)進(jìn)行

7、游覽，每個(gè)景點(diǎn)參觀1小時(shí)，則最后一小時(shí)他們同在一個(gè)景點(diǎn)的概率是（A.1361B.一9C.36D.變式3在某地的奧運(yùn)火炬?zhèn)鬟f活動(dòng)中，有編號(hào)1,2,3,，18的18名火炬手，若從中TOC o 1-5 h z任選3人，則選出的3名火炬手的編號(hào)能組成以3為公差的等差數(shù)列的概率為（） HYPERLINK l bookmark40 1111A._B.彳C.彳D. HYPERLINK l bookmark65 5168306408題型177幾何概型的計(jì)算思路提示首先確定事件類型為幾何概型并明確其幾何區(qū)域（長度、面積、體積或時(shí)間），其次計(jì)算出基本事件區(qū)域的數(shù)值和事件a包含區(qū)域數(shù)值，最后計(jì)算P(A)，解幾何概型

8、問題的關(guān)鍵是A事件區(qū)域數(shù)值（長度、面積、體積或時(shí)間）基本事件區(qū)域數(shù)值（長度、面積、體積或時(shí)間）畫圖、求面積。例13.3（2012遼寧理10）在長為12cm的線段AB上任取一點(diǎn)C，現(xiàn)作一矩形，鄰邊長分別為線段AC,CB的長，則該矩形面積小于32cm2的概率為（）1A.一61B.一32C.一3D.解析：設(shè)ACx，則CB12x，且0 x12，所以x2x表示矩形的面積，令x2x.32，解得：x4或x8，如圖13-1所示，44_2-故所示的概率為P.故選C.JL乙J變式1A2,logt，B%214x240,x,tR,AB,(1)定義區(qū)間,b的長度為ba,A的長度為3,則t=.（2）某函數(shù)f的值域?yàn)锽，且

9、f的概率不小于0.6，則t的取值范圍為例13.4（2012福建理6）如圖13-2所示，點(diǎn)P恰好取自陰影部分的概率為（）在邊長為1的正方形OABC中任取一點(diǎn)P，則圖13-2A.141B,51C-6D.解析：由題意可知，陰影部分的面積是由函數(shù)yJX,yx圍成的幾何圖形的面積，利用_21_1,_1定積分可知：s=dxIXdxx3cx21乙，又SH”T，所以由陰影0030206正方形oabc幾何概型知，所求的概率為P1.故選C.6評注：利用線性規(guī)劃和積分知識(shí)求面積，是解決相關(guān)的幾何概型問題的常見方法.變式1小波通過做游戲的方式來確定周末活動(dòng)，他隨機(jī)地往單位圓內(nèi)投擲一點(diǎn)，若此點(diǎn)到圓心的距離大于1，則周末

10、去看電影；若此點(diǎn)到圓心的距離小于1，則去打籃球；否則，24在家看書，則小波周末不在家看書的概率為.變式2（2012北京石景山一模理13）如圖13-3所示，圓O：X2y22內(nèi)正弦曲線ysinx與x軸圍成的區(qū)域記為M（圖中陰影部分），隨機(jī)往圓O內(nèi)投一個(gè)點(diǎn)A，則該點(diǎn)A落在區(qū)域M內(nèi)的概率是.1D.abH,a,bR，則f10的概率為圖13-3變式3（2012湖北理8）如圖13-4所示，在圓心角為直角的扇形OAB中，分別以O(shè)A，OB為直徑作兩個(gè)半圓，在扇形OAB內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率是（）2C.-解析:*,A且oib*ab0,，A13-5例13.5已知fXaxb,194B416,33-,A

11、221632變式1A=X1x。BlXIaxbxH10,0a2,1b31a,bN，求AB2a,bRAB=的概率.例13.6甲乙兩人約定在20：00到21：00之間相見，并且先到者必須等遲到者40分鐘方可離去，如果兩人出發(fā)是各自獨(dú)立的，在20：00到21：00各時(shí)刻相見的可能性是相等的，求兩人在約定時(shí)間內(nèi)能相見的概率。分析由題意知，當(dāng)甲乙兩人到達(dá)目的地的時(shí)間相差小于或等于40分鐘時(shí)兩人便能在約定時(shí)間內(nèi)相見。解析設(shè)甲乙兩人分別于x時(shí)和J時(shí)到達(dá)約定地點(diǎn)，要使兩人能在約定時(shí)間范圍內(nèi)相見，當(dāng)22且僅當(dāng)3xy3.記20：00為0時(shí)，21：00為1時(shí)，兩人到達(dá)約見地點(diǎn)的所有可能mx1時(shí)刻x,yf足，結(jié)果可用如

12、圖13-6所示的單位正方形（包括邊界）內(nèi)的點(diǎn)來碎y1表示，兩人能在約定時(shí)間內(nèi)相見的時(shí)刻x,丁電所有可能滿足y23x23可用如圖13-6所示的陰影部分（包括邊界）來表示。IP圖13-61印噓WWI=in評注：對問題中事件模型的認(rèn)識(shí)與轉(zhuǎn)化是解決問題的關(guān)鍵，這里涉及兩個(gè)人的時(shí)間轉(zhuǎn)化為二維面積問題計(jì)算.變式1甲乙兩艘輪船都要?？吭谕徊次?，它們可能在一晝夜的任意時(shí)刻到達(dá).如果甲乙兩船?？坎次坏臅r(shí)間分別為4小時(shí)和2小時(shí)，求有一艘輪船?？坎次粫r(shí)必須等待一段時(shí)間的概率。變式2小明家的晚報(bào)在下午5：306：30之間的任何一個(gè)時(shí)刻隨機(jī)地被送到，小明一家人在下午6：007：00之間的任何一個(gè)時(shí)刻隨機(jī)地開始晚餐。（

13、1）你認(rèn)為晚報(bào)在晚餐開始之前被送到和在晚餐開始之后被送到哪一種可能性更大？（不用計(jì)算）.（2）晚報(bào)在晚餐開始之前被送到的概率是多少？最有效訓(xùn)練題53（限時(shí)40分鐘）1、甲乙丙三人隨意坐下一排座位，乙正好坐中間的概率為（）A.2、1B.一31C.4D.從此3,4,5中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)為a16，從唾3中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)為b的概率是（45)352C.5D.3、兩根相距3m的木桿上系一根拉直的繩子，并在繩子上掛彩珠，則彩珠與兩端距離都大于1m的概率為A.1B.一3D.4、先后拋擲兩枚均勻的正方體骰子（它們的六個(gè)面分別標(biāo)有點(diǎn)數(shù)1,2,3,4,5,6），骰子朝上的面的點(diǎn)數(shù)分別為X,丫，則夠J1的概率為（）MA

14、.B.36C.12D.5、在邊長為18cm的線段AB上任取一點(diǎn)M，并以線段AM為邊作正方形，則這個(gè)正方形的面積介于36cm2與81cm2之間的概率為（）5A.61B.一21C.3D.6、甲乙分別從正方形四個(gè)頂點(diǎn)中任意選擇兩個(gè)頂點(diǎn)連成直線，則所得的兩條直線相互垂直的概率是（3A.18)4B.185C.18D.6187、從一副混合后的撲克牌（52張）中隨機(jī)抽取1張，事件A為“抽得紅桃K，事件B為“抽得的是黑桃”則概率P.B1（結(jié)果用最簡分?jǐn)?shù)表示）.8、一個(gè)正三角形的外接圓的半徑為1，向該圓內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)P，點(diǎn)尸恰好落在正三角形外的概率是.9、已知函數(shù)f*ax2!1印b，且a1,3，則對于任意的bR，函數(shù)F.fX.工總有兩個(gè)不同的零點(diǎn)的概率是.10、現(xiàn)有10個(gè)數(shù)，它們能構(gòu)成一個(gè)以1為首項(xiàng)，”為公比的等比