數(shù)值分析重點

1、數(shù)值剖析要點第一章偏差剖析近似數(shù)偏差大小的胸懷方法：絕對偏差/相對偏差/有效數(shù)字1、有效數(shù)字的判斷定義：從末端到第一個非零數(shù)字之間的全部數(shù)字的個數(shù)。幾個要點結(jié)論：（1）、設(shè)數(shù)x的近似值能夠表示為x*0.12n10m此中m是整數(shù),),n是0到9中的一個數(shù)字，i(i=1,2,而10.假如其絕對偏差限為xx*110mn2（不超出其末端數(shù)的半個單位）則稱近似數(shù)x*擁有n位有效數(shù)字。（2）、相對偏差與有效數(shù)字的關(guān)系（偏差：精準(zhǔn)值與近似值的差值）x*0.12n10m1.23n10m1110m1xx*110mn2獲得相對偏差限x*110mn1er(x)x210(n1)x*10m12112.偏差的分類：模型偏

2、差、觀察偏差、截斷偏差（方法偏差）和舍入偏差（計算偏差）3.偏差算法設(shè)計應(yīng)注意的問題：1）、防止兩個鄰近的數(shù)相減考慮可否改變一下算法2）、防備大數(shù)“吃掉”小數(shù)當(dāng)一組數(shù)進行相加運算時，應(yīng)依據(jù)由小到大的序次進行相加。（3）、絕對值太小的數(shù)不宜作除數(shù)考慮可否改變一下算法4）、注意簡化計算程序，減少計算次數(shù)5）、采納數(shù)值穩(wěn)固性好的算法4、偏差的流傳：Taylor睜開式：f(x1,x2,xn)在(x1*,x2*,xn*)的睜開：e(y)=f(x1,x2,xn)-f(x1*,x2*,xn*)f(x1x1)f(x2x2)Lf(xnxn)fe(x1)fe(x2)fe(xn)x1x2xnx1x2xnfn(x1,

3、x2,xn)(k1,2,n)e(y)ffxke(xk)xkxkk1比如：（x1+x2）=(x1)+(x2)（x1*x2）=|x1|(x2)+|x2|(x1)（x1/x2）=|x1|(x2)+|x2|(x1)/|x2|2第二章代數(shù)插值經(jīng)過一些實驗所得的失散點找到函數(shù)的一個知足精度要求且便于計算的近似表達式（多項式）。n+1個互異的節(jié)點能夠獨一確立一個n次多項式。填空1.差商與微商的關(guān)系fx,x0,x1f(n1)(),xn例1：f(x)x5(n1)!x1,試求其以下差商：f20,21,22,23,24,25f20,21,22,23,24,25,26例2：已知一個四階差商和一個五階差商，用定義反求另

4、一個四階差商。一般地，稱k-1階差商的一階差商為k階差商：fx0,x1,xk1,xkfx0,x1,xk1fx1,x2,xkx0 xk為f(x)對于點x0,x1,xk的k階差商。2.p54頁證明題：考詳細的例子。次多項式插值函數(shù)為其自己。3.分段線性插值公式的記憶二次拉格朗日插值多項式的三種表示形式：22xxiL2(x)yj緊湊格式i0 xjxij0ij2L2(x)L2(x)偏差預(yù)計式Rn(x)yjlj(x)基函數(shù)表示j023(x)yj(xxj)3(xj)3(x)表示式j(luò)0f(n1)()(x),(a,b)f(x)Ln(x)n1(n1)!此中，n+1(x)=(x-x0)(x-x1)(x-xn)分段

5、線性插值函數(shù)：s1(x),xx0,x1s2(x),xx1,x2S(x)sn(x),xxn1,xn在區(qū)間xi1上的線性函數(shù)為Si(x)xxixxi1,i1,2,n,xiyxiyixi1xi1xi4.由三次樣條差值多項式的性質(zhì)(二階導(dǎo)數(shù)連續(xù))求未知常數(shù)。大題1.給出幾個點，結(jié)構(gòu)插值多項式（newton直接列表求），并求出在某點的函數(shù)值和導(dǎo)數(shù)值。important:newton插值多項式:Nn(x)f(x0)(xx0)fx0,x1(xx0)(xx1)fx0,x1,x2(xx0)(xx1)(xxn1)fx0,x1,xn2.給出三個點和一個導(dǎo)數(shù)值，結(jié)構(gòu)差值多項式再求出偏差項。(P39頁，例題2.7)第三

6、章最正確平方迫近1.相當(dāng)于已知兩個未知量，兩個方程的求解（注意基函數(shù)的取法）。important:連續(xù)函數(shù)：(0,0)(1,0)(0,1)(1,1)(0,n)(1,n)(n,0)c0(f,0)n,1)c1(f,1)n,n)cn(f,n)解此方程組，就能夠獲得c0*,c1*,cn*，也就獲得了f(x)的最正確平方迫近：pn(x)c00(x)c11(x)偏差為2*2*失散點：fpn2(fpn,f)0(x0)1(x0)n(x0)A0(x1)1(x1)n(x1)0(xm)1(xm)n(xm)m1,ncnn(x)2nci*(f,i)(f,f)(pn*,f)f2i0c0y0c1y1CY1cnym法方程組表

7、示為：ATACATYmmmmn偏差：2i2(yi*yi)2f(xi)yi2c*jj(xi)yi2i0i0i0i0j0第四章數(shù)值微積分采納近似解法或數(shù)值解法的思想是先找出被積函數(shù)f(x)的近似函數(shù)p(x),即：f(x)bbp(x)，則能夠獲得：f(x)dxp(x)dxaa填空Newton-cotes型系數(shù)之和：（b-a）或許1簡單梯形公式、simpson公式的記憶important:梯形求積公式及其偏差為：bf(x)dxbaf(b)af(a)2R1fh3(ba)3f(),(a,b)f()1212拋物線(simpson)求積公式及偏差為：f(x)dxbaf(a)4f(ab)f(b)ba62R2f(

8、ba)5f(4)(),(a,b)28803.用代數(shù)精度的定義來確立未知常數(shù)a。定義：假如求積公式bnaf(x)dxAkf(xk)(4.1)k0對于f(x)=xi(i=0,1,)n精準(zhǔn)建立bnAkxki即xidx,i0,1,n.ak0而對于f(x)=xn+1不精準(zhǔn)建立，即bnxn1dxAkxn1ak0則稱積分公式（4.1）擁有n階代數(shù)精度。4、Gauss型公式（n個點擁有2n-1階代數(shù)精度）。5、寫出Gauss型公式（6個，三個特別，三個一般（帶權(quán)和不帶權(quán)的）Gauss-Legendre(勒讓德)求積公式：1nf(x)dxAkf(xk)1k1banabbababatbxaf(x)dx2Akf2x

9、k22k12Gauss-拉蓋爾求積公式：exf(x)dxnAkf(xk)0k1nnf(x)dxAkF(xk)Akexkf(xk)0k1k1Gauss-Hermite求積公式：ex2nf(x)dxAkf(xk)k1nf(x)dxAkexk2f(xk)k16、數(shù)值微分公式（向前，向后，中心，一階三點，二階三點公式及推導(dǎo)）一階向前差商數(shù)值微分公式f(x0h)f(x0)f(x0)hf(x0)一階向后差商數(shù)值微分公式f(x0h)f(x0)h一階中心差商數(shù)值微分公式f(x0h)f(x0h)f(x0)2h7、一般的Gauss型求積公式的結(jié)構(gòu)：可采納待定系數(shù)法，將Gauss型求積公式的系數(shù)和節(jié)點確立下來。例：

10、兩點的Gauss型求積公式有三階精度：對1，x,x2精準(zhǔn)建立。大題1、復(fù)化的梯形公式、simpson公式及偏差預(yù)計式。important:復(fù)化的梯形公式及偏差預(yù)計式：（n段需要n+1個點，步長h為1/n）bhn1f(a)2f(xk)f(b)f(x)dxa2k1Rnfh2(ba)f()(ba)3f(),(a,b)1212n2復(fù)化拋物線公式及偏差預(yù)計式：（n段需要2n+1個點，步長h為1/n）bhnn1f(a)4f(x1)2f(xk)f(b)f(x)dxa6k1kk12(ba)h4(ba)5Rnff(4)()4f(4)(),(a,b)28802880n2、一般數(shù)值積分（非兩種特別的積分）任意取n點

11、，結(jié)構(gòu)出n-1次lagrange插值多項式，作為未知函數(shù)的近似，求積分。第五章線性方程組的直接解法填空1、gauss消去法解方程組的合用條件：系數(shù)矩陣A的各階次序主子式不等于0。gauss消去法包含兩個過程：先把方程組化為同解的上三角形方程組，再按相反次序求解上三角形方程組，前者稱消去或許消元過程，后者稱為回代過程。2、LU分解解方程組的合用條件：系數(shù)矩陣A的各階次序主子式不等于0。（gauss消去法、LU分解均能夠直接用增廣矩陣進行變形）tA為對稱正定矩陣（各階次序主子式大3、可進行喬列斯分解（A=GG）的條件：系數(shù)矩陣于0且A=At）大題1、LU分解解方程組（詳細）直接用增廣矩陣進行計算。

12、第六章線性方程組的迭代解法迭代法求解過程包含：初值的選用、依據(jù)迭代格式進行迭代計算、對迭代格式收斂性判斷。填空1、向量和矩陣范數(shù)的計算*（n一般指列向量）向量1-范數(shù)：x1i1xi1向量2-范數(shù)：n2xxi221i向量3-范數(shù)：xmaxxi1inn矩陣1-范數(shù)：A1max|aij|列和1jni11矩陣2-范數(shù)：A2=(ATA的最大特點值)2n矩陣3-范數(shù)：Amax|aij|行和1inj12、譜半徑的定義及計算（A的特點值絕對值的最大者）(A)3、條件數(shù)Cond(A)=|A|A-1|，假如Cond(A)=|A|A程組為病態(tài)方程組。4、AxAx|,xRn|A|，(A)|A|5、SOR迭代法收斂的必

13、需條件是02。maxi1in-1|太大，則稱相應(yīng)的方大題1、迭代格式的結(jié)構(gòu)及收斂性判斷。Important:兩個迭代矩陣J-1(L+U)=-D-1(A-D)=E-D-1AFJ=D-1b.Jacobi：B=-DGauss-seidle：B=-(L+D)-1F=(L+D)-1UGG（此中L為下三角陣，D為對角陣，U為上三角陣）收斂性判斷：Jacobi：A嚴(yán)格對角占優(yōu)；(B)1Gauss-seidle:A嚴(yán)格對角占優(yōu)；A對稱正定；(B)1（A為系數(shù)矩陣;B為迭代矩陣）迭代次數(shù)的控制：kkkx(k)x*B(x(1)x(0)B(Bx(0)Fx(0)B(F2x(0)1B1B1B|x(k+1)-x(k)|2

14、、一般迭代格式收斂性判斷先將f(x)=0化為：x(k+1)=Bx(k)+F（(B)1；收斂速度：(B)越小，收斂速度越快）第八章非線性方程組求根填空1、二分法：偏差=b-a（k=0,1）2k+12、Newton迭代格式：xk1xkf(xk),k0,1,（注意f(x)=0的變形式且將f(x)具體形式代入）f(xk)大題1、一般迭代格式的結(jié)構(gòu)及收斂性判斷(3個條件)由方程f(x)=0產(chǎn)生的迭代格式:x=g(xk),k=0,1,2,(8.3)k+1設(shè)迭代函數(shù)g(x)知足條件:1）g(x)Ca,b;2）當(dāng)xa,b時,g(x)a,b;3）g(x)存在，且存在0L1，使得對全部xa,b，|g(x)|L0)

15、.（令f(x)=xn-a）(利用局部收斂性定理證明)局部收斂性定理：假如方程x=g(x)知足條件：1).g(x)在方程的解x*的鄰域內(nèi)連續(xù)可微；2).|g(x*)|1(因為g(x)在x*的鄰域內(nèi)連續(xù)可微，故必定存在L使得|g(x*)|L1)；3、收斂階數(shù)判斷及證明：定義：由迭代法xk+1=g(xk)產(chǎn)生的偏差ek=xk-x*，假如當(dāng)k時ek1C(C0)pek則稱迭代法是p階收斂的。當(dāng)p=1且0c1時稱為線性收斂，當(dāng)p=2時稱為平方收斂或二階收斂。1).對于一般迭代解xk+1=g(xk)則迭代格式xk+1=g(xk)線性收斂。證明：xk1x*g(xk)g(x*)g()(xkx*)若ek1g()g(x*)0(k)且g(x*)1ek則迭代格式xk+1=g(xk)線性收斂。2).Newton迭代法擁有二階收斂速度。xk1xkf(xk)0f(xk)f(xk)(xk1xk)f(xk)再由Taylor展式獲得f()(x*0f(x*)f(xk)f(xk)(x*xk)xk)2兩式相減0f(xk)(xk1x*)ekf()2!ef(x*)1k*1當(dāng)k時x,xf(x*)f(x*)22f(xk)x2ekek2f(x*)第九章常微分方程數(shù)值解填空1、一般Euler法基本表達式（帶入f(x,y)式