2021年貴陽市中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)：軌跡問題中的“瓜豆原理”模型

1、2021年貴陽市中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)：軌跡問題中的“瓜豆原理”模型2021年貴陽市中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)：軌跡問題中的“瓜豆原理”模型微專題 軌跡問題中的“瓜豆原理”模型(2019.15)1. 圖形變換(平移、翻折、旋轉(zhuǎn)及位似等)的本質(zhì)是點(diǎn)變換；反之，點(diǎn)變換也可以看作該點(diǎn)所在圖形的變換；2. 分析問題時(shí)，要先找定點(diǎn)，再確定從動(dòng)點(diǎn)如何隨主動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，即主動(dòng)點(diǎn)關(guān)于定點(diǎn)經(jīng)過怎樣的變換可以得到從動(dòng)點(diǎn)；3. 使用“瓜豆原理”的前提是必須存在定點(diǎn)來充當(dāng)旋轉(zhuǎn)(位似)中心，使主動(dòng)點(diǎn)經(jīng)過相應(yīng)的變換可以得到從動(dòng)點(diǎn)，即“無定點(diǎn)，不瓜豆”微專題 軌跡問題中的“瓜豆原理”模型(2019.15)1模型分析問題1(共頂點(diǎn)，等線段)

2、根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，寫出在下列三角形中，點(diǎn)P經(jīng)過怎樣的旋轉(zhuǎn)變換可以得到Q點(diǎn)(1)等腰RtAPQ；(2)等邊APQ；(3)任意等腰APQ(頂角為)圖圖圖問題1圖類型一旋轉(zhuǎn)型問題1解：(1)點(diǎn)Q可以看作點(diǎn)P繞定點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90而來；(2)點(diǎn)Q可以看作點(diǎn)P繞定點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60而來；(3)點(diǎn)Q可以看作點(diǎn)P繞定點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角而來模型分析問題1(共頂點(diǎn)，等線段)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，寫出在下列問題2(直線生直線)在問題1中，若點(diǎn)A是定點(diǎn)，點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過程中保持A大小不變，則點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)路徑是什么？它可以由點(diǎn)P的路徑通過怎樣的旋轉(zhuǎn)變換得到？圖圖圖問題2圖問題2(直線生直線)在問題1

3、中，若點(diǎn)A是定點(diǎn)，點(diǎn)P在直線l問題2解：點(diǎn)Q可以看作點(diǎn)P繞定點(diǎn)A經(jīng)過旋轉(zhuǎn)而來，因此點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡即可由直線l通過旋轉(zhuǎn)得到. 把AP和直線l作為一個(gè)整體，AQ的對(duì)應(yīng)線段是AP，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)軌跡即是l繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)方向角A得到如解圖所示：?jiǎn)栴}2解圖問題2解圖問題2解圖問題2解：點(diǎn)Q可以看作點(diǎn)P繞定點(diǎn)A經(jīng)過旋轉(zhuǎn)而來，因此點(diǎn)Q的問題3(圓生圓)在問題2中，若將“定直線l”改為“定O”，其他條件不變，結(jié)果如何？圖圖圖問題3圖問題3解：點(diǎn)Q的路徑可以由點(diǎn)P所在的O繞定點(diǎn)A經(jīng)過相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)而來，如解圖所示：?jiǎn)栴}3解圖問題3解圖問題3解圖問題3(圓生圓)在問題2中，若將“定直線l”改為“定O”模型總結(jié)此類軌跡問

4、題可通過“旋轉(zhuǎn)變換”來解決，稱P為主動(dòng)點(diǎn)，Q為從動(dòng)點(diǎn)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)不變性，從動(dòng)點(diǎn)Q的路徑與主動(dòng)點(diǎn)P的路徑是全等圖形. “集體行動(dòng)，步調(diào)一致”，每一個(gè)點(diǎn)都是經(jīng)過相同的變換得到，整個(gè)路徑自然也是經(jīng)過相同的變換而來，若是圓，其圓心亦然模型總結(jié)此類軌跡問題可通過“旋轉(zhuǎn)變換”來解決，稱P為主動(dòng)點(diǎn)，針對(duì)演練1. 如圖，已知AB2，點(diǎn)D是等腰RtABC斜邊AC上一動(dòng)點(diǎn)，以BD為一邊向右下方作等邊BDE，當(dāng)點(diǎn)D由點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的路徑長為_2. 如圖，ABC是等邊三角形，AB3，E在AC上且AE AC，D是直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，線段ED繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90，得到線段EF，當(dāng)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)時(shí)，則線段AF的最小值是_

5、 .第1題圖第2題圖針對(duì)演練1. 如圖，已知AB2，點(diǎn)D是等腰RtABC斜邊類型二位似型問題4(共頂點(diǎn)，定比值線段)已知線段AB，其中A為定點(diǎn)，C為AB上一點(diǎn)，在下列條件下，點(diǎn)C可以看作點(diǎn)B經(jīng)過怎樣的位似變換得到？(1)點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)；(2)AB3AC；(3)C為直線AB上任意一點(diǎn)且 k(k為常數(shù))圖圖圖問題4圖問題4解：(1)點(diǎn)C可以看作點(diǎn)B以定點(diǎn)A為位似中心，以 為位似比同側(cè)縮小而來；(2)點(diǎn)C可以看作點(diǎn)B以定點(diǎn)A為位似中心，以 為位似比同側(cè)縮小而來；(3)點(diǎn)C可以看作點(diǎn)B以定點(diǎn)A為位似中心，以k為位似比放縮而來模型分析類型二位似型問題4(共頂點(diǎn)，定比值線段)已知線段AB，其問題5(直線

6、生直線)在問題4中，若點(diǎn)B在定直線l上運(yùn)動(dòng)，其他條件不變，點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)路徑是什么？它可以看作點(diǎn)B的路徑如何變換而來？圖圖圖問題5圖問題5解：每個(gè)點(diǎn)C都可以看作點(diǎn)B以定點(diǎn)A為位似中心，以相應(yīng)的位似比放縮而來，點(diǎn)C的路徑是點(diǎn)B的路徑(即直線l)以定點(diǎn)A為位似中心，以相應(yīng)的位似比放縮而來，如解圖所示：?jiǎn)栴}5解圖問題5解圖問題5解圖問題5(直線生直線)在問題4中，若點(diǎn)B在定直線l上運(yùn)動(dòng)，其問題6(圓生圓)在問題5中，若將“定直線l”改為“定O”，其他條件不變，結(jié)果如何？ 圖圖圖問題6圖問題6解：點(diǎn)C的路徑可以由點(diǎn)B所在的O以定點(diǎn)A為位似中心，以相應(yīng)的位比放縮而來，且這兩個(gè)圓的相似比(即半徑比)等于位似比

7、如解圖所示：?jiǎn)栴}6解圖問題6解圖問題6解圖問題6(圓生圓)在問題5中，若將“定直線l”改為“定O”模型總結(jié)此類軌跡問題可通過“位似變換”來解決，稱B為主動(dòng)點(diǎn)，C為從動(dòng)點(diǎn)，根據(jù)位似的性質(zhì)，從動(dòng)點(diǎn)C的路徑與主動(dòng)點(diǎn)B的路徑是相似圖形. “集體行動(dòng)，步調(diào)一致”，每一個(gè)點(diǎn)都是經(jīng)過相同的變換得到，整個(gè)路徑自然也是經(jīng)過相同的交換而來，若是圓，其圓心亦然，且這兩個(gè)圓的相似比(即半徑比)等于位似比模型總結(jié)此類軌跡問題可通過“位似變換”來解決，稱B為主動(dòng)點(diǎn)，針對(duì)演練3. 如圖，在等腰RtABC中，ACBC2 ，點(diǎn)P在以斜邊AB為直徑的半圓上，M為PC的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P沿半圓從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B時(shí)，則點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長是()

8、A. B. C. 2 D. 24. 如圖，已知菱形ABCD的邊長為6，E是BC的中點(diǎn)，AE、BD相交于點(diǎn)P，當(dāng)ABC從90逐步減少到30的過程中，則點(diǎn)P 經(jīng)過的路徑長為_第3題圖第4題圖B針對(duì)演練3. 如圖，在等腰RtABC中，ACBC2 模型分析類型三旋轉(zhuǎn)位似型問題7(共頂點(diǎn)，定夾角，定比值線段)在ABC中，A為定點(diǎn)，在下列條件下，點(diǎn)C可以通過點(diǎn)B經(jīng)過怎樣的旋轉(zhuǎn)和位似變換得到？(1)等腰RtABC中，B90；(2)等腰ABC中，B120；(3)ABC中，A為常數(shù)，且 k為常數(shù)圖圖圖問題7圖模型分析類型三旋轉(zhuǎn)位似型問題7(共頂點(diǎn)，定夾角，定比值(3)點(diǎn)C可以看作點(diǎn)B先繞著定點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角，再

9、以定點(diǎn)A為位似中心，以k為位似比放縮而來問題7解：(1)A45且 ，故點(diǎn)C可以看作點(diǎn)B先繞著定點(diǎn)A逆時(shí)針轉(zhuǎn)45，再以定點(diǎn)A為位似中心，以 為位似比放大而來； (2)A30且 ，可知點(diǎn)C可以看作點(diǎn)B先繞著定點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30，再以定點(diǎn)A為位似中心，以 為位似比放大而來；(3)點(diǎn)C可以看作點(diǎn)B先繞著定點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角，再以定點(diǎn)A問題8(直線生直線)在問題7中，若點(diǎn)B在定直線l上運(yùn)動(dòng)，其他條件不變，如圖所示，點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)路徑是什么？它可以看作點(diǎn)B的路徑如何而來？圖圖圖問題8圖問題8解：每一個(gè)點(diǎn)C都可以看作相應(yīng)的點(diǎn)B先旋轉(zhuǎn)后位似而來，因此點(diǎn)C的路徑是點(diǎn)B的路徑(即直線l)先旋轉(zhuǎn)后位似而來如解圖所示：?jiǎn)栴}

10、8解圖問題8解圖問題8解圖問題8(直線生直線)在問題7中，若點(diǎn)B在定直線l上運(yùn)動(dòng)，其問題9(圓生圓)在問題8中，若將“定直線l”改為“定O”，其他條件不變，結(jié)果如何？問題9解：點(diǎn)C的路徑可以由點(diǎn)B所在的O先旋轉(zhuǎn)BAC，再以相應(yīng)的位似比放縮得到，這兩個(gè)圓的相似比(即半徑比)等于位似比如解圖所示：?jiǎn)栴}9解圖問題9解圖問題9解圖問題9(圓生圓)在問題8中，若將“定直線l”改為“定O”模型總結(jié)這里既含有“旋轉(zhuǎn)變換”，又涉及“位似變換”，故稱“旋轉(zhuǎn)位似變換”；根據(jù)旋轉(zhuǎn)不變性以及位似的性質(zhì)，從動(dòng)點(diǎn)C的路徑與主動(dòng)點(diǎn)B的路徑依然是相似圖形，且其相似比等于位似比模型總結(jié)這里既含有“旋轉(zhuǎn)變換”，又涉及“位似變換”，故稱“旋針對(duì)演練5. 如圖，已知AB2，點(diǎn)D是等腰RtABC斜邊AC上一動(dòng)點(diǎn)，以BD為一邊向右下方作等腰BDE，其頂