3.2.3空間向量與空間角-課件(人教A版選修2-1)

1、331.直線與平面的夾角的定義及范圍(1)定義：平面外一條直線與它在該平面內(nèi)的_的_，如圖所示：PO,PA=A,PO=O,則_就是直線PA與平面的夾角.投影夾角PAO1.直線與平面的夾角的定義及范圍投影夾角PAO(2)直線與平面的夾角的范圍當(dāng)直線與平面平行或在平面內(nèi)時，直線與平面的夾角為_；當(dāng)直線與平面垂直時，直線與平面的夾角為_;因此直線與平面的夾角的范圍是_.00, (2)直線與平面的夾角的范圍00, 2.二面角的有關(guān)概念(1)定義平面內(nèi)的一條直線把平面分成兩部分，其中的每一部分都叫做_，從一條直線出發(fā)的兩個_所組成的圖形叫做二面角，記為-l-.(2)二面角的平面角二面角的大小，是用它的平

2、面角來度量的，一個平面垂直于二面角-l-的棱l，且與兩個半平面的交線分別是射線OA，OB，O為垂足，則AOB叫做二面角-l-的平面角.半平面半平面2.二面角的有關(guān)概念半平面半平面1.直線與平面所成的角如何用向量來描述？提示：線面角(即直線與平面所成的角)可以用直線的方向向量和平面的法向量來求，即線面角的正弦值等于直線的方向向量與平面的法向量的夾角的余弦值的絕對值，如圖所示.1.直線與平面所成的角如何用向量來描述？2.二面角的大小與其兩個半平面的法向量的夾角有何關(guān)系？提示：二面角的大小與其兩個半平面的法向量的夾角的大小相等或互補，如圖所示.2.二面角的大小與其兩個半平面的法向量的夾角有何關(guān)系？3

3、.若直線l的方向向量為a=(1,0,2)，平面的法向量為u=(-2,0,-4),則l與的位置關(guān)系為_.【解析】a= u,u,l.答案：垂直3.若直線l的方向向量為a=(1,0,2)，平面的法向量為1.對直線(或斜線)與平面所成角的幾點認(rèn)識(1)斜線與平面的夾角范圍是(0, )；而直線與平面的夾角范圍是0, .(2)設(shè) 在平面內(nèi)的射影為 且直線AB與平面的夾角為，則1.對直線(或斜線)與平面所成角的幾點認(rèn)識(3)平面的法向量n與 所成的銳角1的余角就是直線AB與平面所成的角；(4)斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的角(即斜線與平面所成的角)是斜線和這個平面內(nèi)所有直線所成角中最小的角.(3)平面的法向量

4、n與 所成的銳角1的余角就是直線2.關(guān)于二面角大小的求法(1)根據(jù)二面角的定義，需要在兩個半平面內(nèi)作棱的垂線，由此得到二面角的平面角，此時可用兩條垂線的方向向量的夾角來求二面角的大??；(2)利用二面角的兩個半平面的法向量來求，需要求出兩個半平面的法向量，然后根據(jù)它們之間的關(guān)系，結(jié)合圖形判斷二面角的大小.2.關(guān)于二面角大小的求法3.利用向量法求空間角的注意事項利用向量法求空間角時，要注意空間角的取值范圍與向量夾角取值范圍的區(qū)別，特別地二面角的大小等于其法向量的夾角或其補角，到底等于哪一個，要根據(jù)題目的具體情況看二面角的大小是銳角還是鈍角.3.利用向量法求空間角的注意事項 求異面直線的夾角求異面直

5、線的夾角的兩種方法(1)幾何法方法:解決此類問題，關(guān)鍵是通過平移法求解.過某一點作平行線，將異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為平面角，最后通過解三角形求解.主要以“作，證，算”來求異面直線所成的角，同時，要注意異面直線所成角的范圍. 求異面直線的夾角關(guān)注點：結(jié)合圖形求角時，應(yīng)注意平面幾何知識的應(yīng)用，如等腰(邊)三角形的性質(zhì)、中位線的性質(zhì)及勾股定理、余弦定理及有關(guān)推論.關(guān)注點：結(jié)合圖形求角時，應(yīng)注意平面幾何知識的應(yīng)用，如等腰(2)向量法方法：利用數(shù)量積或坐標(biāo)方法將異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩直線的方向向量所成的角，若求出的兩向量的夾角為鈍角，則異面直線的夾角應(yīng)為兩向量夾角的補角,即cos=|cos|.關(guān)注點：求

6、角時，常與一些向量的計算聯(lián)系在一起，如向量的坐標(biāo)運算、數(shù)量積運算及模的運算.(2)向量法【典例訓(xùn)練】1.如圖，在空間直角坐標(biāo)系中有直三棱柱ABC-A1B1C1，CA=CC1=2CB，則直線BC1與直線AB1夾角的余弦值為( )【典例訓(xùn)練】2.如圖所示，A1B1C1-ABC是直三棱柱，ACB=90，點D1，F(xiàn)1分別是A1B1，A1C1的中點，BC=CA=CC1，求BD1與AF1所成角的余弦值.2.如圖所示，A1B1C1-ABC是直三棱柱，ACB=90【解析】1.選A.設(shè)CA=CC1=2CB=2，則A(2,0,0)，B1(0,2,1)，B(0,0,1)，C1(0,2,0)，=(-2,2,1),=(

7、0,2,-1),所以直線BC1與直線AB1夾角的余弦值是【解析】1.選A.設(shè)CA=CC1=2CB=2，則A(2,0,2.方法一：取BC中點E，連接EF1,D1F1,D1F1B1C1,BEB1C1,D1F1 BE,四邊形BEF1D1是平行四邊形，EF1BD1,AF1E是BD1與AF1所成的角，2.方法一：取BC中點E，連接EF1,D1F1,連接AE，設(shè)BC=CA=CC1=1，則AE=AF1=EF1=BD1=在AEF1中，由余弦定理得：BD1與AF1所成角的余弦值為連接AE，設(shè)BC=CA=CC1=1，方法二：如圖所示,以C為原點，CA，CB，CC1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

8、設(shè)CB=CA=CC1=1，則A(1,0,0),B(0,1,0),D1( 1),F1( 0,1),則則BD1與AF1所成角的余弦值為方法二：如圖所示,以C為原點，CA，CB，CC1所在直線分別【互動探究】本題2中若改為“求AF1與BB1所成的角的余弦值”，結(jié)果如何？【解析】建系同題2方法二，可知B1(0，1，1)， =(0，0，1)，【互動探究】本題2中若改為“求AF1與BB1所成的角的余弦值【歸納】解答題2所用的兩種方法的關(guān)鍵點.提示：(1)用綜合法求異面直線所成的角，關(guān)鍵是作其中一條直線的平行線，構(gòu)造出異面直線所成的角，然后解三角形求異面直線所成的角.(2)當(dāng)已知幾何圖形中有線段長度和夾角時

9、，解題關(guān)鍵是根據(jù)空間向量基本定理，利用向量的數(shù)量積求異面直線夾角. 【歸納】解答題2所用的兩種方法的關(guān)鍵點. 求線面角求線面角的兩種方法幾何法作角:在直線上找一特殊點，過點作平面的垂線，連接斜足與垂足;證角:證明作出的角為線面角;求角:利用直角三角形的邊角關(guān)系求出線面角向量法設(shè)直線l與平面所成的角為，直線l的方向向量為n，平面的法向量為u，則sin=|cos| 求線面角幾何法作角:在直線【典例訓(xùn)練】1.正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長都相等，則AC1與平面BB1C1C所成角的余弦值為_.2.如圖所示，已知點P在正方體ABCD-ABCD的對角線BD上，PDA=60.(1)求DP與CC所成角

10、的大小；(2)求DP與平面AADD所成角的大小.【典例訓(xùn)練】【解析】1.如圖，取BC的中點E，則AEBC，AEBB1，AE平面BCC1B1，AC1E為AC1與平面BB1C1C所成的角.設(shè)棱柱棱長為1，則答案： 【解析】1.如圖，取BC的中點E，則AEBC，AEBB12.如圖，以D為原點，DA的長為單位長度建立空間直角坐標(biāo)系，則 =(1，0，0)， =(0，0，1).連接BD，BD.在平面BBDD中，延長DP交BD于H.設(shè) =(m,m,1)(m0),由已知得 =60,由可得解得m= 所以2.如圖，以D為原點，DA的長為單位長度建立空間直角坐標(biāo)(1)因為所以 =45，即DP與CC所成的角為45.(

11、2)平面AADD的一個法向量是 =(0，1，0).因為所以 =60，可得DP與平面AADD所成的角為30.(1)因為【思考】應(yīng)用向量法求線面角的一般步驟有哪些？提示：(1)建立空間直角坐標(biāo)系，正確地寫出各點的坐標(biāo)；(2)求出直線的方向向量和平面內(nèi)兩個不共線的向量；(3)求平面的法向量；(4)根據(jù)直線的方向向量與平面的法向量求線面角.【思考】應(yīng)用向量法求線面角的一般步驟有哪些？ 求面面角1.求二面角的方法幾何法作角:在二面角的棱上找一特殊點，在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線證角:證明作出的角為二面角的平面角求角:把平面角放到三角形中求解向量法設(shè)二面角-l-的平面角為,平面,的法向量為n1,n2

12、，則|cos|= 求面面角幾何法作角:在二面步驟一步驟二2.向量法求二面角(或其某個三角函數(shù)值)的四個步驟步驟三步驟四建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，寫出相應(yīng)點的坐標(biāo)求出兩個半平面的法向量n1,n2設(shè)二面角的平面角為，則|cos|=|cos|根據(jù)圖形判斷為鈍角還是銳角，從而求出(或其三角函數(shù)值)步驟一步驟二2.向量法求二面角(或其某個三角函數(shù)值)的四個步【典例訓(xùn)練】1.設(shè)u=(1,1,0),v=(1,0,-1)分別是平面、的法向量，則平面與的夾角為( )(A)30(B)60(C)90(D)45【典例訓(xùn)練】2.如圖所示，,=l,A,B,點A在直線l上的射影為A1，點B在直線l上的射影為B1.已知AB=2，AA

13、1=1，BB1= 求：(1)直線AB分別與平面,所成角的大??；(2)二面角A1-AB-B1的余弦值.2.如圖所示，,=l,A,B,點A在直線【解析】1.選B.cosu,v=u,v=60,平面與的夾角為60.【解析】1.選B.cosu,v=2.方法一：(1)如圖所示，連接A1B,AB1.,=l,AA1l,BB1l,AA1,BB1,則BAB1,ABA1分別是AB與和所成的角.在RtBB1A中，BB1= AB=2.sinBAB1= BAB1=45.在RtAA1B中，AA1=1,AB=2.sinABA1= ABA1=30.故AB與平面,所成的角分別是45，30.2.方法一：(1)如圖所示，連接A1B,AB1.,(2)BB1,平面ABB1,在平面內(nèi)過A1作A1EAB1交AB1于E，則A1E平面AB1B，過E作EFAB交AB于F，連接A1F,則由三垂線定理得A1FAB,A1FE就是所求二面角的平面角.在RtABB1中，BAB1=45,AB1=B1B=在RtAA1B1中，AA1=A1B1=1,(2)BB1,平面ABB1,在平面內(nèi)過A1作在RtAA1B中，A1B=由AA1A1B=A1FAB,得A1F=在RtA1EF中，sinA1FE=cosA1FE=二面角A1-AB-B1的余弦值為 在RtAA1B中，A1B=方法二：(1)同方法一.(2)解題流程：方法二：(1)同