4.2-第2課時(shí)-線段長短的比較與運(yùn)算-公開課

1、44學(xué)習(xí)目標(biāo)1. 會(huì)用尺規(guī)畫一條線段等于已知線段，會(huì)比較兩 條線段的長短. (重點(diǎn))2. 理解線段等分點(diǎn)的意義.3. 能夠運(yùn)用線段的和、差、倍、分關(guān)系求線段的 長度. (重點(diǎn)、難點(diǎn))4. 體會(huì)文字語言、符號(hào)語言和圖形語言的相互轉(zhuǎn)化.5. 了解兩點(diǎn)間距離的意義，理解“兩點(diǎn)之間，線段 最短”的線段性質(zhì)，并學(xué)會(huì)運(yùn)用. (難點(diǎn))學(xué)習(xí)目標(biāo)1. 會(huì)用尺規(guī)畫一條線段等于已知線段，會(huì)比較兩觀察這三組圖形，你能比較出每組圖形中線段 a 和 b 的長短嗎？三組圖形中，線段a與b的長度均相等很多時(shí)候，眼見未必為實(shí). 準(zhǔn)確比較線段的長短還需要更加嚴(yán)謹(jǐn)?shù)霓k法.(1)(2)(3)abaabb新課引入觀察這三組圖形，你能比

2、較出每組圖形中線段 a 和 b 的長短 做手工時(shí)，在沒有刻度尺的條件下，若想從較長的木棍上截下一段，使截下的木棒等于另一根短木棒的長，我們常采用以上辦法.線段長短的比較1新課講解 做手工時(shí)，在沒有刻度尺的條件下，若想從較長的 畫在黑板上的線段是無法移動(dòng)的，在只有圓規(guī)和無刻度的直尺的情況下，請(qǐng)大家想想辦法，如何再畫一條與它相等的線段？思考：小提示：在可打開角度的最大范圍內(nèi)，圓規(guī)可截取任意長度，相當(dāng)于可以移動(dòng)的“小木棍”.新課講解 畫在黑板上的線段是無法移動(dòng)的，在只有圓規(guī)和無刻度作一條線段等于已知線段已知：線段 a，作一條線段 AB，使 AB=a.第一步：用直尺畫射線 AF；第二步：用圓規(guī)在射線

3、AF 上截取 AB = a. 線段 AB 為所求.aA FaB 在數(shù)學(xué)中，我們常限定用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖，這就是尺規(guī)作圖.新課講解作一條線段等于已知線段已知：線段 a，作一條線段 AB，使 你們平時(shí)是如何比較兩個(gè)同學(xué)的身高的？你能從比身高的方法中得到啟示來比較兩條線段的長短嗎？討論：160cm170cm新課講解 你們平時(shí)是如何比較兩個(gè)同學(xué)的身高的？你能從比身高的比較兩個(gè)同學(xué)高矮的方法：疊合法.讓兩個(gè)同學(xué)站在同一平地上，腳底平齊，觀看 兩人的頭頂，直接比出高矮.用卷尺分別度量出兩個(gè)同學(xué)的身高，將所得的 數(shù)值進(jìn)行比較. 度量法.新課講解比較兩個(gè)同學(xué)高矮的方法：疊合法.讓兩個(gè)同學(xué)站在同一平地DC

4、B試比較線段AB，CD的長短.(1) 度量法；(2) 疊合法 將其中一條線段“移”到另一條線段上，使其一端點(diǎn)與另一線段的一端點(diǎn)重合，然后觀察兩條線段另外兩個(gè)端點(diǎn)的位置作比較.(A)C DA B尺規(guī)作圖新課講解DCB試比較線段AB，CD的長短.(1) 度量法；(2) 疊CD1. 若點(diǎn) A 與點(diǎn) C 重合，點(diǎn) B 落 在C，D之間，那么 AB CD.(A)B 疊合法結(jié)論：CDABB(A)2. 若點(diǎn) A 與點(diǎn) C 重合，點(diǎn) B 與 點(diǎn) D ，那么 AB = CD.3. 若點(diǎn) A 與點(diǎn) C 重合，點(diǎn) B 落 在 CD 的延長線上，那么 AB CD.重合BABACD(A)(B)新課講解CD1. 若點(diǎn) A

5、 與點(diǎn) C 重合，點(diǎn) B 落(A)B 疊 在直線上畫出線段 AB=a，再在 AB 的延長線上畫線段 BC=b，線段 AC 就是 與 的和，記作 AC= . 如果在 AB 上畫線段 BD=b，那么線段 AD 就是 與 的差，記作AD= . ABCDa+ba-babbaba+baba-b線段的和、差、倍、分2新課講解 在直線上畫出線段 AB=a，再在1. 如圖，點(diǎn)B，C在線段 AD 上則AB+BC=_； ADCD=_；BC _ _= _ _.ABCDACACACABBDCD2. 如圖，已知線段a，b，畫一條線段AB，使 AB=2ab.abAB2ab2ab新課講解1. 如圖，點(diǎn)B，C在線段 AD 上

6、則AB+BC=_； 在一張紙上畫一條線段，折疊紙片，使線段的端點(diǎn)重合，折痕與線段的交點(diǎn)處于線段的什么位置？ABM新課講解 在一張紙上畫一條線段，折疊紙片，使線段的端點(diǎn)ABM 如圖，點(diǎn) M 把線段 AB 分成相等的兩條線段AM 與 BM，點(diǎn) M 叫做線段 AB 的中點(diǎn). 類似地，還有線段的三等分點(diǎn)、四等分點(diǎn)等.線段的三等分點(diǎn)線段的四等分點(diǎn)新課講解ABM 如圖，點(diǎn) M 把線段 AB 分成相等的AaaMBM 是線段 AB 的中點(diǎn)幾何語言： M 是線段 AB 的中點(diǎn) AM = MB = AB ( 或 AB = 2 AM = 2 MB )反之也成立： AM = MB = AB ( 或 AB = 2 AM

7、 = 2 AB ) M 是線段 AB 的中點(diǎn)新課講解AaaMBM 是線段 AB 的中點(diǎn)幾何語言： M 是線段 點(diǎn) M , N 是線段 AB 的三等分點(diǎn)：AM = MN = NB = _ AB(或 AB = _AM = _ MN = _NB)333NMBA新課講解點(diǎn) M , N 是線段 AB 的三等分點(diǎn)：AM = MN =例1 若 AB = 6cm，點(diǎn) C 是線段 AB 的中點(diǎn)，點(diǎn) D是線段 CB 的中點(diǎn)，求：線段 AD 的長是多少?解： C 是線段 AB 的中點(diǎn)， D 是線段 CB 的中點(diǎn)， AC = CB = AB = 6= 3 (cm). CD = CB = 3=1.5 (cm). AD

8、=AC + CD = 3 + 1.5 = 4.5 (cm).A C BD新課講解例1 若 AB = 6cm，點(diǎn) C 是線段 AB 的中點(diǎn)，點(diǎn)例2 如圖，B、C是線段AD上兩點(diǎn)，且AB：BC：CD=3：2：5，E、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，且EF=24，求線段AB、BC、CD的長FECBDA解析：根據(jù)已知條件AB：BC：CD=3：2：5，不妨設(shè)AB=3x,BC =2x,CD=5x,然后運(yùn)用線段的和差倍分，用含x的代數(shù)式表示EF的長，從而得到一個(gè)關(guān)于x的一元一次方程，解方程，得到x的值，即可得到所求各線段的長.新課講解例2 如圖，B、C是線段AD上兩點(diǎn)，且AB：BC：CD=FFECBDA解：設(shè)AB

9、=3x，BC=2x，CD=5x，因?yàn)镋、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，所以所以EF=BE+BC+CF=因?yàn)镋F=24，所以6x=24,解得x=4.所以AB=3x=12，BC=2x=8，CD=5x=20.新課講解FECBDA解：設(shè)AB=3x，BC=2x，CD=5x，因?yàn)镋方法總結(jié)：求線段的長度時(shí)，當(dāng)題目中涉及到線段長度的比例或倍分關(guān)系時(shí)，通?？梢栽O(shè)未知數(shù)，運(yùn)用方程思想求解.新課講解方法總結(jié)：求線段的長度時(shí)，當(dāng)題目中涉及到線段長度的比例或倍分如圖，已知線段AB和CD的公共部分BD= AB= CD，線段AB、CD的中點(diǎn)E、F之間距離是10cm，求AB，CD的長FEBDCA解析：根據(jù)已知條件，不妨設(shè)BD=

10、xcm，則AB=3xcm,CD=4xcm,易得AC=6xcm.在由線段中點(diǎn)的定義及線段的和差關(guān)系，用含x的代數(shù)式表示EF的長，從而得到一個(gè)一元一次方程，求解即可.變式訓(xùn)練如圖，已知線段AB和CD的公共部分BD= AB= 解：設(shè)BD=xcm,則AB=3xcm，CD=4xcm，AC =6xcm，因?yàn)镋、F分別是AB、CD的中點(diǎn)，所以所以EF=AC-AE-CF=所以AB=3xcm=12cm，CD=4xcm=16cm.FEBDCA因?yàn)镋F=10，所以 x=10,解得x=4.變式訓(xùn)練解：設(shè)BD=xcm,則AB=3xcm，CD=4xcm，AC 例3 A，B，C三點(diǎn)在同一直線上，線段AB=5cm，BC=4c

11、m，那么A，C兩點(diǎn)的距離是（）A1cm B9cmC1cm或9cm D以上答案都不對(duì)解析：分以下兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)點(diǎn)C在AB之間上，故AC=AB-BC=1cm；當(dāng)點(diǎn)C在AB的延長線上時(shí)，AC=AB+BC=9cmC方法總結(jié)：無圖時(shí)求線段的長，應(yīng)注意分類討論，一般分以下兩種情況：點(diǎn)在某一線段上；點(diǎn)在該線段的延長線.新課講解例3 A，B，C三點(diǎn)在同一直線上，線段AB=5cm，BC=已知A，B，C三點(diǎn)共線，線段AB=25cm，BC=16cm，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段AB，BC的中點(diǎn)，則線段EF的長為（）A21cm或4cm B20.5cmC4.5cm D20.5cm或4.5cmD變式訓(xùn)練已知A，B，C三點(diǎn)共線

12、，線段AB=25cm，BC=16cm，1. 如圖，點(diǎn)C 是線段AB 的中點(diǎn)，若 AB = 8 cm， 則 AC = cm.4CACB2. 如圖，下列說法，不能判斷點(diǎn)C 是線段AB 的 中點(diǎn)的是 ( ) A. AC = CB B. AB = 2 AC C. AC + CB = AB D. CB = AB ACB隨堂即練1. 如圖，點(diǎn)C 是線段AB 的中點(diǎn)，若 AB = 8 cm3. 如圖，線段 AB =4 cm，BC = 6 cm，若點(diǎn)D 為 線段 AB 的中點(diǎn)，點(diǎn) E 為線段 BC 的中點(diǎn)，求 線段 DE 的長.A D B E C答案：DE 的長為 5 cm.隨堂即練3. 如圖，線段 AB =

13、4 cm，BC = 6 cm，若點(diǎn) 如圖：從 A 地到 B 地有四條道路，除它們外能否再修一條從 A 地到 B 地的最短道路？如果能，請(qǐng)你聯(lián)系以前所學(xué)的知識(shí)，在圖上畫出最短路線.AB有關(guān)線段的基本事實(shí)3新課講解 如圖：從 A 地到 B 地有四條道路，除它 經(jīng)過比較，我們可以得到一個(gè)關(guān)于線段的基本事實(shí)：兩點(diǎn)的所有連線中，線段最短.連接兩點(diǎn)間的線段的長度，叫做這兩點(diǎn)的距離.AB你能舉出這條性質(zhì)在生活中的應(yīng)用嗎？ 簡單說成：兩點(diǎn)之間，線段最短.新課講解 經(jīng)過比較，我們可以得到一個(gè)關(guān)于線段的基本事實(shí)兩點(diǎn)之間線段最短1. 如圖，這是 A，B 兩地之間的公路，在公路工程 改造計(jì)劃時(shí)，為使 A，B 兩地行程

14、最短，應(yīng)如何 設(shè)計(jì)線路？請(qǐng)?jiān)趫D中畫出，并說明理由.BA.新課講解兩點(diǎn)之間線段最短1. 如圖，這是 A，B 兩地之間的公路，在2. 把原來彎曲的河道改直，A，B 兩地間的河道長 度有什么變化？ABA，B 兩地間的河道長度變短.新課講解2. 把原來彎曲的河道改直，A，B 兩地間的河道長ABA，B1. 如圖，AB+BC AC，AC+BC AB，AB+ AC BC (填“”“”或“=”). 其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)道理是 .兩點(diǎn)之間線段最短ABC隨堂即練1. 如圖，AB+BC AC，AC+BC 2. 在一條筆直的公路兩側(cè)，分別有 A，B 兩個(gè)村莊， 如圖，現(xiàn)在要在公路 l 上建一個(gè)汽車站 C，使汽 車站到 A，

15、B 兩村莊的距離之和最小，請(qǐng)?jiān)趫D中 畫出汽車站的位置.CABl隨堂即練2. 在一條筆直的公路兩側(cè)，分別有 A，B 兩個(gè)村莊， CA1. 下列說法正確的是 ( ) A. 兩點(diǎn)間距離的定義是指兩點(diǎn)之間的線段 B. 兩點(diǎn)之間的距離是指兩點(diǎn)之間的直線 C. 兩點(diǎn)之間的距離是指連接兩點(diǎn)之間線段的長度 D. 兩點(diǎn)之間的距離是兩點(diǎn)之間的直線的長度2. 如圖，AC = DB，則圖中另外兩條相等的線段為_.CA C D B ADBC隨堂即練1. 下列說法正確的是 3.已知線段 AB = 6 cm，延長 AB 到 C，使 BC = 2 AB，若 D 為 AB 的中點(diǎn)，則線段 DC 的長為_.CAD B15 cm4

16、.點(diǎn)A，B，C在同一條數(shù)軸上，其中點(diǎn)A，B表示的數(shù)分別是-3，1，若BC=5，則AC=_11或1隨堂即練3.已知線段 AB = 6 cm，延長 AB 到 C，使 B5. 如圖：AB = 4 cm，BC = 3 cm，如果點(diǎn)O 是線段 AC 的中點(diǎn)求線段 OB 的長度ABCO解： AC = AB + BC = 4+3=7 (cm)， 點(diǎn)O 為線段 AC 的中點(diǎn)， OC = AC= 7 = 3.5 (cm)， OB = OCBC = 3.53 = 0.5 (cm)隨堂即練5. 如圖：AB = 4 cm，BC = 3 cm，如果點(diǎn)O6.已知，如圖，B，C兩點(diǎn)把線段AD分成2：5：3三部分，M為AD的中點(diǎn)，BM=6，求CM和AD的長D AC BM