有限差分方法概述

1、有限差分法(Finite Difference Method,簡稱FDM)是數(shù)值方 法中最經(jīng)典的方法，也是計(jì)算機(jī)數(shù)值模擬最早采用的方法，至今仍被 廣泛運(yùn)用。該方法將求解域劃分為差分網(wǎng)格，用有限個(gè)網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)代替 連續(xù)的求解域。有限差分法以Taylor級數(shù)展開等方法，把控制方程 中的導(dǎo)數(shù)用網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值的差商代替進(jìn)行離散，從而建立以網(wǎng) 格節(jié)點(diǎn)上的值為未知數(shù)的代數(shù)方程組。該方法是一種直接將微分問題 變?yōu)榇鷶?shù)問題的近似數(shù)值解法，數(shù)學(xué)概念直觀，表達(dá)簡單，是發(fā)展較 早且比較成熟的數(shù)值方法。對于有限差分格式，從格式的精度來劃分， 有一階格式、二階格式和高階格式。從差分的空間形式來考慮，可分 為中心格式和逆

2、風(fēng)格式?？紤]時(shí)間因子的影響，差分格式還可以分為 顯格式、隱格式、顯隱交替格式等。目前常見的差分格式，主要是上 述幾種形式的組合，不同的組合構(gòu)成不同的差分格式。差分方法主要 適用于有結(jié)構(gòu)網(wǎng)格，網(wǎng)格的步長一般根據(jù)實(shí)際地形的情況和柯朗穩(wěn)定 條件來決定。構(gòu)造差分的方法有多種形式，目前主要采用的是泰勒級數(shù)展開方 法。其基本的差分表達(dá)式主要有三種形式：一階向前差分、一階向后 差分、一階中心差分和二階中心差分等，其中前兩種格式為一階計(jì)算 精度，后兩種格式為二階計(jì)算精度。通過對時(shí)間和空間這幾種不同差 分格式的組合，可以組合成不同的差分計(jì)算格式。下面我們從有限差分方法的基本思想、技術(shù)要點(diǎn)、應(yīng)用步驟三個(gè) 方面來深

3、入了解一下有限差分方法?；舅枷胗邢薏罘炙惴ǖ幕舅枷胧前堰B續(xù)的定解區(qū)域用有限個(gè)離散點(diǎn) 構(gòu)成的網(wǎng)格來代替，這些離散點(diǎn)稱作網(wǎng)格的節(jié)點(diǎn)；把連續(xù)定解區(qū)域上 的連續(xù)變量的函數(shù)用在網(wǎng)格上定義的離散變量函數(shù)來近似;把原方程 和定解條件中的微商用差商來近似，積分用積分和來近似，于是原微 分方程和定解條件就近似地代之以代數(shù)方程組，即有限差分方程組， 解此方程組就可以得到原問題在離散點(diǎn)上的近似解。然后再利用插值 方法便可以從離散解得到定解問題在整個(gè)區(qū)域上的近似解。在采用數(shù) 值計(jì)算方法求解偏微分方程時(shí)，再將每一處導(dǎo)數(shù)由有限差分近似公式 替代，從而把求解偏微分方程的問題轉(zhuǎn)換成求解代數(shù)方程的問題，即 所謂的有限差分法

4、。技術(shù)要點(diǎn)如何根據(jù)問題的特點(diǎn)將定解區(qū)域作網(wǎng)格剖分；如何把原微分 方程離散化為差分方程組以及如何解此代數(shù)方程組。此外為了保 證計(jì)算過程的可行性和計(jì)算結(jié)果的正確性，還需從理論上分析差 分方程組的性態(tài)，包括解的唯一性、存在性和差分格式的相容性、 收斂性和穩(wěn)定性。對于一個(gè)微分方程建立的各種差分格式，為了 有實(shí)用意義，一個(gè)基本要求是它們能夠任意逼近微分方程，這就 是相容性要求。另外，一個(gè)差分格式是否有用，最終要看差分方 程的精確解能否任意逼近微分方程的解，這就是收斂性的概念。 此外，還有一個(gè)重要的概念必須考慮，即差分格式的穩(wěn)定性。因 為差分格式的計(jì)算過程是逐層推進(jìn)的，在計(jì)算第 n+1層的近似值 時(shí)要用到

5、第n層的近似值，直到與初始值有關(guān)。前面各層若有舍 入誤差，必然影響到后面各層的值，如果誤差的影響越來越大， 以致差分格式的精確解的面貌完全被掩蓋，這種格式是不穩(wěn)定的， 相反如果誤差的傳播是可以控制的，就認(rèn)為格式是穩(wěn)定的。只有 在這種情形，差分格式在實(shí)際計(jì)算中的近似解才可能任意逼近差 分方程的精確解。關(guān)于差分格式的構(gòu)造一般有以下 3種方法。最 常用的方法是數(shù)值微分法，比如用差商代替微商等。另一方法叫 積分插值法，因?yàn)樵趯?shí)際問題中得出的微分方程常常反映物理上 的某種守恒原理，一般可以通過積分形式來表示。此外還可以用 待定系數(shù)法構(gòu)造一些精度較高的差分格式?；静襟E有限差分法求解偏微分方程的步驟如下：

6、區(qū)域離散化，即把所給偏微分方程的求解區(qū)域細(xì)分成由有限個(gè) 格點(diǎn)組成的網(wǎng)格；近似替代，即采用有限差分公式替代每一個(gè)格點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)；逼近求解。換而言之，這一過程可以看作是用一個(gè)插值多項(xiàng)式 及其微分來代替偏微分方程的解的過程。換而言之，這一過程可以看作是用一個(gè)插值多項(xiàng)式及其微分來代 替偏微分方程的解的過程。在第一步中，我們通過所謂的網(wǎng)絡(luò)分割法， 將函數(shù)定義域分成大量相鄰而不重合的子區(qū)域。通常采用的是規(guī)則的 分割方式。這樣可以便于計(jì)算機(jī)自動(dòng)實(shí)現(xiàn)和減少計(jì)算的復(fù)雜性。網(wǎng) 絡(luò)線劃分的交點(diǎn)稱為節(jié)點(diǎn)。若與某個(gè)節(jié)點(diǎn)P相鄰的節(jié)點(diǎn)都是定義在 場域內(nèi)的節(jié)點(diǎn)，則P點(diǎn)稱為正則節(jié)點(diǎn)；反之，若節(jié)點(diǎn)P有處在定義 域外的相鄰節(jié)點(diǎn)，則P點(diǎn)

7、稱為非正則節(jié)點(diǎn)。在第三步中，數(shù)值求解 的關(guān)鍵就是要應(yīng)用適當(dāng)?shù)挠?jì)算方法，求得特定問題在所有這些節(jié)點(diǎn)上的離散近似值。差分方程，又叫做差分格式，從格式的精度來劃分，有一階格式、 二階格式和高階格式；從差分的空間形式來考慮，可分為中心格式和 逆風(fēng)格式；考慮時(shí)間因子的影響，差分格式還可以分為顯格式、隱格 式、顯隱交替格式等。目前常見的差分格式，主要是上述幾種形式的 組合，不同的組合構(gòu)成不同的差分格式。向前差分(forword difference):土 Mill辦 X- if向后差分(backword difference)：號(hào)-虹dx x. - x. -1湃虹i- dx湃虹i- dxiX +1- X

8、二下面以一個(gè)例子解釋其他差分格式：設(shè)求解區(qū)域內(nèi)一個(gè)節(jié)點(diǎn)A，坐標(biāo)tn)。根據(jù)微商定義和中值定理， 把偏微分方程寫成差分格式。對流方程:du du 八(2-1)+ a = 0(2-1)dt dxut + a - ux = 0可以將其化為三種不同的差分方程:時(shí)間前差、空間中心差un+1 unun unL + a+； 金-1 = 01 () ArUn+1 = Un 一 _ run - Un 九.，.r - a A_時(shí)間前差、空間前差Un+1 一 UnUn UnAt-Ax_-UnUn+1j-Un rU u)jj + 1j時(shí)間前差、空間后差Un+1 UnUn UnAtAxUn+1 - Un Un Un )

9、j j jj1差分方程的時(shí)間微商采用前差，稱為顯式差分格式；時(shí)間微商采 用后差，稱為隱式差分格式。顯式差分方程可以直接求解，隱式差分 方程需要迭代求解。除此之外，它還可以構(gòu)造其他形式的差分格式。 不同的差分格式具有不同的計(jì)算精度。用差分方程代替偏微分方程時(shí)必然有誤差，稱為截?cái)嗾`差，用Rn 表示。差分方程的截?cái)嗾`差等于各項(xiàng)差商逼近微商時(shí)所產(chǎn)生誤差的總 和。用差分方程的定解條件來代替偏微分方程的定解條件也會(huì)產(chǎn)生誤 差，稱為定解條件的截?cái)嗾`差，用rn來表示。差分方程的截?cái)嗾`差可以用Tailor展開法得到。如上述例子中時(shí) 間前差、空間中心差分格式，通過Taylor展開可得：Un+1 UUn+1 UnU

10、n Unj At + a ?+2ax ? 1d2 u )n g JjAt + a1+ 3!(d3 u YAx 2 + dx 3 J(du du 丫 zX a )=|+ a+ O At, Ax2V dt dx )它的截?cái)嗾`差為：Rn= OAt, /，即時(shí)間上是一節(jié)精度，空間 上是二階精度。構(gòu)造差分的方法有多種形式，直接差分逼近法、Taylor 級數(shù)展開法、控制體積元法和積分方法等。目前主要采用的是泰勒級 數(shù)展開方法。其基本的差分表達(dá)式主要有三種形式：一階向前差分、 一階向后差分、一階中心差分和二階中心差分等，其中前兩種格式為 一階計(jì)算精度，后兩種格式為二階計(jì)算精度。通過對時(shí)間和空間這幾 種不同差

11、分格式的組合，可以組合成不同的差分計(jì)算格式。對于首先討論Taylor級數(shù)展開法：給定任意連續(xù)方程u(x)對于hn dnun! dxnu(x + Ax)，令步長hn dnun! dxnQ + h)= G)+ h du *h2d2u* h3 d3u + hndnu =葺dx2!dx23! dx3 n!dxnn=0給出有限差分表達(dá)式是反過來：對有限的Ax = h給出竺的近似表達(dá)式：dx記uJ +1=u(x + Ax)，記uJ +1=+. dxh2! dx23! dx3duu (x + h)- u(x) h d 2 u h=+. dxh2! dx23! dx3對于上述提到的對流方程2-1，Taylor

12、展開法是將如+i在如點(diǎn)上 j j進(jìn)行展開，再利用方程把(竺)、 Vdt)d 3d 3u，Vdx 3 )斜用差商表示，就可以得到各種不同的差分方程。對式2-1首先將u對式2-1首先將un+i在un點(diǎn)上進(jìn)行Taylor展開，可得:.,(du 1 un+1 = un + InAt + -At 2 + O (At 3)(2-2)j利用原方程關(guān)系:dududu= - a dtdx ,d 2 ud 2 u= a 2dt 2dx 2將上式代入式2-2，得到:1(1(un+1 = un - _ run - unj j 2j+ij-i)1 ( c )+ 一r2 u 一 2un + un /2j+ijj-i其中，

13、r = a竺，這就是著名的Lax-Wendroff差分方程。 Ax直接差分逼近法由微商定義：dun+1 undtA0At. un i - unAxr0Ax和中值定理得到:un+1 一 un ( du )un+1 一 un ( du )n-jj =Atdt)ju+1-un =(竺 丫Axdx /jun 2un + unj+1j j-1 =Ax 2+ - At21+ - Ax2d 2 u dt 2、n+0AtJjd 2 u dx2j +0Ax(d 2 u 丫ldx 2 Jj+1 Ax 212(d 4 u 丫dx 4 Jj +0Ax其中，0為其中，0為0 9)dxdt = 0通過積分運(yùn)算： TOC

14、o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark103 o Current Document j* +At Udtdx + a+At j xj+Ax u dxdt = 0 txxtntnxjju ht =u ht = 0 x.x.J+AxUn+1 Unx + a jtn +Ax.x.Jtnj+1把上式用數(shù)值積分近似表示，整理后可得：X HYPERLINK l bookmark51 o Current Document Un+1 = Un rUn Un)j jj+1j其中，r = a巳。差分方程的智效性分析一個(gè)偏微分方程可以得到不同的差分方程。但不同的差分方程 和原微分方程有完全不同

15、的對應(yīng)關(guān)系，它們有不同的數(shù)學(xué)性質(zhì)，數(shù)值 結(jié)果也不完全相同。因此，有些差分方程是有效的可靠的，有些則在 一定條件下是有效的可靠的，有些則完全是無效的。如何判斷和分析 差分方程的有效性和可靠性就稱為有限差分算法十分重要的問題。相容性(Consistency)導(dǎo)數(shù)與其差分近似式之間存在截?cái)嗾`差。因此，差分方程的解并 不是嚴(yán)格的，而是近似地滿足原來的偏微分方程。但是，當(dāng)時(shí)間步長 也和空間步長k都趨近于零時(shí)，差分方程的截差(截?cái)嗾`差)也趨近于 零，差分方程的極限形式就是原偏微分方程。這時(shí)，認(rèn)為差分方程與 偏微分方程是相容的，這種相容性表示差分方程收斂于原偏微分方 程。差分方程相容性是討論當(dāng)kt、Ax 0

16、時(shí)，差分方程逼近于偏微分 方程的程度。相容性定義：對于足夠光滑的函數(shù)u,若時(shí)間步長At，空間步長Ax 趨近于0時(shí)，差分方程的截?cái)嗾`差Rn對于每一點(diǎn)t )都趨近于零， 則該差分方程(LAU )=0逼近偏微分方程LAu = 0，差分方程與偏微分方收斂性(Convergence)差分方程收斂性是討論當(dāng)Ax、Atr 0時(shí)，差分方程數(shù)值解逼近于 偏微分方程精確解的程度。定義：差分方程(LAu) = 0數(shù)值解為un，偏微分方程LAu = 0的精 確解為u，它們之間的誤差用en表示，則en= u - un稱為離散化誤差。收斂性定義：節(jié)點(diǎn)(X ,t )為偏微分方程求解區(qū)域Q內(nèi)任意一點(diǎn)， 當(dāng)x - x , t

17、rt時(shí)，差分方程數(shù)值解un逼近于偏微分方程的精確解u， 即en =J- un = 0，則差分方程收斂于該偏微分方程。穩(wěn)定性(Stability)由于差分方程的求解是以步進(jìn)方式進(jìn)行的，在逐步推進(jìn)的過程 中，誤差也逐步積累。若這種誤差積累保持有界，則差分方程是穩(wěn)定 的，若這種誤差積累無界則差分方程是不穩(wěn)定的。穩(wěn)定性是討論在計(jì)算過程中，某一時(shí)刻某一點(diǎn)產(chǎn)生計(jì)算誤差，隨 著計(jì)算時(shí)間增加，誤差是否能被抑制的問題。當(dāng)數(shù)值求解差分方程時(shí)，計(jì)算誤差總是不可避免的。計(jì)算誤差包 括舍入誤差、離散誤差和初值誤差。設(shè)偏微分方程精確解為u，數(shù)值 解為/，則計(jì)算誤差定義為：j8 n = u un = (u un) + (u

18、 un) = en + 8 njjj j j j r式中en = u - un是離散誤差，8 n = un - un是舍入誤差。 jjr j j定義：在某一時(shí)刻匕，差分方程的計(jì)算誤差為8 ；，若在tn+1時(shí)刻滿足：| n+1條件，則該差分方程是穩(wěn)定的。上述可知，穩(wěn)定性反映出差分方程在時(shí)間進(jìn)程中的特性，收斂性 反應(yīng)差分方程在空間位置上的特性，它們體現(xiàn)了差分方程的內(nèi)在特 性。Lax定理給出了收斂性和穩(wěn)定性的關(guān)系。Lax定理：對于適定和線性的偏微分方程的初值問題，若逼近它 的差分方程與它是相容的，則差分方程的穩(wěn)定性是保證差分方程收斂 性的充分和必要條件。在第二步中，求解差分方程組一般采用Gauss消

19、去法、追趕法、 迭代法、交替方向隱式差分法(ADI法)、隱式近似因式分解法(AF 法)等，上述消去法和追趕法對求解離散后的代數(shù)方程組沒有特別的 優(yōu)勢，采用迭代法來求解方程組在收斂速度上有一定的優(yōu)勢。迭代法 基本思路為：首先對求解的未知量給一個(gè)預(yù)測值，代入代數(shù)方程組， 它一定不滿足方程組。利用一些特性對預(yù)測值進(jìn)行修正，并把修正后 的預(yù)測值再代入方程組，它仍不滿足方程組。再修正預(yù)測值，再代入 方程組，通過不斷迭代過程，直到收斂于數(shù)值解。迭代法還分為Gauss-Seidel迭代法，簡稱為G-S迭代法，具有形 式簡單，收斂速度較快的特點(diǎn)。假設(shè)求解過程是按x和y增長方向進(jìn) 行，于是在求點(diǎn)G j的值時(shí)，在(i-1, j和(i, j-1)點(diǎn)上的值實(shí)際上已經(jīng) 求出。G-S迭代法基本思路是把已經(jīng)求的的值，立即代入迭代式中去。 它的迭代差分格式為：A(up+1 + u p ) + B (u p+1 + u p ) f u p+1 =i1,ji+1,ji ,j1i ,j+1i ,ji, j2( A + B)松弛迭代法是對G-S迭代法的一種改進(jìn)。其差分格式為：A(up+1 + up )