高三數學二輪專題平面解析幾何復習教案

1、高三數學二輪專題復習教案平面解析幾何一、本章學問結構：二、重點學問回憶1直線1. 直線的傾斜角和斜率直線的的斜率為 k,傾斜角為 ,它們的關系為：ktan ；y 2 y 1K AB如（ x1,y1）,（ x,y）,就 x 2 x 1；2 . 直線的方程a. 點斜式：y y 1 k x x 1 ； b. 斜截式：y kx b；c. 兩點式：y y2 yy 11 x x2 xx 11； d. 截距式：a xb y 1；e. 一般式：Ax By C 0,其中 A、B 不同時為 0. 3. 兩直線的位置關系兩條直線1l,2l有三種位置關系：平行（沒有公共點）；相交（有且只有一個公共點）；重合（有很多個

2、公共點） . 在這三種位置關系中,我們重點爭論平行與相交；如直線1l、2l的斜率分別為1k、k ,就1l2lk k ,1l2l1kk ；（4）點、直線之間的距離點 A（x 0,y 0）到直線AxBy2C0的距離為： d=|Ax02 ABy02C|；B兩點之間的距離：|AB|=（xx 12y 2y 122. 圓（1）圓方程的三種形式標準式：xa2yb 2r2,其中點（ a, b）為圓心, r0 ,r為半徑,圓的標準方程中有三個待定系數,使用該方程的最大優(yōu)點是可以便利地看出圓的圓心坐標與半徑的大小一般式：x 2y 2Dx Ey F 0,其中 D ,2 E2 為圓心 12 D 2E 24 F為半徑,

3、圓的一般方程中也有三個待定系數,即 D、E、F如已知條件中沒有直接給出圓心的坐標（如題目為：已知一個圓經過三個點,求圓的方程）,就往往使用圓的一般方程求圓方程x r cos ,參數式：以原點為圓心、r 為半徑的圓的參數方程是 y r sin（其中 為參數）x a r cos ,以（ a,b）為圓心、 r 為半徑的圓的參數方程為 y b r sin（ 為參數）, 的幾何意義是：以垂直于 y 軸的直線與圓的右交點 A與圓心 C的連線為始邊、以 C與動點 P的連線為終邊的旋轉角,如圖所示三種形式的方程可以相互轉化,其流程圖為：2二元二次方程是圓方程的充要條件“ A=C 0 且 B=0” 是一個一般的

4、二元二次方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圓的必要條件D2二 元 二 次 方 程Ax2BxyCy2DxEyF0表 示 圓 的 充 要 條 件 為 “ A=C 0 、 B=0 且E24AF0” ,它可依據圓的一般方程推導而得3參數方程與一般方程我們現在所學的曲線方程有兩大類,其一是一般方程,它直接給出了曲線上點的橫、縱坐標之間的關系；其二是參數方程,它是通過參數建立了曲線上的點的橫、縱坐標之間的（間接）關系,參數方程中的參數,可以明顯的物理、幾何意義,也可以無明顯意義要搞清晰參數方程與含有參數的方程的區(qū)分,前者是利用參數將橫、縱坐標間接地連結起來,3. 圓錐曲線 1. 橢圓的標準方程及其性質

5、橢圓x2y2的參數方程為：xacos（為參數）；2ybsinab22 雙曲線的標準方程及其性質雙曲線x2y2的參數方程為：xasec（為參數）；22ybtanab 3.拋物線的標準方程及其性質F 叫做拋物線的平面內,到一個定點F 和一條直線l的距離相等的點的軌跡,叫做拋物線；定點焦點,直線y22px叫做拋物線的準線；四種標準方程的聯系與區(qū)分：由于選取坐標系時,該坐標軸有四種不同的方向,因此拋物線的標準方程有四種不同的形式；拋物線標準方程的四種形式為：y22pxp0,x22pyp0,其中： 參數p的幾何意義：焦參數p 是焦點到準線的距離,所以p 恒為正值；p 值越大,張口越大；p2 等于焦點到拋

6、物線頂點的距離；標準方程的特點：方程的左邊是某變量的平方項,右邊是另一變量的一次項,方程右邊一次項的變量與焦點所在坐標軸的名稱相同,一次項系數的符號打算拋物線的開口方向,即對稱軸為 x 軸時,方程中的一次項變量就是 x , 如 x 的一次項前符號為正,就開口向右,如 x 的一次項前符號為負,就開口向左；如對稱軸為 y 軸時,方程中的一次項變量就是 y , 當 y 的一次項前符號為正,就開口向上,如 y 的一次項前符號為負,就開口向下；拋物線的簡潔幾何性質方程設拋物線y22pxp0p通徑焦點范疇對稱性頂點離心率準線性質Fp0,x0關于x原點e1x2p軸對稱22x2pt2拋物線y22px的參數方程

7、為：y2pt（t 為參數）；4. 圓錐曲線 橢圓、雙曲線、拋物線統(tǒng)稱圓錐曲線 的統(tǒng)肯定義與肯定點的距離和一條定直線的距離的比等于常數的點的軌跡叫做圓錐曲線,定點叫做焦點,定直線叫做準線、常數叫做離心率,用e 表示,當0e 1 時,是橢圓,當e1 時,是雙曲線,當 e1 時,是拋物線4. 直線與圓錐曲線的位置關系：（在這里我們把圓包括進來）1. 第一會判定直線與圓錐曲線是相交、相切、仍是相離的 a.直線與圓：一般用點到直線的距離跟圓的半徑相比 幾何法 ,也可以利用方程實根的個數來判定 解析法 . b. 直線與橢圓、雙曲線、拋物線一般聯立方程,判定相交、相切、相離 c. 直線與雙曲線、拋物線有自己

8、的特殊性 2.a. 求弦所在的直線方程 ;b. 依據其它條件求圓錐曲線方程 P、Q,且中點為 A,求 P、 Q所在的直線方程 3. 已知一點 A 坐標,始終線與圓錐曲線交于兩點 4. 已知始終線方程,某圓錐曲線上存在兩點關于直線對稱,求某個值的取值范疇（或者是圓錐曲 線上否存在兩點關于直線對稱）5. 二次曲線在高考中的應用 二次曲線在高考數學中占有非常重要的位置,是高考的重點、熱點和難點；通過以二次曲線為載體,與平面對量、導數、數列、不等式、平面幾何等學問進行綜合,結合數學思想方法,并與高等數學基礎知 識融為一體,考查同學的數學思維才能及創(chuàng)新才能,其設問形式新奇、好玩、綜合性很強；本文關注近年

9、 部分省的高考二次曲線問題,賜予較深化的剖析,這對形成高三復習的新的教學理念將有著積極的促進作 用；1. 重視二次曲線的標準方程和幾何性質與平面對量的奇妙結合；2. 重視二次曲線的標準方程和幾何性質與導數的有機聯系；3. 重視二次曲線性質與數列的有機結合；4. 重視解析幾何與立體幾何的有機結合；三、考點剖析 點、直線、圓的位置關系問題 考點一【內容解讀 】點與直線的位置關系有：點在直線上、直線外兩種位置關系,點在直線外時,常?？?查點到直線的距離問題；點與圓的位置關系有：點在圓外、圓上、圓外三種；直線與圓的位置關系有：直線與圓相離、相切、相交三點,常常用圓心到直線之間的距離與圓的半徑比較來確定

10、位置位置關系；圓與 圓的位置關系有：兩圓外離、外切、相交、內切、內含五種,一般用兩點之間的距離公式求兩圓之間的距 離,再與兩圓的半徑之和或差比較；【命題規(guī)律 】本節(jié)內容一般以挑選題或填空題為主,難度不大,屬簡潔題；例、 2022 全國卷文 原點到直線x2y50的距離為（）A1 B3 C2 D555d122解：原點為 0 ,0 ,由公式,得：,應選（） ；點評 ：此題直接應用點到直線的公式可求解,屬簡潔題；x例、（湖南理）圓心為11, 且與直線xy4相切的圓的方程是解：圓與直線相切,圓心到直線的距離為半徑,所以,|11-4|2 ,所以,所求方程為：1112y122點評： 直線與圓的位置關系問題是

11、常?？疾榈膬热?對于相切問題,常常采納點到直線的距離公式 求解；例、 2022 重慶理 圓 O1： x 2y 2 2x0 和圓 O2：x 2y 24y0 的位置關系是 A 相離 B 相交 C 外切 D 內切 解：配方,得：圓 O1：（x）2y 2和圓 O2：x 2（ y）2,圓心為（,） ,（,）,半徑為 r ,圓心之間距離為：（1-2 0）（0-2 2）5 ,由于5 ,所以,兩圓相交選（）點評 ：兩圓的位置關系有五種,通常是求兩圓心之間的距離,再與兩圓的半徑之和或之差來比較,確定位置關系考點二 直線、圓的方程問題【內容解讀 】直線方程的解析式有點斜式、斜截式、兩點式、. 截距式、一般式五種形

12、式,各有特點,依據詳細問題,挑選不同的解析式來便利求解；圓的方程有標準式一般式兩種；直線與圓的方程問 題,常常與其它學問相結合,如直線與圓相切,直線與直線平行、垂直等問題；【命題規(guī)律 】直線與圓的方程問題多以挑選題與填空題形式顯現,屬簡潔題；例、 2022 廣東文 經過圓x22xy20的圓心 C,且與直線x+y0 垂直的直線方程是（）Axy10 B. xy10 C. xy10 D. xy10解：易知點 C為 1,0,而直線與xy0垂直,我們設待求的直線的方程為yxb,將點 C的坐標代入立刻就能求出參數b的值為b1,故待求的直線的方程為xy10, 因此,選（ . ）；點評 ：兩直線垂直,斜率之積

13、為,利用待定系數法求直線方程,簡潔、便利；例、 2022 山東文 如圓C的半徑為 1,圓心在第一象限,且與直線4 x3y0和x軸相切,就該圓的標準方程是（）Ax32y721dBx22y2 111.應選 B. 3Cx12y321x32y2 112D解：設圓心為 ,1,由已知得|4 a3|1,a2 舍52點評 ：圓與 x 軸相切,就圓心的縱坐標與半徑的值相等,留意用數形結合,畫出草圖來幫忙懂得；考點三 曲線（軌跡）方程的求法【內容解讀 】軌跡問題是高中數學的一個難點,常見的求軌跡方程的方法：（1）單動點的軌跡問題直接法待定系數法；（2）雙動點的軌跡問題代入法； 交軌法；（3）多動點的軌跡問題參數法

14、【命題規(guī)律 】軌跡問題在高考中多以解答題顯現,屬中檔題；例、（2022 深圳福田模擬）已知動圓過定點1,0 ,且與直線x1相切 . OP OQx0？如存1 求動圓的圓心軌跡C 的方程；2 是否存在直線l ,使 l 過點（ 0, 1）,并與軌跡C 交于P Q 兩點,且滿意x1的在,求出直線l 的方程；如不存在,說明理由. 解：（ 1）如圖,設M 為動圓圓心,F1,0,過點M作直線垂線,垂足為N ,由題意知：MFMNNM即動點M到定點F與到定直線x1的距離相等,AoF1,0 x1由拋物線的定義知,點M 的軌跡為拋物線,其中F1,0為焦點,x1為準線,動圓圓心的軌跡方程為y24x（2）由題可設直線l

15、 的方程為xk y1 k0 xk y1由y24x得y24 ky4k016 k216 k0,k0 或k1設Px 1y 1,Qx2y2,就y 1y 24k ,y y24 k由OP OQ0,即OPx y 1 1,OQx 2,y 2,于是x x2y y 20,又即k2y 11ky21y y20,k21y y2yk2y 1y 2k20,4 k k2124 kk20,解得k4或k0（舍去）,k40,直線l存在,其方程為x440點評 ：此題的軌跡問題采納拋物線的定義來求解,用圓錐曲線的定義求軌跡問題是常常采納的方 法,要求充分把握圓錐曲線的定義,敏捷應用；例、（2022 廣州模擬）已知曲線上任意一點P 到兩

16、個定點F 13,0和F23,0的距離之和為 4（1）求曲線0,的方程；交于C、 D 兩點,且OC OD0（O為坐標原點） ,求直線l（2）設過2 的直線 l 與曲線的方程解：（1）依據橢圓的定義,可知動點M 的軌跡為橢圓,x2y21其中a2,c3,就b2 ac21 所以動點 M的軌跡方程為4（2）當直線l的斜率不存在時,不滿意題意y y當直線l的斜率存在時,設直線l 的方程為ykx2,設C x 1,y 1,D x 2,y 2,OC OD0,x x2y y 20y 1kx 12,y2kx 22,22 k x 1x22 k x 1x 24 1k2x x22 k x 1x 240 由方程組2 xy2

17、1,14 k22 x16 kx1204即k2ykx2.得或y2x2就x 1x 2116 k2,x 1x 21124 k42 k ,代入,得1k211222 k116 k2404k4k4,解得,k2或k2所以,直線l的方程是y2x2點評 ：此題考查橢圓的定義,橢圓與向量結合的綜合題的解法；例、（2022 廣東吳川模擬）已知點P 8,0和圓C：x2y22x10y40,（1）求經過點 P 被圓 C截得的線段最長的直線l 的方程；（2）過 P點向圓 C引割線,求被此圓截得的弦的中點的軌跡；解：（1）化圓的方程為：x12y5222圓心坐標：C1, 5由題意可得直線l 經過圓 C的圓心,由兩點式方程得：y

18、0 x85018y 5 x9y400y02 5P 0化簡得：5x9y400直線l的方程是：A M B x （2）解：設中點Mx , yC CMPM PCM 是 Rt106有：PM2MC2PC2即：x82y2x2 1化簡得：x27xy25y85y8在圓 C內部的一段??；故中點 M的軌跡是圓x27xy2點評 ：合理應用平面幾何學問,這是快速解答此題的關鍵所在；要求把握好平面幾何的學問,如勾股定理,垂徑定理等中學學過的學問要能充分應用；考點四 有關圓錐曲線的定義的問題【內容解讀 】圓、橢圓、雙曲線、拋物線的定義是常?？疾榈膬热?除了在大題中考查軌跡時用到外,常常在挑選題、填空題中也有顯現；【命題規(guī)律

19、 】填空題、挑選題中顯現,屬中等偏易題；PF 1例 9、 2022 上海文 設p是橢圓x222 y1上的點如F 1,F2是橢圓的兩個焦點,就2516PFD10 PF2等于（）A4 B5 C8 解：由橢圓的定義知：PF12 a10.應選（ D）；點評 ：此題很簡潔,直接利用橢圓的定義即可求解,屬簡潔題；例 0、（2022 北京理） 如點P到直線 x 1 的距離比它到點 2 0, 的距離小 1,就點 P 的軌跡為（） A圓 B橢圓 C雙曲線 D拋物線解: 把 P 到直線 x 1 向左平移一個單位,兩個距離就相等了,它就是拋物線的定義；應選（D）；點評 ： 此題考查拋物線的定義,將點 P 到 x=-

20、1 的距離,轉化為點 P 到 x 2 的距離,表達了數學上的轉化與化歸的思想；例 12、 2022 海南、寧夏理 已知點 P 在拋物線 y 2 = 4x 上,那 么點P到點 Q（2, 1）的距離與點 P 到拋物線焦點距離之和取得最小值 時,點 P 的坐標為（）,1）C. （1,2） D. （ 1, 2）11A. （4, 1） B. （4解：點 P到拋物線焦點距離等于點P到拋物線準線距離,如圖PF此時PQPSPQ , 故最小值在S P Q 三點共線時取得,P Q 的縱坐標都是1,點 P 坐標為1, 1,所以選 A；4點評 ：點 P 到焦點的距離,利用拋物線的定義,轉化為點 與化歸的思想,在數學問

21、題中,常?？疾檫@種數學思想方法；考點五 圓錐曲線的幾何性質P 到準線之間的距離,表達數學上的轉化【內容解讀 】圓錐曲線的幾何性質包括橢圓的對稱性、頂點坐標、離心率,雙曲線的對稱性、頂點坐標、離心率和近近線,拋物線的對稱性、頂點坐標、離心率和準線方程等內容,c離心率公式一樣：ea,范疇不一樣,橢圓的離心率在（0,1 ）之間,雙曲線的離心率在（1,）之間,拋物線的離心率為1,【命題規(guī)律 】2 2x y 1例 13、 2022 海南、寧夏文 雙曲線 10 2 的焦距為（）A. 3 2 B. 4 2 C. 3 3 D. 4 3解：由于 a10 ,b2 ,所以 c10 22 3 ,2c4 3 ,應選（

22、D）；點評 ：此題考查雙曲線中 a、 b、c 之間的關系,焦距的定義,屬簡潔題；2 2例 14、 2022 福建文、理 雙曲線 a x2b y2 1 a 0, b 0的兩個焦點為 F F ,如 P 為其上的一點,且 | PF 1 | 2| PF 2 |,就雙曲線離心率的取值范疇為（）1,3 1,3 3, 3, 解 ：如圖,設 PF 2 m ,F PF 2 0 ,當 P 在右頂2 2 22 c m 2 m 4 m cose 5 4cos點處,2 a m1 cos 1 ,e 1,3點評 ：此題考查離心率的公式及其意義,另外也可用三角形的兩邊和大于第三邊 , 及兩邊差小于第三邊來求解 , 但要留意前

23、者可以取到等號成立 , 由于可以三點一線 . 例 15、 2022 遼寧文 已知雙曲線9y22 m x21m0的一個頂點到它的一條漸近線的距離為15 ,就 m C3 1 3,bD4 1 3 , 4.應選（ D）；B2 A1 解：9y22 m x21 m0a1 ,m 取頂點0,一條漸近線為mx3y0,1| 31 3|m2925m52 m9點評 ：此題主要考查雙曲線的漸近線方程,點到直線的距離公式問題；考點六 直線與圓錐曲線位置關系問題【內容解讀 】能用坐標法解決一些與圓錐曲線有關的簡潔幾何問題和實際問題；能夠把爭論直線與 圓錐曲線位置關系的問題轉化為爭論方程組的解的問題；會利用直線與圓錐曲線方程

24、所組成的方程組消去 一個變量后,將交點問題轉化為一元二次方程根的問題,結合根與系數的關系及判別式解決問題；能夠利 用數形結合法,快速判定某直線與圓錐曲線的位置關系,但要留意曲線上的點的純粹性；涉及弦長問題 時,利用弦長公式及韋達定理求解,涉及弦的中點及中點弦的問題,利用點差法較為簡便；【命題規(guī)律 】直線與圓錐曲線位置關系涉及函數與方程,數形結合,分類爭論、化歸等數學思想方 法,因此這部分常常作為高考試題的壓軸題,命題主要意圖是考查運算才能,規(guī)律揄才能；例 6、2022 年重慶 已知以F 1 2 0, ,F 22 0, 為焦點的橢圓與直線x3y40有且僅有一個交點,就橢圓的長軸長為（）（A）3

25、2（B）2 6（C）27（D）4 2解：設橢圓方程為mx2ny21 mn0.,聯立方程組：2 mx2 ny410,消 x 得：3 mn y28 3my16m 1 0,x3y 192m 2 416m1 （3mn 0,整理,得： 3 mn16 mn 即：3116.,又 c2,由焦點在x 軸上信,所以,nmm1 711n1,故長軸長為2 7.mn 4,聯立解得：3點評 ：直線與圓錐曲線只有一個交點時,常常采納聯立方程組,消去一個未知數后,變成一元二次 方程,由判別式來求解,但要留意,有時要考慮二次項的系數為 0 的特殊情形；例 7、2022年浙江 如圖,直線ykxb 與橢圓2 x2 y1xByOAk

26、2x 1xx 24交于A,B兩點,記AOB的面積為S （ I ）求在k0,圖 1 0b1的條件下,S的最大值；（II ）當AB2,S1時,求直線AB 的方程解：設點 A 的坐標為x 1,b,點 B 的坐標為x 2,b由x2b21,解得x 1 22 1b2,4所以S1b x 1x 22 b1b2b 21b 21,2當且僅當b2時,S取到最大值1b221ykxb,（）解：由x2y21,得k212 x2 kbx2 b10,4442 k b24k21 b214k22 b 1,ABx 1x 22y 1y221k2x 1x 21k24k21k2 2 4設O到AB的距離為d,就d2 S1,又由于d1bk2,

27、AB所以b2k21,代入式并整理,得k4k210,4解得,k21,b23,代入式檢驗,0 22故直線AB的方程是y2x6,或y2x6,222222y 1y221或y2x6,或y2x62222點評 : 求圓錐曲線的弦長時,可利用弦長公式：ABx 1來求解；F例 8、 2022上海卷 已知在平面直角坐標系xOy 中的一個橢圓,它的中心在原點,左焦點為3,0, 右頂點為D2,0, 設點A1,1. 2（1）求該橢圓的標準方程；（2）如P是橢圓上的動點,求線段 PA 中點 M 的軌跡方程；解： 1 由已知得橢圓的半長軸 a=2, 半焦距 c= 3 , 就半短軸 b=1. 2x y 2 1又橢圓的焦點在 x 軸上, 橢圓的標準方程為 42 設線段 PA的中點為 Mx,y , 點 P 的坐標是 x 0,y 0 ,x 0 1x21 x 0 2 x 1y y 02 y 0 2 y 1由 2,得 22 2 x 1 2 y 1 21由, 點 P 在橢圓上 , 得 4 2 ,