單調(diào)性與最大（?。┲?單調(diào)性-高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊(cè)

1、3.2.1 單調(diào)性與最大（?。┲祮握{(diào)性 前面學(xué)習(xí)了函數(shù)的定義和表示法，知道函數(shù) 描述了客觀世界中變量之間的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系. 這樣，我們就可以通過(guò)研究函數(shù)的變化規(guī)律來(lái)把握客觀世界中事物的變化規(guī)律. 因此，研究函數(shù)的性質(zhì)，如隨著自變量的增大，函數(shù)值是增大還是減小，有沒(méi)有最大值或最小值，函數(shù)圖象有什么特征等，是認(rèn)識(shí)客觀規(guī)律的重要方法. 我們知道，先畫出函數(shù)圖象，通過(guò)觀察和分析圖象的特征，可以得到函數(shù)的一些性質(zhì). 觀察下圖中的各個(gè)函數(shù)圖象，你能說(shuō)說(shuō)它們分別反映了相應(yīng)函數(shù)的哪些性質(zhì)嗎？ 在初中，我們利用函數(shù)圖象研究過(guò)函數(shù)值隨自變量的增大而增大（或減?。┑男再|(zhì)，這一性質(zhì)叫做函數(shù)的單調(diào)性. 下面進(jìn)一步用符號(hào)語(yǔ)

2、言刻畫這種性質(zhì). 先研究二次函數(shù)的單調(diào)性. 圖象在 y 軸左側(cè)部分從左到右是下降的，也就是說(shuō)當(dāng)x0時(shí)，y 隨 x 的增大而減小. 用符號(hào)語(yǔ)言描述就是：這時(shí)我們就說(shuō)，函數(shù) 在區(qū)間 上是單調(diào)遞減的. 畫出它的圖像（如圖3.2-2），可以看到：你能說(shuō)明為什么 嗎？ 在初中，我們利用函數(shù)圖象研究過(guò)函數(shù)值隨自變量的增大而增大（或減?。┑男再|(zhì)，這一性質(zhì)叫做函數(shù)的單調(diào)性. 下面進(jìn)一步用符號(hào)語(yǔ)言刻畫這種性質(zhì). 先研究二次函數(shù)的單調(diào)性. 圖象在 y 軸右側(cè)部分從左到右是上升的，也就是說(shuō)當(dāng)x0時(shí)，y 隨 x 的增大而增大. 用符號(hào)語(yǔ)言描述就是：這時(shí)我們就說(shuō)，函數(shù) 在區(qū)間 上是單調(diào)遞增的. 畫出它的圖像（如圖3.2

3、-2），可以看到：你能說(shuō)明為什么 嗎？思考：函數(shù) 各有怎樣的單調(diào)性？（1） 的圖象如圖（1）所示， 圖象在 y 軸左側(cè)部分從左到右是下降的，也就是說(shuō)當(dāng)x0時(shí)，y 隨 x 的增大而減小.用符號(hào)語(yǔ)言描述就是：所以，函數(shù) 在區(qū)間 上是單調(diào)遞減的.類似地，函數(shù) 在區(qū)間 上是單調(diào)遞增的.（2） 的圖象如圖（2）所示， 圖象在 y 軸左側(cè)部分從左到右是下升的，也就是說(shuō)當(dāng)x0時(shí)，y 隨 x 的增大而增大.用符號(hào)語(yǔ)言描述就是：所以，函數(shù) 在區(qū)間 上是單調(diào)遞增的.類似地，函數(shù) 在區(qū)間 上是單調(diào)遞減的.函數(shù)單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間的定義一般地，設(shè)函數(shù) f（x）的定義域?yàn)?I ，區(qū)間 特別地，函數(shù) f（x）在它的定義域上單

4、調(diào)遞增時(shí)，我們就稱它是增函數(shù). 特別地，函數(shù) f（x）在它的定義域上單調(diào)遞減時(shí)，我們就稱它是減函數(shù). 如果函數(shù) y=f（x）在區(qū)間D上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，那么就說(shuō)函數(shù) y=f（x）在這個(gè)區(qū)間具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，區(qū)間D叫做 y=f（x）的單調(diào)區(qū)間.思考（1）設(shè) A 是區(qū)間 D 上某些自變量的值組成的集合，而且 都有 我們能說(shuō)函數(shù) f（x）在區(qū)間 D 上單調(diào)遞增嗎？你能舉例說(shuō)明嗎？（2）函數(shù)的單調(diào)性是對(duì)定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間而言的，你能舉出在整個(gè)定義域內(nèi)是單調(diào)遞增的函數(shù)例子嗎？你能舉出在定義域內(nèi)的某些區(qū)間上單調(diào)遞增，但在另一些區(qū)間上單調(diào)遞減的函數(shù)例子嗎?（1）不能. 例如函數(shù)（2）函數(shù) 在定義域R上單調(diào)遞增.函數(shù) 的圖象如圖所示，f(x)在 上單調(diào)遞增，在 上單調(diào)遞減.例1 根據(jù)定義，研究函數(shù) 的單調(diào)性.分析：根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，需要考察當(dāng) 時(shí)， 還是 根據(jù)實(shí)數(shù)大小關(guān)系的基本事實(shí)，只要考察 與0的大小關(guān)系.解：函數(shù) 的定義域是R. 當(dāng)k0時(shí)， 于是這時(shí)， 是增函數(shù) .當(dāng)k0時(shí)， 的圖象如圖（1）；當(dāng)k0時(shí)， 的圖象如圖（2）.所以，當(dāng)k0時(shí)，函數(shù) 在區(qū)