高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)：橢圓

1、第五節(jié) 橢 圓備考方向要明白 考 什 么 怎 么 考1.把握橢圓的定義、幾何圖1.橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)是高考的重點(diǎn)考查內(nèi)形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)潔性質(zhì)容,三種題型均有可能顯現(xiàn),如2022 年山東 T10 等2.明白圓錐曲線的簡(jiǎn)潔應(yīng)用2.直線與橢圓位置關(guān)系問(wèn)題始終是高考的重點(diǎn),多以解答題3.懂得數(shù)形結(jié)合的思想. 形式考查,難度相對(duì)較大,如2022 年陜西 T19 等. 歸納 學(xué)問(wèn)整合 1橢圓的定義 1滿意以下條件的點(diǎn)的軌跡是橢圓 在平面內(nèi)；與兩個(gè)定點(diǎn) F1、F 2 的距離之和等于常數(shù)；常數(shù)大于 |F1F2|. 2焦點(diǎn)：兩定點(diǎn)3焦距：兩焦點(diǎn)間的距離探究 1.在橢圓的定義中,如2a |F 1F 2

2、|或 2a|F1F2|,就動(dòng)點(diǎn)的軌跡如何？的提示： 當(dāng) 2a|F1F2|時(shí)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是線段 F1F2；當(dāng) 2ab0 21ab0a圖形范疇axa bx b bybay a性質(zhì)探究 對(duì)稱性對(duì)稱軸： x 軸、 y 軸對(duì)稱中心： 0,0 頂點(diǎn)A1a,0,A2a,0A10, a,A20,aB10, b,B20,b B1b,0,B2b,0 軸長(zhǎng)軸 A1A2 的長(zhǎng)為 2a 短軸 B1B2 的長(zhǎng)為 2b焦距|F 1F 2|2c離心率ec a,e0,1 a,b,c 的關(guān)系c2a 2b 22.橢圓離心率的大小與橢圓的扁平程度有怎樣的關(guān)系？提示： 離心率 ec a越接近 1, a 與 c 就越接近,從而ba 2c

3、2就越小,橢圓就越扁平；同理離心率越接近0,橢圓就越接近于圓自測(cè) 牛刀小試 2 21橢圓x 16y 81 的離心率為 A,B 兩點(diǎn),在A.1 3B.1 2C.3D.232解析： 選 D a 216,b28,c 28,e c a2 2 . 2 22已知 F 1,F2是橢圓 x 16y 91 的兩焦點(diǎn),過(guò)點(diǎn)F2 的直線交橢圓于 AF 1B 中,如有兩邊之和是10,就第三邊的長(zhǎng)度為 A6 B5 C4 D3 解析： 選 A依據(jù)橢圓定義,知 AF1B 的周長(zhǎng)為4a16,故所求的第三邊的長(zhǎng)度為16 106. 3橢圓 x 2my 21 的焦點(diǎn)在 y 軸上,長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的兩倍,就 m 的值為 1 1A. 4

4、 B. 2C2 D4 解析： 選 A 由題意知 a 21 m,b 21,且 a2b,就1 m4,得 m1 4. 2 24如橢圓 16 y m 21 過(guò)點(diǎn) 2,3,就其焦距為 A2 3 B2 5 C4 3 D4 5 解析： 選 C 把點(diǎn) 2,3的坐標(biāo)代入橢圓方程得 m 24,所以 c 2 164 12,所以 c2 3,故焦距為 2c 4 3. 2 25設(shè) F1、F2分別是橢圓 x 25 y 161 的左、右焦點(diǎn),P 為橢圓上一點(diǎn),M 是 F1P 的中點(diǎn), |OM |3,就 P 點(diǎn)到橢圓左焦點(diǎn)的距離為 _解析： 由題意知 |OM |1 2|PF2|3,就 |PF2|6.故|PF 1|2 564.

5、答案： 4 橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程例 12 1已知 ABC 的頂點(diǎn) B、C 在橢圓x 3y 21 上,頂點(diǎn)A 是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn),2 .雙曲線 x3 2y 21 的且橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn)在BC 邊上,就ABC 是周長(zhǎng)是 A2 3B6 C43 D12 22022山東高考 已知橢圓C：2 xa 22 yb 21ab0的離心率為漸近線與橢圓C 有四個(gè)交點(diǎn),以這四個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為16,就橢圓C 的方程為 2 2 2 2A. x 8y 21 B. x 12y 61 2 2 2 2C.x 16y41 D. x20y51 自主解答 1依據(jù)橢圓定義, ABC 的周長(zhǎng)等于橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)的 2 倍,即 4 3.

6、 2由離心率為 2得, a 3 2 4b 2,排除選項(xiàng) B,雙曲線的漸近線方程為 yx,與橢圓的四交點(diǎn)組成的四邊形的面積為 16 可得在第一象限的交點(diǎn)坐標(biāo)為 2,2 ,代入選項(xiàng) A 、C、D,知選項(xiàng) D 正確答案 1C2D 用待定系數(shù)法求橢圓方程的一般步驟1作判定：依據(jù)條件判定橢圓的焦點(diǎn)在x 軸上,仍是在y 軸上,仍是兩個(gè)坐標(biāo)軸都有可能；2設(shè)方程：依據(jù)上述判定設(shè)方程2 xa 22 yb 21ab0或2 xb 22 ya 21ab0；3 找關(guān)系：依據(jù)已知條件,建立關(guān)于a、b、c 或 m、n 的方程組；4 得方程：解方程組,將解代入所設(shè)方程,即為所求 . 留意： 用待定系數(shù)法求橢圓的方程時(shí),要“

7、先定型,再定量”,不能確定焦點(diǎn)的位置時(shí),可進(jìn)行分類(lèi)爭(zhēng)論或把橢圓的方程設(shè)為 mx 2ny 21 m0,n0 . 1已知橢圓 G 的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),長(zhǎng)軸在 x 軸上,離心率為 2 3,且橢圓上一點(diǎn)到橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為 12,就橢圓 G 的方程為 _2 2解析： 設(shè)橢圓方程為xa 2y b 21ab0,依據(jù)橢圓定義 2a12,即 a6,又c a2,32 2得 c3 3,故 b 2a 2c 236279,故所求橢圓方程為 36y 91. 2 2答案：x 36y 91 2 22已知 F 1,F2是橢圓 C： x a 2yb 2 1ab0的左、右焦點(diǎn),P 為橢圓 C 上一點(diǎn),且PF 1 PF 2.

8、如 PF 1F2 的面積為 9,就 b_. 解析： 設(shè)橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 c,0依據(jù)橢圓定義和 PF1F 2 是一個(gè)面積等于9 的直角三角形,|PF1|PF 2|2a,有 |PF1| |PF 2|18,|PF1| 2|PF 2| 24c 2. 式兩端平方并把 、兩式代入可得 4c 2364a 2,即 a 2c 29,即 b 29,故 b3. 答案： 3 橢圓的幾何性質(zhì)及應(yīng)用例 22 22022 安徽高考 如圖, F 1,F2分別是橢圓 C：x a 2y b 21ab0的左、右焦點(diǎn),A 是橢圓 C 的頂點(diǎn), B 是直線 AF2與橢圓 C 的另一個(gè)交點(diǎn),F 1AF 260. 1求橢圓 C 的離心率；

9、2已知 AF 1B 的面積為 40 3,求 a,b 的值自主解答 1由題意可知, AF 1F2為等邊三角形,a2c,所以 e1 2. 2法一： a 2 4c 2,b 23c 2,直線 AB 的方程可為 y3xc將其代入橢圓方程 3x 24y 212c 2,得 B 8 5c,35 c . 3所以 |AB|1 38 5c0 16 5 c. 由 S AF 1B1 2|AF 1| |AB|sin F 1AB1 2a16 5 c22 3 5 a 240 3,解得 a10,b5 3. 法二： 設(shè)|AB|t. 由于 |AF 2|a,所以 |BF 2|ta. 由橢圓定義 |BF1| |BF 2|2a 可知,

10、|BF 1|3a t. 再由余弦定理 3at 2a 2t 22atcos 60 可得,t8 5a. 由 S AF 1B1 2a8 5a22 3 5 a 240 3知,a10, b5 3. 橢圓離心率的求法求橢圓的離心率或范疇 時(shí),一般是依據(jù)題設(shè)得出一個(gè)關(guān)于a,b, c 的等式 或不等式,利用 a2b2c2消去 b,即可求得離心率或離心率的范疇2 2x y3橢圓 a 2b 21ab0的兩頂點(diǎn)為 Aa,0,B0,b,且左焦點(diǎn)為 F, FAB 是以角B 為直角的直角三角形,就橢圓的離心率 e 為 A.312 B. 51215 3 1C. 4 D. 4解析： 選 B 依據(jù)已知 a 2b 2a 2ac

11、2,即 c 2aca 20,即 e 2e10,解得 e 12 5,故所求的橢圓的離心率為 512 . 2 24橢圓 xa 2y51a 為定值,且 a 5的左焦點(diǎn)為 F,直線 xm 與橢圓相交于點(diǎn) A,B, FAB 的周長(zhǎng)的最大值是 12,就該橢圓的離心率是 _解析： 設(shè)橢圓右焦點(diǎn)為 F,由圖及橢圓定義知,|AF|AF|BF|BF|2a. 又 FAB 的周長(zhǎng)為 |AF |BF| |AB|AF|BF| |AF| |BF| 4a,當(dāng)且僅當(dāng) AB過(guò)右焦點(diǎn)F時(shí)等號(hào)成立,此時(shí)4a12,就 a3,故橢圓方程為2 2x 9y 51, 所以 c2,所以 ec a2 3. 答案：23直線與橢圓的綜合2 2x y

12、1例 3 如圖,橢圓 C：a 2b 21ab0的離心率為 2,其左焦點(diǎn)到點(diǎn) P2,1的距離為 10.不過(guò)原點(diǎn) O 的直線 l 與 C 相交于 A,B 兩點(diǎn),且線段AB 被直線 OP 平分1求橢圓 C 的方程；2求 ABP 面積取最大值時(shí)直線 l 的方程自主解答 1設(shè)橢圓左焦點(diǎn)為 Fc,0,就由題意得2c 2110,c1,解得a1 2,a2.2 2所以橢圓方程為 x 4y 31. 2設(shè) Ax1,y1,Bx2,y2,線段 AB 的中點(diǎn)為 M. 當(dāng)直線 AB 與 x 軸垂直時(shí),直線AB 的方程為x0,與不過(guò)原點(diǎn)的條件不符,舍去故可設(shè)直線AB 的方程為 ykxmm 0,由ykxm,消去 y,整理得2k

13、m 34k 2. 3x 24y21234k2x 28kmx4m2120,就 64k2m 2434k 24m2120,x1 x2 8km 3 4k2,x1x2 4m 34k 2122 .所以線段 AB 的中點(diǎn) M 4km 34k 2,3m2 . 34k由于 M 在直線 OP：y1 2x 上,所以3m 234k得 m0舍去 或 k3 2. 此時(shí)方程 為 3x23mxm230,就x1x2m,312m 20,x1x2m 233.12m2. 所以 |AB|1 k 2 |x 1x2|39 6設(shè)點(diǎn) P 到直線 AB 距離為 d,就d|82m| 3 22 22|m4| 13 . 設(shè) ABP 的面積為 S,就S

14、1 2|AB| d63 m4 2 12m 2 . 其中 m2 3,00,2 3令 um12m 2m42,m2 3,2 3 ,um 4m4m 22m6 4m4m17m17所以當(dāng)且僅當(dāng) m17時(shí), um取到最大值故當(dāng)且僅當(dāng) m 17時(shí), S 取到最大值綜上,所求直線 l 方程為 3x 2y2 72 0. 直線與橢圓相交時(shí)的常見(jiàn)問(wèn)題的處理方法涉及問(wèn)題 弦長(zhǎng) 中點(diǎn)弦或弦的中點(diǎn)處理方法 根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式 點(diǎn)差法5 2022 洛陽(yáng)模擬 已知橢圓2 xa 22 yb 2 1ab0 的離心率為2 2,短軸的一個(gè)端點(diǎn)為M0,1,直線 l ：ykx13與橢圓相交于不同的兩點(diǎn) A,B. 1如|AB|4 9

15、26,求 k 的值；2求證：不論 k 取何值,以 AB 為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn) M. 解： 1由題意知c a2,b1. 2由 a 2b 2c 2可得 c b1,a2,2橢圓的方程為x 2y 21. 1由 ykxx2y 221,3,得2k 21x 24 3kx1690. 16 9 k 2 42k 2116916k 264 9 0 恒成立設(shè) Ax1,y1, Bx2,x2,就 x1x24k 3 2k 21,x1x216 9 2k 21,1k 2 9k 2 43 2k 214 26 9,|AB|1k2|x1x2|1k 2x1x224x1x24化簡(jiǎn)得 23k4 13k 2100,即 k2123k 2100,解

16、得 k1. 2證明： MA x1,y11, MB x2,y2 1, MA MB x1x2y11 y21 1k 2x1x24 3kx1 x216216 1k 9 2k 21 2 9 2k 16k 21 160. 不論 k 取何值,以 AB 為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn) M. 1 個(gè)規(guī)律 橢圓焦點(diǎn)位置與 x 2、y 2 系數(shù)之間的關(guān)系給出橢圓方程2 2my n1 時(shí),橢圓的焦點(diǎn)在x 軸上 . mn0；橢圓的焦點(diǎn)在y 軸上. 0mn. 1 種思想 數(shù)形結(jié)合思想在橢圓幾何性質(zhì)中的運(yùn)用求解與橢圓幾何性質(zhì)有關(guān)的問(wèn)題時(shí)要結(jié)合圖形進(jìn)行分析,即使不畫(huà)出圖形,摸索時(shí)也要聯(lián)想到圖形當(dāng)涉及到頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、長(zhǎng)軸、短軸等橢圓的基本量時(shí)

17、,要理清它們之間的關(guān)系,挖掘出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系2 種方法 求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的方法1定義法：依據(jù)橢圓定義,確定a2,b2 的值,再結(jié)合焦點(diǎn)位置,直接寫(xiě)出橢圓方程2待定系數(shù)法：依據(jù)橢圓焦點(diǎn)是在 x 軸仍是 y 軸上,設(shè)出相應(yīng)形式的標(biāo)準(zhǔn)方程,然后依據(jù)條件確定關(guān)于 a、 b、c 的方程組,解出 a 2、 b 2,從而寫(xiě)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程3 種技巧 與橢圓性質(zhì)、方程相關(guān)的三種技巧1橢圓上任意一點(diǎn) M 到焦點(diǎn) F 的全部距離中,長(zhǎng)軸端點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離分別為最大距離和最小距離,且最大距離為 ac,最小距離為 a c. 2求橢圓離心率 e 時(shí),只要求出 a,b, c 的一個(gè)齊次方程,再結(jié)合 b 2a 2 c 2

18、就可求得 e0e0” 是“ 方程 mx 2ny21 的曲線是橢圓” 的 A充分不必要條件 B必要不充分條件C充分必要條件 D既不充分也不必要條件解析： 選 B 由于當(dāng) m0,n0,n0, mn0. 2已知橢圓：2 x10my21 的焦距為 4,就 m 等于 m2A4 B8 C4 或 8 D以上均不對(duì)解析： 選 C由10m0,得 2m0,由題意知 10mm 24 或m210m4,解得 m4 或 m8. 3矩形 ABCD 中, |AB|4,|BC|3,就以 A,B 為焦點(diǎn),且過(guò) C,D 兩點(diǎn)的橢圓的短軸的長(zhǎng)為 A2 3 B2 6 C4 2 D4 3 解析： 選 D 依題意得 |AC|5,所以橢圓的

19、焦距為 2c|AB|4,長(zhǎng)軸長(zhǎng) 2a|AC|BC|8,所以短軸長(zhǎng)為2b2a 2c2216443. 42022 汕尾模擬 已知 P 為橢圓2 225 y 161 上的一點(diǎn), M,N 分別為圓 x 3 2y 21 和圓 x3 2y 24 上的點(diǎn),就 |PM |PN|的最小值為 A5 B7 C13 D15 解析： 選 B 由題意知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn) F 1,F 2 分別是兩圓的圓心,且 |PF 1|PF 2|10,從而 |PM|PN|的最小值為 |PF1|PF 2| 127. 5以橢圓上任意一點(diǎn)與焦點(diǎn)所連接的線段為直徑的圓與以長(zhǎng)軸為直徑的圓的位置關(guān)系是 如圖,設(shè)線段是B相交A內(nèi)切C相離D無(wú)法確定解析：

20、選 APF1,O1 是線段 PF 1 的中點(diǎn),連接 O1O,PF2,其中 O 是橢圓的中心,F2 是橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn),就在 PF1F2 中,由三角形中位線定理可知,兩圓的連心線的長(zhǎng)是|OO 1|1 2|PF 2|1 22a|PF 1|a1 2|PF 1| Rr. P 為直12 2c,e 的2 62022 新課標(biāo)全國(guó)卷 設(shè) F1,F2是橢圓 E：x a 22 yb 21ab0的左、右焦點(diǎn),線 x3a 2上一點(diǎn),F2PF 1 是底角為 30的等腰三角形,就E 的離心率為 A.1 2B.2 33 C. 4D.45解析： 選 C依據(jù)題意直線PF2 的傾斜角是 3,所以 3 2ac1 2|PF2|1 2

21、|F1F2|解得 e3 4. 二、填空題 本大題共 3 小題,每道題5 分,共 15 分 7如橢圓2 xa 22 yb 21ab0與曲線 x2y2a2b2 恒有公共點(diǎn),就橢圓的離心率取值范疇是 _解析： 由題意知,以半焦距c 為半徑的圓與橢圓有公共點(diǎn),故bc,所以 b 2c 2,即a 22c 2,所以 2c a.又 a1,所以 c2eb0的左、右頂點(diǎn)分別是 A,B,左、右焦點(diǎn)分別是 F 1,F2.如 |AF 1|,|F1F2|,|F1B|成等比數(shù)列,就此橢圓的離心率為 _解析： 依題意得 |F 1F 2| 2|AF 1| |BF 1|,即 4c 2ac aca 2c 2,整理得 5c 2a 2

22、,得 eca5 . 5答案：552 2x y 39已知橢圓 C：a 2b 21ab0的離心率為 2 .過(guò)右焦點(diǎn) F 且斜率為 kk0的直線與橢圓 C 相交于 A,B 兩點(diǎn)如 AF 3 FB ,就 k _. 解析： 依據(jù)已知c a3 2,可得a24 3c 2,就b 21 3c 2,故橢圓方程為3x22 3yc 2 1,即24c3x 212y24c 20.設(shè)直線的方程為xmyc,代入橢圓方程得3m212y 26mcyc20.設(shè) Ax1,y1, Bx2,y2,就依據(jù)AF3FB,得 cx1, y1 3x2c,y2,由此得 y123y2,依據(jù)韋達(dá)定理 y1 y2m 2cm24, y1y23 m c24,

23、把 y1 3y2代入得, y22m cm2 4, 3y 223 m c2 4,故 9m 2m 24,故 m 21 2,從而 k 22,k 2. 又 k0,故 k2. 答案：2 三、解答題 本大題共 3 小題,每道題 12 分,共 36 分 10已知 P 點(diǎn)在以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的橢圓上,點(diǎn) P 到兩焦點(diǎn)的距離分別為 4 53和2 53,過(guò) P 點(diǎn)作焦點(diǎn)所在軸的垂線,它恰好過(guò)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn),求橢圓方程解： 設(shè)兩焦點(diǎn)為 F 1,F 2,且 |PF 1|4 53,|PF 2|23 . 5由橢圓定義知 2a|PF 1|PF2|2 5,即 a5. 由|PF1|PF 2|知, |PF 2|垂直焦點(diǎn)所在的對(duì)稱軸

24、,所以在 Rt PF2F 1 中, sinPF 1F 2|PF2| |PF1|1 2. 可求出 PF 1F2 6,2c|PF 1| cos 62 5,從而 b2a2c210 3 . 2,0斜率為1 的所以所求橢圓方程為2 x2 23y 1 或3x10 102y 51. 511已知橢圓2 G：x a 2y b26,右焦點(diǎn)為 2321ab0的離心率為直線 l 與橢圓 G 交于 A,B 兩點(diǎn),以 AB 為底邊作等腰三角形,頂點(diǎn)為P3,21求橢圓 G 的方程；2求 PAB 的面積解： 1由已知得 c2 2,c a6 3,解得 a23,又 b2a2c24. 2 2所以橢圓 G 的方程為x 12y 4 1

25、. 2設(shè)直線 l 的方程為 yxm. 由yxm,得 4x 26mx3m2 120.2 212y 41,設(shè) A,B 的坐標(biāo)分別為 x1,y1, x2,y2x1b0,右焦點(diǎn)為ab因 AB1B2 是直角三角形,又|AB1|AB2|,c故B1AB2 為直角,因此 |OA|OB2|,得 b2. 結(jié)合 c 2a 2b 2 得 4b 2 a 2b 2,故 a 25b 2,c 2 4b 2,所以離心率 ec a2 5 5. 在 Rt AB 1B2中, OAB1B2,故S AB1B21 2|B1B2| |OA |OB2| |OA|c 2bb2. 0,故可設(shè)直線l 的方程由題設(shè)條件S AB 1B24,得 b 2

26、4,從而 a 25b 220. 因此所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x22y 41. 202由1知 B1 2,0, B22,0由題意知直線l 的傾斜角不為為 xmy2.代入橢圓方程得m 2 5y24my 160. 設(shè) Px1,y1, Qx2,y2,就 y1,y2 是上面方程的兩根,因此 y1y2m 4m2 5,y1y2m 25,16又 B P x12, y1,B Q x22,y2,所以B P B Q x12x22y1y2my14my24y1y2m 21y1y24my1y2 16 16 mm 25 2116mm 2516 216m m 25 264,B P B Q 0,即 16m 2640,由 PB2QB2

27、,得解得 m2. 所以滿意條件的直線有兩條,其方程分別為x2y 20 和 x2y20. 1設(shè) e1,e2分別為具有公共焦點(diǎn) F1 與 F 2 的橢圓和雙曲線的離心率,P 為兩曲線的2 2一個(gè)公共點(diǎn),且滿意 PF 1 PF 20,就e e1e2 1e 22的值為 _解析： 設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為 a1,雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為 a2,|F 1F 2|2c,由題意得 |PF 1|PF 2|2a1, |PF1|PF 2|2a2, |PF1| 2|PF 2| 22a 2 12a 22. 又 PF 1 PF 2 0,PF 1PF 2. |PF1| 2 |PF2| 2|F 1F2| 2,即 2a 2 1 2a 2 24c 2. a1 c 2a2 c 22,即1e 1 1 2 2,即 e e1e2 2 1 e 222 2. 答案： 2 2 22已知 F 1,F2為橢圓 x 100y 210b10的左、右焦點(diǎn),1求|PF 1| |PF 2|的最大值；2如 F 1PF 260且 F1PF 2的面積為 64 3 3,求 b 的值P 是橢圓上一點(diǎn)解析： 1由題