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文檔簡介
1、2023年普通高等學(xué)校夏季招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)理工農(nóng)醫(yī)類(湖南卷)一、選擇題:本大題共8小題,每題5分,共40分在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求的1設(shè)集合M1,0,1,Nx|x2x,那么MN等于()A0 B0,1 C1,1 D1,0,12命題“假設(shè),那么tan1的逆否命題是()A假設(shè),那么tan1 B假設(shè),那么tan1C假設(shè)tan1,那么 D假設(shè)tan1,那么3某幾何體的正視圖和側(cè)視圖均如下列圖,那么該幾何體的俯視圖不可能是()4設(shè)某大學(xué)的女生體重y(單位:kg)與身高x(單位:cm)具有線性相關(guān)關(guān)系,根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(xi,yi)(i1,2,n),用最小二乘法建立的回歸方
2、程為,那么以下結(jié)論中不正確的是()Ay與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系B回歸直線過樣本點(diǎn)的中心C假設(shè)該大學(xué)某女生身高增加1 cm,那么其體重約增加0.85 kgD假設(shè)該大學(xué)某女生身高為170 cm,那么可斷定其體重必為58.79 kg5雙曲線C:的焦距為10,點(diǎn)P(2,1)在C的漸近線上,那么C的方程為()A BC D6函數(shù)f(x)sinxcos(x)的值域?yàn)?)A2,2 BC1,1 D7在ABC中,AB2,AC3,那么BC等于()A B C D8兩條直線l1:ym和l2:(m0),l1與函數(shù)y|log2x|的圖象從左至右相交于點(diǎn)A,B,l2與函數(shù)y|log2x|的圖象從左至右相交于點(diǎn)C,D記線段AC
3、和BD在x軸上的投影長度分別為a,b,當(dāng)m變化時(shí),的最小值為()A B C D二、填空題:本大題共8小題,考生作答7小題,每題5分,共35分把答案填在答題卡中對(duì)應(yīng)題號(hào)后的橫線上 (一)選做題(請(qǐng)考生在第9,10,11三題中任選兩題作答,如果全做,那么按前兩題記分)9在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1:(t為參數(shù))與曲線C2:(為參數(shù),a0)有一個(gè)公共點(diǎn)在x軸上,那么a_.10不等式|2x1|2|x1|0的解集為_11如圖,過點(diǎn)P的直線與O相交于A,B兩點(diǎn),假設(shè)PA1,AB2,PO3,那么O的半徑等于_ (二)必做題(1216題)12復(fù)數(shù)z(3i)2(i為虛數(shù)單位),那么|z|_.13的二項(xiàng)展開式中
4、的常數(shù)項(xiàng)為_(用數(shù)字作答)14如果執(zhí)行如下列圖的程序框圖,輸入x1,n3,那么輸出的數(shù)S_.理圖 文圖15函數(shù)f(x)sin(x)的導(dǎo)函數(shù)yf(x)的局部圖象如下列圖,其中,P為圖象與y軸的交點(diǎn),A,C為圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn),B為圖象的最低點(diǎn)(1)假設(shè),點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,),那么_;(2)假設(shè)在曲線段與x軸所圍成的區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),那么該點(diǎn)在ABC內(nèi)的概率為_16設(shè)N2n(nN*,n2),將N個(gè)數(shù)x1,x2,xN依次放入編號(hào)為1,2,N的N個(gè)位置,得到排列P0 x1x2xN.將該排列中分別位于奇數(shù)與偶數(shù)位置的數(shù)取出,并按原順序依次放入對(duì)應(yīng)的前和后個(gè)位置,得到排列P1x1x3xN1x2x4xN,
5、將此操作稱為C變換將P1分成兩段,每段個(gè)數(shù),并對(duì)每段作C變換,得到P2;當(dāng)2in2時(shí),將Pi分成2i段,每段個(gè)數(shù),并對(duì)每段作C變換,得到Pi1.例如,當(dāng)N8時(shí),P2x1x5x3x7x2x6x4x8,此時(shí)x7位于P2中的第4個(gè)位置(1)當(dāng)N16時(shí),x7位于P2中的第_個(gè)位置;(2)當(dāng)N2n(n8)時(shí),x173位于P4中的第_個(gè)位置三、解答題:本大題共6小題,共75分解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟17某超市為了解顧客的購物量及結(jié)算時(shí)間等信息,安排一名員工隨機(jī)收集了在該超市購物的100位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù),如下表所示一次購物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顧客數(shù)(人)x302
6、5y10結(jié)算時(shí)間(分鐘/人)11.522.53這100位顧客中一次購物量超過8件的顧客占55%.(1)確定x,y的值,并求顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間X的分布列與數(shù)學(xué)期望; (2)假設(shè)某顧客到達(dá)收銀臺(tái)時(shí)前面恰有2位顧客需結(jié)算,且各顧客的結(jié)算相互獨(dú)立,求該顧客結(jié)算前的等候時(shí)間不超過2.5分鐘的概率18如圖,在四棱錐PABCD中,PA平面ABCD,AB4,BC3,AD5,DABABC90,E是CD的中點(diǎn)(1)證明:CD平面PAE;(2)假設(shè)直線PB與平面PAE所成的角和PB與平面ABCD所成的角相等,求四棱錐PABCD的體積19數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù),記A(n)a1a2an,B(n)a2a3an1,C(
7、n)a3a4an2,n1,2,.(1)假設(shè)a11,a25,且對(duì)任意nN*,三個(gè)數(shù)A(n),B(n),C(n)組成等差數(shù)列,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)證明:數(shù)列an是公比為q的等比數(shù)列的充分必要條件是:對(duì)任意nN*,三個(gè)數(shù)A(n),B(n),C(n)組成公比為q的等比數(shù)列20某企業(yè)接到生產(chǎn)3 000臺(tái)某產(chǎn)品的A,B,C三種部件的訂單,每臺(tái)產(chǎn)品需要這三種部件的數(shù)量分別為2,2,1(單位:件)每個(gè)工人每天可生產(chǎn)A部件6件,或B部件3件,或C部件2件該企業(yè)方案安排200名工人分成三組分別生產(chǎn)這三種部件,生產(chǎn)B部件的人數(shù)與生產(chǎn)A部件的人數(shù)成正比,比例系數(shù)為k(k為正整數(shù))(1)設(shè)生產(chǎn)A部件的人數(shù)為x,
8、分別寫出完成A,B,C三種部件生產(chǎn)需要的時(shí)間;(2)假設(shè)這三種部件的生產(chǎn)同時(shí)開工,試確定正整數(shù)k的值,使完成訂單任務(wù)的時(shí)間最短,并給出時(shí)間最短時(shí)具體的人數(shù)分組方案21在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C1上的點(diǎn)均在圓C2:(x5)2y29外,且對(duì)C1上任意一點(diǎn)M,M到直線x2的距離等于該點(diǎn)與圓C2上點(diǎn)的距離的最小值(1)求曲線C1的方程;(2)設(shè)P(x0,y0)(y03)為圓C2外一點(diǎn),過P作圓C2的兩條切線,分別與曲線C1相交于點(diǎn)A,B和C,D證明:當(dāng)P在直線x4上運(yùn)動(dòng)時(shí),四點(diǎn)A,B,C,D的縱坐標(biāo)之積為定值22函數(shù)f(x)eaxx,其中a0.(1)假設(shè)對(duì)一切xR,f(x)1恒成立,求a的取值集合;
9、(2)在函數(shù)f(x)的圖象上取定兩點(diǎn)A(x1,f(x1),B(x2,f(x2)(x1x2),記直線AB的斜率為k.問:是否存在x0(x1,x2),使f(x0)k成立?假設(shè)存在,求x0的取值范圍;假設(shè)不存在,請(qǐng)說明理由1 B由Nx|x2x,得x2x0 x(x1)0,解得0 x1.又M1,0,1,MN0,12 C命題“假設(shè),那么tan1的逆否命題是“假設(shè)tan1,那么3 D假設(shè)為D項(xiàng),那么主視圖如下列圖,故不可能是D項(xiàng)4 DD項(xiàng)中,假設(shè)該大學(xué)某女生身高為170 cm,那么其體重約為:0.8517085.715879(kg)故D項(xiàng)不正確5 A由2c10,得c5,點(diǎn)P(2,1)在直線上,.又a2b22
10、5,a220,b25.故C的方程為.6 Bf(x)sinxcos(x)應(yīng)選B項(xiàng)7 A,.又,.8 B由題意作出如下的示意圖由圖知a|xAxC|,b|xDxB|,又xAxB1,xCxD1,.yAyClog2xAlog2xClog2xAxC,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào)由log2xAxC,得log2xAxC,即0 xAxC從而,當(dāng)時(shí),取得最小值,應(yīng)選B項(xiàng)9答案:解析:C1:C1的方程為2xy30.C2:C2的方程為.C1與C2有一個(gè)公共點(diǎn)在x軸上,且a0,C1與x軸的交點(diǎn)(,0)在C2上,代入解得.10答案:x|x解析:對(duì)于不等式|2x1|2|x1|0,分三種情況討論:1,當(dāng)時(shí),2x12(x1)0,即30
11、,故x不存在;2,當(dāng)時(shí),2x12(x1)0,即;3,當(dāng)x1時(shí),2x12(x1)0,30,故x1.綜上可知,不等式的解集是11答案:解析:過P作圓的切線PC切圓于C點(diǎn),連結(jié)OCPC2=PAPB=13=3,.在RtPOC中,.12答案:10解析:z(3i)2,|z|321210.13答案:160解析:的通項(xiàng)為(1)r26rx3r.當(dāng)3r0時(shí),r3.故(1)326323160.14答案:4解析:輸入x1,n3.i312,S6(1)213;i211,S(3)(1)115;i110,S5(1)014;i011,10,輸出S4.15答案:(1)3(2)f(x)sin(x),f(x)cos(x)解析:(1)
12、時(shí),f(x)cos(x),即,3.(2)當(dāng)x時(shí),;當(dāng)x時(shí),.由幾何概型可知,該點(diǎn)在ABC內(nèi)的概率為.16答案:(1)6(2)32n411解析:(1)由題意知,當(dāng)N16時(shí),P0 x1x2x3x4x5x16,P1x1x3x5x15x2x4x16,那么P2x1x5x9x13x3x7x11x15x2x6x10 x14x4x8x12x16,此時(shí)x7位于P2中的第6個(gè)位置(2)方法同(1),歸納推理知x173位于P4中的第32n411個(gè)位置17解:(1)由得25y1055,x3045,所以x15,y20,該超市所有顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間組成一個(gè)總體,所收集的100位顧客一次購物的結(jié)算時(shí)間可視為總體的一個(gè)容
13、量為100的簡單隨機(jī)樣本將頻率視為概率得,.X的分布列為X11.522.53PX的數(shù)學(xué)期望為. (2)記A為事件“該顧客結(jié)算前的等候時(shí)間不超過2.5分鐘,Xi(i1,2)為該顧客前面第i位顧客的結(jié)算時(shí)間,那么P(A)P(X11且X21)P(X11且X21.5)P(X11.5且X21)由于各顧客的結(jié)算相互獨(dú)立,且X1,X2的分布列都與X的分布列相同,所以P(A)P(X11)P(X21)P(X11)P(X21.5)P(X11.5)P(X21).故該顧客結(jié)算前的等候時(shí)間不超過2.5分鐘的概率為.18解:解法一:(1)如下列圖,連接AC由AB=4,BC=3,ABC=90得AC=5.又AD=5,E是CD
14、的中點(diǎn),所以CDAE.因?yàn)镻A平面ABCD,CD平面ABCD,所以PACD而PA,AE是平面PAE內(nèi)的兩條相交直線,所以CD平面PAE.(2)過點(diǎn)B作BGCD,分別與AE,AD相交于點(diǎn)F,G,連結(jié)PF.由(1)CD平面PAE知,BG平面PAE.于是BPF為直線PB與平面PAE所成的角,且BGAE.由PA平面ABCD知,PBA為直線PB與平面ABCD所成的角由題意PBABPF,因?yàn)閟inPBA,sinBPF,所以PABF.由DABABC90知,ADBC又BGCD,所以四邊形BCDG是平行四邊形故GDBC3,于是AG2.在RtBAG中,AB4,AG2,BGAF,所以,.于是PABF.又梯形ABCD
15、的面積為S(53)416,所以四棱錐PABCD的體積為.解法二:如下列圖,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AD,AP所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)PAh,那么相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)為:A(0,0,0),B(4,0,0),C(4,3,0),D(0,5,0),E(2,4,0),P(0,0,h)(1)易知(4,2,0),(2,4,0),(0,0,h)因?yàn)?800,0,所以CDAE,CDAP,而AP,AE是平面PAE內(nèi)的兩條相交直線,所以CD平面PAE.(2)由題設(shè)和(1)知,分別是平面PAE,平面ABCD的法向量而PB與平面PAE所成的角和PB與平面ABCD所成的角相等,所以,即.由(1)知,(4
16、,2,0),(0,0,h)又(4,0,h),故.解得.又梯形ABCD的面積為S(53)416,所以四棱錐PABCD的體積為.19解:(1)對(duì)任意nN*,三個(gè)數(shù)A(n),B(n),C(n)是等差數(shù)列,所以B(n)A(n)C(n)B(n),即an1a1an2a2,亦即an2an1a2a14.故數(shù)列an 是首項(xiàng)為1,公差為4的等差數(shù)列于是an1(n1)44n3.(2)必要性:假設(shè)數(shù)列an是公比為q的等比數(shù)列,那么對(duì)任意nN*,有an1anq.由an0知,A(n),B(n),C(n)均大于0,于是,即.所以三個(gè)數(shù)A(n),B(n),C(n)組成公比為q的等比數(shù)列充分性:假設(shè)對(duì)任意nN*,三個(gè)數(shù)A(n)
17、,B(n),C(n)組成公比為q的等比數(shù)列,那么B(n)qA(n),C(n)qB(n)于是C(n)B(n)qB(n)A(n),得an2a2q(an1a1),即an2qan1a2qa1.由n1有B(1)qA(1),即a2qa1,從而an2qan10.因?yàn)閍n0,所以.故數(shù)列an是首項(xiàng)為a1,公比為q的等比數(shù)列綜上所述,數(shù)列an是公比為q的等比數(shù)列的充分必要條件是:對(duì)任意nN*,三個(gè)數(shù)A(n),B(n),C(n)組成公比為q的等比數(shù)列20解:(1)設(shè)完成A,B,C三種部件的生產(chǎn)任務(wù)需要的時(shí)間(單位:天)分別為T1(x),T2(x),T3(x),由題設(shè)有,其中x,kx,200(1k)x均為1到200
18、之間的正整數(shù)(2)完成訂單任務(wù)的時(shí)間為f(x)maxT1(x),T2(x),T3(x),其定義域?yàn)閤|0 x,xN*易知,T1(x),T2(x)為減函數(shù),T3(x)為增函數(shù)注意到T2(x)T1(x),于是當(dāng)k2時(shí),T1(x)T2(x),此時(shí)f(x)maxT1(x),T3(x)max由函數(shù)T1(x),T3(x)的單調(diào)性知,當(dāng)時(shí)f(x)取得最小值,解得.由于,而f(44)T1(44),f(45)T3(45),f(44)f(45)故當(dāng)x44時(shí)完成訂單任務(wù)的時(shí)間最短,且最短時(shí)間為f(44).當(dāng)k2時(shí),T1(x)T2(x),由于k為正整數(shù),故k3,此時(shí).記,(x)maxT1(x),T(x),易知T(x)
19、是增函數(shù),那么f(x)maxT1(x),T3(x)maxT1(x),T(x)(x)max由函數(shù)T1(x),T(x)的單調(diào)性知,當(dāng)時(shí)(x)取最小值,解得.由于,而(36)T1(36),(37)T(37).此時(shí)完成訂單任務(wù)的最短時(shí)間大于.當(dāng)k2時(shí),T1(x)T2(x),由于k為正整數(shù),故k1,此時(shí)f(x)maxT2(x),T3(x)max由函數(shù)T2(x),T3(x)的單調(diào)性知,當(dāng)時(shí)f(x)取最小值,解得,類似的討論,此時(shí)完成訂單任務(wù)的最短時(shí)間為,大于.綜上所述,當(dāng)k2時(shí),完成訂單任務(wù)的時(shí)間最短,此時(shí),生產(chǎn)A,B,C三種部件的人數(shù)分別為44,88,68.21解:(1)方法一:設(shè)M的坐標(biāo)為(x,y),
20、由得.易知圓C2上的點(diǎn)位于直線x2的右側(cè),于是x20,所以.化簡得曲線C1的方程為y220 x.方法二:由題設(shè)知,曲線C1上任意一點(diǎn)M到圓C2圓心(5,0)的距離等于它到直線x5的距離因此,曲線C1是以(5,0)為焦點(diǎn),直線x5為準(zhǔn)線的拋物線故其方程為y220 x.(2)當(dāng)點(diǎn)P在直線x4上運(yùn)動(dòng)時(shí),P的坐標(biāo)為(4,y0)又y03,那么過P且與圓C2相切的直線的斜率k存在且不為0,每條切線都與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn),切線方程為yy0k(x4),即kxyy04k0.于是.整理得72k218y0ky0290.設(shè)過P所作的兩條切線PA,PC的斜率分別為k1,k2,那么k1,k2是方程的兩個(gè)實(shí)根故.由得k1y220y20(y04k1)0.設(shè)四點(diǎn)A,B
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