二、單擺、受迫振動(dòng)與共振

1、二、單擺、受迫振動(dòng)與共振基礎(chǔ)知識梳理(_)單擺 1裝置：懸掛小球的細(xì)線的伸縮量和質(zhì)量可以忽略，線長又比球的直徑大得多。做簡諧運(yùn)動(dòng)的條件：最大擺角eio?；貜?fù)力：回復(fù)力由重力的切向分力來提供，大小為F =-罕x，不能說成是重力和拉力的合力。在平衡位置振子所受回復(fù)力是零，但合力不為零，方向指向懸點(diǎn)，作為圓運(yùn)動(dòng)的向心力。 單擺的周期：T二2兀(與單擺的振幅、擺球的質(zhì)量無關(guān))g小球在光滑圓弧上的往復(fù)滾動(dòng)，和單擺完全等同，只要擺角足夠小，這個(gè)振動(dòng)就是簡諧運(yùn)動(dòng)，這時(shí) 周期公式中的l應(yīng)該是圓弧半徑R。(二)受迫振動(dòng)與共振1受迫振動(dòng)：馳動(dòng)力的頻率含義：物體在驅(qū)動(dòng)力(既周期性外力)作用下的振動(dòng)叫受迫振動(dòng)馳動(dòng)力的

2、頻率特點(diǎn)：物體做受迫振動(dòng)的頻率等于驅(qū)動(dòng)力的頻率，與物體的固有 頻率無關(guān)。2共振( 1)共振曲線及特點(diǎn)當(dāng)驅(qū)動(dòng)力的頻率跟物體的固有頻率相等時(shí)，受迫振動(dòng)的振幅最大，這種現(xiàn)象叫共振。物體做受迫振動(dòng)的振幅由驅(qū)動(dòng)力頻率和物體的固有頻率共同決定：兩者越接近，受迫振動(dòng)的 振幅越大，兩者相差越大受迫振動(dòng)的振幅越小產(chǎn)生某一振幅可能有兩個(gè)不同的驅(qū)動(dòng)力頻率共振的利用和防止利用共振的有：共振篩、轉(zhuǎn)速計(jì)、微波爐、打夯機(jī)、跳板跳水、打秋千防止共振的有：機(jī)床底座、航海、軍隊(duì)過橋、高層建筑、火車車廂方法指導(dǎo)1 等效單擺周期的求解在有些振動(dòng)系統(tǒng)中l(wèi)不一定是繩長，g也不一定為9.8 m/s2,因此出現(xiàn)了等效擺長和等效重力 加速度的

3、問題.(1)等效擺長：在振動(dòng)平面內(nèi)物體重心到旋轉(zhuǎn)中心的距離. 例1求出下述兩種情況的振動(dòng)周期23.若擺球做垂直紙面的小角在甲圖中，三根等長的繩I, l2、13共同系住一密度均勻的小球m,球直徑為d, l2、123.若擺球做垂直紙面的小角夾角a mB，下一次碰撞發(fā)生在平衡位置右側(cè)B .如果m：mB，下一次碰撞發(fā)生在平衡位置左側(cè)C .無論兩球的質(zhì)量之比是多少，下一次碰撞都不可能在平衡位置右側(cè)D .無論兩球的質(zhì)量之比是多少，下一次碰撞都不可能在平衡位置左側(cè)解析：此題易迷惑之處是：A、B選項(xiàng)雖然給了兩者質(zhì)量關(guān)系，但沒有給出兩球相碰的性質(zhì)，所以兩者碰后可能 A 停下來， B 向右擺；也可能一起向右擺；也

4、可能分開，再次相碰 相碰點(diǎn)在哪兒？尤其是一起向右擺的情況下，會(huì)在平衡位置右側(cè)相碰嗎？會(huì)出現(xiàn)一個(gè)球已經(jīng)從右側(cè) 最高點(diǎn)返回，而另一球還向右側(cè)最高點(diǎn)運(yùn)動(dòng)嗎？L由于單擺振動(dòng)周期T二2兀:-與擺球質(zhì)量無關(guān)，而兩個(gè)單擺擺長相等，所以周期相同，兩球相碰 后有這幾種可能:碰后兩球速度方向相反,這樣兩球各自到達(dá)最高點(diǎn)再返回到平衡位置所用的時(shí)間 相等，故兩球只能在平衡位置相遇；碰后兩球向同一方向運(yùn)動(dòng)，則每個(gè)球都先到達(dá)最大位移處然后 返回平衡位置，所用的時(shí)間也都是半個(gè)周期，兩球仍只能在平衡位置相遇;碰后一球靜止，而另一球 運(yùn)動(dòng),貝該球先到最大位移又返回到平衡位置,所用時(shí)間還是半個(gè)周期,在平衡位置相遇.因此，不管m

5、m，還是m Vm還是m =m，無論擺球質(zhì)量之比為多少，下一次碰撞都只能發(fā)A BA BA B生在平衡位置，也就是說不可能發(fā)生在平衡位置的右側(cè)或左側(cè)，所以選項(xiàng)C、D正確。會(huì)用共振曲線處理有關(guān)問題例 5.如圖所示為一單擺的共振曲線，貝該單擺的擺長約為多少？共振時(shí)擺球的最大速度大小 是多少？ （g取10m/s2）000i25 0.5 0.7解解解析：這是一道共振曲線所給信息和單擺振動(dòng)規(guī)律進(jìn)行推理和綜合分析的題目。由題意知，當(dāng)單擺 共振時(shí)頻率 f=0.5Hz,即 f = 0.5Hz，振幅 A=8cm=0.08m.固由 T = 2兀：得 L = 1.0mg4兀 2 f2根據(jù)機(jī)械能守恒定律可得：mV 2 =

6、 mgh ,2 mmhA由圖（解）可得如下幾何關(guān)系：越=Z解得 V = A= 0.25m / s.m L感悟高考1（06 天津）一單擺做小角度擺動(dòng)，其振動(dòng)圖象如圖，以下說法正確的是ABCt ABC1t 時(shí)刻擺球速度為零，懸線對它的拉力最小2t 時(shí)刻擺球速度為零，懸線對它的拉力最大3D t 時(shí)刻擺球速度最大，懸線對它的拉力最大4答案:D（2001年全國）細(xì)長輕繩下端拴一小球構(gòu)成單擺，在懸掛點(diǎn)正下方1擺長處有一個(gè)能擋住擺2線的釘子A,如圖所示現(xiàn)將單擺向左方拉開一個(gè)小角度，然后無初速地釋放，對于以 吐 TOC o 1-5 h z 后的運(yùn)動(dòng)，下列說法中正確的是（）/擺球往返運(yùn)動(dòng)一次的周期比無釘子時(shí)的單

7、擺周期小L擺球在左、右兩側(cè)上升的最大高度一樣擺球在平衡位置左右兩側(cè)走過的最大弧長相等/ :擺線在平衡位置右側(cè)的最大擺角是左側(cè)的兩倍iT解析：由T=2n：- 知, l減小，T減小擺球擺至右側(cè)時(shí)，擺長減小，周期變小，故對；因擺動(dòng)中機(jī)械 g能守恒，故左、右兩側(cè)上升的最大高度相同，即選對；另由幾何知識知，擺球向右擺的最大偏角小于 左側(cè)最大偏角的兩倍，故左、右兩側(cè)走過的最大弧長不相等,C故D錯(cuò).答案： AB3（06 廣東）鋪設(shè)鐵軌時(shí)，每兩根鋼軌接縫處都必須留有一定的間隙，勻速運(yùn)行列車經(jīng)過軌端接縫 處時(shí)，車輪就會(huì)受到一次沖擊。由于每一根鋼軌長度相等，所以這個(gè)沖擊力是周期性的，列車受到 周期性的沖擊做受迫振

8、動(dòng)。普通鋼軌長為12.6m,列車固有振動(dòng)周期為0.315s。下列說法正確的是列車的危險(xiǎn)速率為40m / s列車過橋需要減速，是為了防止列車發(fā)生共振現(xiàn)象列車運(yùn)行的振動(dòng)頻率和列車的固有頻率總是相等的增加鋼軌的長度有利于列車高速運(yùn)行解析：共振的條件是驅(qū)動(dòng)力的頻率等于系統(tǒng)的固有頻率，由T =-可求出危險(xiǎn)車速為40m/s，故v選項(xiàng)A正確。列車過橋需要減速，是為了防止橋與火車發(fā)生共振現(xiàn)象，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤。 答案： AD 4. （06北京）某同學(xué)看到一只鳥落在樹枝上的P處，樹枝在10s內(nèi)上下振動(dòng)了 6次，鳥飛走后，他把50g的砝碼掛在P處，發(fā)現(xiàn)樹枝在10s內(nèi)上下振動(dòng)了 12次. 將50g的砝碼換成500g砝碼

9、后，他發(fā)現(xiàn)樹枝在15s內(nèi)上下振動(dòng) 了 6 次，你估計(jì)鳥的質(zhì)量最接近 （）50gB.200gC.500gD.550g解析：由題中的信息可知，鳥、50g的砝碼和500g的砝碼三者引起的頻率分別為0.6H、1.2H和0.4H，顯然質(zhì)量越大，振動(dòng)的頻率就越小，鳥引起的振動(dòng)的頻 率接近于500g砝碼引起的振動(dòng)的頻率，所以鳥的質(zhì)量應(yīng)接近500g，故答案選Bo答案：B5（06 全國 1）一砝碼和一輕彈簧構(gòu)成彈簧振子，圖1 所示的裝置可用于研究該彈簧振子的受迫振 動(dòng)。勻速轉(zhuǎn)動(dòng)把手時(shí)，曲桿給彈簧振子以驅(qū)動(dòng)力，使振子做受迫振動(dòng)。把手勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的周期就是驅(qū) 動(dòng)力的周期，改變把手勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的速度就可以改變驅(qū)動(dòng)力的周期。若

10、保持把手不動(dòng)，給砝碼一向下 的初速度，砝碼便做簡諧運(yùn)動(dòng)，振動(dòng)圖線如圖2所示。當(dāng)把手以某一速度勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，受迫振動(dòng)達(dá)到 穩(wěn)定時(shí)，砝碼的振動(dòng)圖線如圖3所示。若用T表示彈簧振子的固有周期，T表示驅(qū)動(dòng)力的周期，Y 表示受迫振動(dòng)達(dá)到穩(wěn)定后砝碼振動(dòng)的振幅，則由圖線可知 T=4s由圖線可知 T=8s0當(dāng)T在4s附近時(shí)，Y顯著增大；當(dāng)T比4s小得多或大得多時(shí)，Y很小當(dāng)T在8s附近時(shí)，Y顯著增大；當(dāng)T比8s小得多或大得多時(shí)，Y很小圖1圖1答案：AC闖關(guān)訓(xùn)練答案：AC闖關(guān)訓(xùn)練1擺長為 L 的單擺做簡諧振動(dòng)，若從某時(shí)刻開始計(jì)時(shí)，（取作 t=0），當(dāng)振動(dòng)至t二斗:L時(shí),2計(jì)g3兀 丨L3 ”3 _解析：從t=0時(shí)經(jīng)過t

11、二，:時(shí)間，這段時(shí)間為T,經(jīng)過 T擺球具有負(fù)向最大速度，說明2 g44擺球在平衡位置，在給出的四個(gè)圖象中，經(jīng)過T具有最大速度的有C、D兩圖，而具有負(fù)向最大速 4度的只有Do所以選項(xiàng)D正確。2如圖所示，三根細(xì)線OA, 0B,0C結(jié)于0點(diǎn)，A,B端固定在同一水平面上且相距為L,使AOB 成一直角三角形，ZBA0 = 30。，已知0C繩長也為L,下端C點(diǎn)系一個(gè)可視為質(zhì)點(diǎn)的小球，下面說法 中正確的是（ ）AT當(dāng)小球在紙面內(nèi)做小角度振動(dòng)時(shí)，周期為：T二叭-B當(dāng)小球在垂直紙面方向做小角度振動(dòng)時(shí)周期為廣=弋C當(dāng)小球在紙面內(nèi)做小角度振動(dòng)時(shí)周期為廠=弋D當(dāng)小球在垂直紙面內(nèi)做小角度振動(dòng)時(shí)周期為裂I解析：當(dāng)小球在紙

12、面內(nèi)做簡諧振動(dòng)時(shí)，是以0點(diǎn)為圓心,0C長AT當(dāng)小球在紙面內(nèi)做小角度振動(dòng)時(shí)，周期為：T二叭-B當(dāng)小球在垂直紙面方向做小角度振動(dòng)時(shí)周期為廣=弋C當(dāng)小球在紙面內(nèi)做小角度振動(dòng)時(shí)周期為廠=弋D當(dāng)小球在垂直紙面內(nèi)做小角度振動(dòng)時(shí)周期為裂I沒有松弛，其擺長為L,所以周期是T二2兀，：；當(dāng)小球在垂直于紙面的方向上做簡諧振動(dòng)時(shí)，擺球 U是以0C的延長線與AB交點(diǎn)為圓心做振動(dòng)，其等效的擺長為L十Lsin6Oo/2=L十爲(wèi)L/4 ,其周期為T/ = 2匸：,故選A.4 g如圖所示，將小球甲、乙、丙（都可視為質(zhì)點(diǎn)）分別從A、B、C三點(diǎn)由靜止同時(shí)釋放，最后 都到達(dá)豎直面內(nèi)圓弧的最低點(diǎn)D,其中甲是從圓心A出發(fā)做自由落體運(yùn)動(dòng)

13、，乙沿弦軌道從B點(diǎn)（與圓心等高）運(yùn)動(dòng)到D,丙是從圓弧上的C點(diǎn)沿圓弧下滑到C點(diǎn)且C點(diǎn)很靠近D點(diǎn)。如果忽略一切摩擦阻力，那么下列判斷正確的是 （）甲球最先到達(dá)D點(diǎn)，乙球最后到達(dá)D點(diǎn)甲球最先到達(dá)D點(diǎn)，丙球最后到達(dá)D點(diǎn)丙球最先到達(dá)D點(diǎn)，乙球最后到達(dá)D點(diǎn)解析：甲球到達(dá)D點(diǎn)所需時(shí)間訂.2R乙球到達(dá)D點(diǎn)所需時(shí)間t乙：2 解析：甲球到達(dá)D點(diǎn)所需時(shí)間訂.2R乙球到達(dá)D點(diǎn)所需時(shí)間t乙：2 BDa丙球到達(dá) D 點(diǎn)所需時(shí)間 t丙顯然t甲t丙t 乙，選項(xiàng)A正確。甲丙乙答案： A一只單擺在第一行星表面上的周期為人，在第二行星表面上的周期為T2,若這兩個(gè)行星的質(zhì) 量之比M : M=4 ： 1,半徑之比R : R=2 : 1

14、，則（ ）1 2 1 2A.T : T=1 ： 1 B.T : T =4 ： 1 C.T : T =2 ： 1 D.T : T =2 2 : 11 2 1 2 1 2 1 2GM解析：由萬有引力定律得g =11 R 21GMg 二2g2R 22由單擺的周期公式得T由單擺的周期公式得Ti=2nlT=2nlT=2n2 g 2由得T1 : T2=1 : 1.答案：A 12某行星質(zhì)量是地球質(zhì)量的一半 振動(dòng)頻率是它在地球上振動(dòng)頻率的（該行星半徑又是地球半徑的一半，則一個(gè)單擺在這個(gè)行星的 ）A.2倍C.4 A.2倍C.4 倍D.1/4 倍解析：由 mg=GMm/R解析：由 mg=GMm/R2 有11C1）

15、2 = 122由T=2由T=2h ：g可知而f=1/T,故正確選項(xiàng)為B.A.BA.BCD自己蕩秋千想蕩高一些，必須在兩側(cè)最高點(diǎn)提高重心，增加勢能，上述說法中正確的是A 解析：秋千近似為單擺，其周期、頻率由擺長l和當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣葲Q定，與質(zhì)量無關(guān)，故知A錯(cuò); 具有向下的加速度時(shí)處于失重狀態(tài)，而在最低點(diǎn)具有向上的向心加速度，故 B 錯(cuò)；最低點(diǎn)繩子承受 的拉力最大，故在最低點(diǎn)易斷，故C對；在最高點(diǎn)提高重心，可使體內(nèi)化學(xué)能轉(zhuǎn)化為機(jī)械能（勢能）, 可蕩得高一些，可見D亦正確.答案： CD若它們均在頻率為 3f 的驅(qū)動(dòng)7. A、B兩個(gè)彈簧振子，A的固有頻率為f，B的固有頻率為4f, 若它們均在頻率為 3f

16、 的驅(qū)動(dòng)振動(dòng)頻率為 3f振動(dòng)頻率為 4fA振子A的振幅較大，振動(dòng)頻率為fB振動(dòng)頻率為 3f振動(dòng)頻率為 4fC振子A的振幅較大，振動(dòng)頻率為3fD振子B的振幅較大， 解析：物體做受迫振動(dòng)的頻率等于驅(qū)動(dòng)力的頻率，故A、B兩振子的振動(dòng)頻率都為3f.由于B的固有 頻率接近于驅(qū)動(dòng)力的頻率，故B振子振幅較大即選項(xiàng)B正確.答案： B8如圖所示，在一根張緊的水平繩上，懸掛有a、b、c、d、e五個(gè)單擺，讓a擺略偏離平衡位 置后無初速釋放，在垂直紙面的平面內(nèi)振動(dòng)；接著其余各擺也開始振動(dòng)。下列說法中正確的有（： ）A.各擺的振動(dòng)周期與a擺相同各擺的振幅大小不同，c擺的振幅最大各擺的振動(dòng)周期不同，c擺的周期最長各擺均做

17、自由振動(dòng)解析：a擺做的是自由振動(dòng)，周期就等于a擺的固有周期，其余各擺均做受迫振動(dòng)，所以振動(dòng)周期 均與a擺相同。c擺與a擺的擺長相同，所以c擺所受驅(qū)動(dòng)力的頻率與其固有頻率相等，這樣c 擺產(chǎn)生共振，故c擺的振幅最大。此題正確答案為 A、B。把一個(gè)篩子用四根彈簧支起來，篩子上裝一個(gè)電動(dòng)偏心輪，它每轉(zhuǎn)一周，給篩子一個(gè)驅(qū)動(dòng)力， 這就做成了一個(gè)共振篩。不開電動(dòng)機(jī)讓這個(gè)篩子自由振動(dòng)時(shí)，完成20次全振動(dòng)用15s；在某電壓下， 電動(dòng)偏心輪的轉(zhuǎn)速是88r/min。已知增大電動(dòng)偏心輪的電壓可以使其轉(zhuǎn)速提高，而增加篩子的總質(zhì) 量可以增大篩子的固有周期。為使共振篩的振幅增大，以下做法正確的是（ ）A.降低輸入電壓B.提

18、高輸入電壓C.增加篩子質(zhì)量D.減小篩子質(zhì)量解析：篩子的固有頻率為f固=4/3Hz，而當(dāng)時(shí)的驅(qū)動(dòng)力頻率為f驅(qū)=88/60Hz，即f固 f驅(qū)。為了 達(dá)到振幅增大，應(yīng)該減小這兩個(gè)頻率差，所以應(yīng)該增大固有頻率或減小驅(qū)動(dòng)力頻率。本題應(yīng)選AD。將一個(gè)力電傳感器接到計(jì)算機(jī)上，可以測量快速變化的力。用這種方法測得的某單擺擺動(dòng)過程中懸線上拉力大小隨時(shí)間變化的曲線如右圖所示。由此圖線提供的信息做出的判斷正確的是：A.t = 0.2s時(shí)刻擺球正經(jīng)過最低點(diǎn);B.t = 1.1s時(shí)擺球正處于最高點(diǎn);C.擺球擺動(dòng)過程中機(jī)械能時(shí)而增大時(shí)而減??；D.擺球擺動(dòng)的周期約是T = 0.6sA.t = 0.2s時(shí)刻擺球正經(jīng)過最低點(diǎn);B.t = 1.1s時(shí)擺球正處于最高點(diǎn);C.擺球擺動(dòng)過程中機(jī)械能時(shí)而增大時(shí)而減小；D.擺球擺動(dòng)的周期約是T = 0.6s。上述判斷中是懸解析：注意這是懸線上的拉力圖象，而不是振動(dòng)圖象。球到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，懸線上的拉力最??；當(dāng)擺球到達(dá)最低點(diǎn)時(shí)，懸線上的拉力