衍射的角譜理論

1、 2.2 衍射的角譜理論2.2.1 單色平面波與本征函數(shù)在 z=0 平面上的復(fù)振幅分布為： 在 z=z0 平面上的復(fù)振幅分布為： 可見，單色平面波從 z=0 平面?zhèn)鞑サ?z=z0 平面上，其在x-y平面上的相位分布不變，只是整體發(fā)生一個(gè)相移: 這說(shuō)明，相干光場(chǎng)在給定兩平面間的傳播相當(dāng)于通過(guò)一個(gè)線性空間平移不變系統(tǒng)，單色平面波的復(fù)振幅分布是這個(gè)系統(tǒng)的本征函數(shù)。而正好是線性平移不變系統(tǒng)的本征函數(shù)。 一定空間頻率對(duì)應(yīng)一定的空間傳播方向，不同空間頻率對(duì)應(yīng)不同的空間傳播方向。 用傳播角度表示空間頻譜角譜。 2.2.2 角譜的傳播孔徑平面觀察平面設(shè)標(biāo)量光波函數(shù)用u(x,y,z;t)表示, 則波動(dòng)方程為:對(duì)

2、于單色光場(chǎng), 有以下形式: u(x,y,z;t)=U(x,y,z)exp(jt)(B)式 它與時(shí)間量無(wú)關(guān), 是無(wú)源各向同性均勻介質(zhì)中傳播的單色光場(chǎng)的復(fù)振幅必須滿足的波動(dòng)方程. 對(duì)單色光場(chǎng), 該式與(B)式是等價(jià)的. 在求解單色光場(chǎng)的空間分布時(shí), 用亥姆霍茲方程更方便.代入上式, 得:(C)式該式稱為亥姆霍茲方程. 真空或空氣中, k = 2 / = 2/c , 稱為波數(shù). 也就是要考慮角譜是如何從z=0平面?zhèn)鞑サ絲=z平面的。即:研究角譜在傳播過(guò)程中振幅和相位的變化。 現(xiàn)在要考慮:之間的關(guān)系，與Uz(x,y;z) 必須滿足亥姆霍茲方程下面將Uz(x,y;z) 代入方程求解，可得到:Uz(x,y

3、;z)是下列分量的線性疊加，各分量之間構(gòu)成正交系，因此每一分量也必須滿足亥姆霍茲方程代入到亥姆霍茲方程得： 注意到角譜僅是z的函數(shù)，而復(fù)指數(shù)函數(shù)中不含有z，僅是x,y的函數(shù)，從而可得角譜所滿足的微分方程：它的一個(gè)基本解(另一個(gè)解是倒退波, 此處不予討論)是:由初始條件得：所以得到：該式給出了兩個(gè)平行平面之間的角譜傳播規(guī)律。 此式表明：已知z0平面上角譜后，利用上式可求出它傳播到z平面上的角譜. 再由IFT，即可求得其光場(chǎng)分布。 討論： 對(duì)于某一確定的(,), 該式表示沿空間某一確定方向傳播的平面波. 當(dāng)(,)取不同值時(shí), 該式表示光場(chǎng)中各個(gè)角譜分量的傳播情況. (1) 當(dāng) 時(shí),是實(shí)數(shù).該式說(shuō)明

4、: 經(jīng)過(guò) z 距離的傳播, 光場(chǎng)中各個(gè)平面波分量的振幅不變，只是改變了各自的相對(duì)相位. 由于各個(gè)平面波分量沿不同方向傳播，它們到達(dá)給定平面所經(jīng)過(guò)的距離不同, 相位改變也不同?；蛘哒f(shuō)相位改變量與空間頻率(或傳播方向)有關(guān)。(2) 當(dāng) 時(shí)隨 z 的增大, 迅速衰減，在幾個(gè)波長(zhǎng)的距離幾乎衰減為0。這些方向上的波動(dòng)分量稱為倏逝波。在標(biāo)量衍射近似條件下，可忽略不計(jì)。(3) 當(dāng) 時(shí),垂直于z軸，在z軸方向上的凈能流為0，對(duì)角譜傳播無(wú)貢獻(xiàn)因?yàn)?所以:Az(u,v)和A0(u,v)分別看成是線性不變系統(tǒng)輸出函數(shù)和輸入函數(shù)的頻譜，傳遞函數(shù)為： uv1 它表明，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)相當(dāng)于一個(gè)低通濾波器，具有有限的帶寬，

5、其截止頻率為1/。在頻域平面上，這個(gè)濾波器相當(dāng)于半徑為1/的圓孔區(qū)域。 頻率小于1/，模為1，對(duì)各種頻率成分的振幅無(wú)影響，但要引入與頻率有關(guān)的相移。頻率大于1/，被截止。光波衍射傳播過(guò)程是一個(gè)低頻濾波過(guò)程。 從空域中來(lái)看，比波長(zhǎng)還小的精細(xì)結(jié)構(gòu)信息，或者說(shuō)空間頻率高于1/的信息成分，在波長(zhǎng)為的單色平面光波照明下，不能沿z方向向前傳播。 d sinq = nl for d lNo diffraction when d l. Information not transferred to plane P1.2.2.3 孔徑對(duì)角譜的作用（影響）衍射屏、衍射屏的復(fù)振幅透過(guò)率(或反射率）1 衍射屏及其復(fù)振幅

6、透過(guò)率(或反射率） 衍射屏：只要能以某種方式對(duì)入射光波的波面進(jìn)行調(diào)制（包括振幅調(diào)制，相位調(diào)制等）,就可稱之為衍射屏。 衍射屏的復(fù)振幅透過(guò)率（反射率）: 衍射屏對(duì)入射光波調(diào)制作用的數(shù)學(xué)描述, 它是描述衍射屏宏觀光學(xué)性質(zhì)的函數(shù). 可用t(x,y)或r(x,y)表示.Uin(x,y)Uout(x,y)t(x,y)或t(x,y) 可實(shí)可復(fù)，一般可表示為:t(x,y) = A(x,y) expj(x,y)A(x,y) 是振幅透過(guò)率, (x,y)是相位透過(guò)率 當(dāng)(x,y)= 常數(shù), 但A(x,y) 常數(shù)時(shí), 只對(duì)入射光波的振幅進(jìn)行調(diào)制，稱之為振幅型的。 當(dāng)A(x,y) = 常數(shù), 但(x,y) 常數(shù)時(shí),

7、只對(duì)入射光波的相位進(jìn)行調(diào)制，稱之為相位型的。 當(dāng)A(x,y) 常數(shù), 且(x,y) 常數(shù)時(shí), 對(duì)入射光波的振幅和相位都進(jìn)行調(diào)制，稱之為復(fù)合型的。 如：1）光學(xué)均勻的平面平行玻璃板相位型2）非平行平面玻璃板，或非光學(xué)均勻的平行平面玻璃 板 相位型3）各種不透明屏上的開孔 振幅型 （以前講過(guò)的單縫、雙縫、矩孔、圓孔、光柵）4）圖像透過(guò)率片 振幅型，相位型，或復(fù)合型5）空間光調(diào)制器（SLM） 振幅型，相位型，或復(fù)合型2 衍射屏對(duì)角譜傳播的影響 空間受限的衍射屏，展寬了入射光波的角譜。空間受限越厲害，角譜展寬越大。卷積運(yùn)算的展寬效應(yīng)，導(dǎo)致：衍射屏的引入使入射光波的角譜(空間頻譜）展寬。在出射光波中除了

8、包含與入射光波相同方向傳播的分量之外，還增加了一些與入射光波傳播方向不同的平面波分量，即增加了一些高空間頻率的平面波成分，這就是衍射波。對(duì)于用單位振幅的平面波垂直入射的情況: 出射光波的角譜等于衍射屏的角譜，大大展寬了?？沼蛑锌臻g上的限制，導(dǎo)致頻域頻譜的展寬。作業(yè)：（1）尺寸為ab的不透明矩形屏被波長(zhǎng)為單位振幅的單色平面波垂直照明，求出緊靠屏后平面上透射光場(chǎng)的角譜。 （2）波長(zhǎng)為的單位振幅平面波垂直入射到一孔徑平面上，孔徑振幅透過(guò)率為t(x0)=0.51+cos2x0/(3 ), 求緊靠孔徑透射場(chǎng)的角譜。第一章習(xí)題解答1.2 證明證：n為奇數(shù)01.4 計(jì)算下面兩個(gè)函數(shù)的一維卷積解：（1）改變量（2）折疊（3）位移當(dāng)（3）位移當(dāng)相乘、積分得卷積 如圖當(dāng)如圖相乘、積分得卷積 0其它1.5 計(jì)算下列一維卷積解（1）21210其它0其它=2=1.6 已知的傅里葉變換為試求解：利用傅里葉變換的坐標(biāo)縮放性質(zhì)可求得答案1.7 計(jì)算積分解：利用廣義巴塞伐定理求解1.8應(yīng)用卷積定理求的傅里葉變換解：111111-11/20其它1.9 設(shè)求解：1.10設(shè)線性平移不變系統(tǒng)的原點(diǎn)響應(yīng)為試計(jì)算系統(tǒng)對(duì)階躍函數(shù)step(x)的響應(yīng)。解：（1）、將f (x)和h (x)變?yōu)閒 ()和h ()，并畫出相應(yīng)的曲線（2）、將h() h(-)只要將h()曲線相對(duì)縱軸折疊便