立體幾何中最值

1、.立體幾何最值問題姓名立體幾何主要研究空間中點(diǎn)、線、面之間的地點(diǎn)關(guān)系，與空間圖形相關(guān)的線段、角、體積等最值問題常常在試題中出現(xiàn)。下邊舉例說明解決這種問題的常用方法。一、運(yùn)用變量的相對性求最值例1.在正四棱錐S-ABCD中，SO平面ABCD于O，SO=2，底面邊長為2，點(diǎn)P、Q分別在線段BD、SC上挪動，則P、Q兩點(diǎn)的最短距離為（）A.5B.25C.2D.155二、定性剖析法求最值例2.已知平面/平面，AB和CD是夾在平面、之間的兩條線段。ABCD，AB=3，直線AB與平面成30角，則線段CD的長的最小值為。三、展成平面求最值例3.如圖3-1，四周體A-BCD的各面都是銳角三角形，且AB=CD=

2、a，Word文檔.AC=BD=b，AD=BC=c。平面分別截棱AB、BC、CD、DA于點(diǎn)P、Q、R、S，則四邊形PQRS的周長的最小值是（）D.a+b+c3-1四、利用向量求最值4.在棱長為1的體ABCD-EFGH中，P是AF上的動點(diǎn)，則GP+PB的最小值為。一、線段長度最短或截面周長最小問題1.正三棱柱ABCA1B1C1中，各棱長均為2，M為AA1中點(diǎn)，N為BC的中點(diǎn)，則在棱柱的表面上從點(diǎn)M到點(diǎn)N的最短距離是多少?并求之.2.如圖，形ABCD、ABEF的邊長都是1,并且平面ABCD、ABEF相互垂直。點(diǎn)M在AC上挪動，點(diǎn)N在BF上挪動，若CM=BN=a(0a2).（1）求MN的長；（2）當(dāng)a

3、為什么值時，MN的長最??；（3）當(dāng)MN長最小時，求面MNA與面Word文檔.MNB所成的二面角的大小。例3.如圖，邊長均為a的形ABCD、ABEF所在的平面所成的角為(0)。點(diǎn)2M在AC上，點(diǎn)N在BF上，若AM=FN,(1)求證:MN/面BCE;(2)求證:MNAB;(3)求MN的最小值.4.形ABCD、ABEF的邊長都是1,并且平面ABCD、ABEF相互垂直。點(diǎn)M在AC上挪動，點(diǎn)N在BF上挪動，若CM=x,BN=y,(0 x,y2).（1）求MN的長(用x,y表示)；（2）求MN長的最小值，該最小值是不是異面直線AC，BF之間的距離。例5.如圖，在ABC中，ACB90，BCa,ACb,D是斜

4、邊AB上的點(diǎn)，以CDWord文檔.為棱把它折成直二面角ACDB后，D在如何的地點(diǎn)時，AB為最小，最小值是多少?6.正三棱錐A-BCD，底面邊長為a，側(cè)棱為2a，過點(diǎn)B作與側(cè)棱AC、AD相交的截面，在這樣的截面三角形中，求(1)周長的最小值；(2)周長為最小時截面積的值，(3)用這周長最小時的截面截得的小三棱錐的體積與三棱錐體積之比.二、面積最值問題7.如圖1所示，邊長AC3，BC4，AB5的三角形簡略遮陽棚，其A、B是地面上南北方向兩個定點(diǎn)，正西方向射出的太線與地面成30角，試問：遮陽棚ABC與地面成多大角度時，才能保證所遮影面ABD面積最大?Word文檔.例8.在三棱錐ABCD中，ABC和B

5、CD都是邊長為a的正三角形，二面角ABCD，問為什么值時，三棱錐的全面積最大。例9、一個圓錐軸截面的頂角為1200，母線為1，過極點(diǎn)作圓錐的截面中，最大截面面積為。例10、圓柱軸截面的周長L為定值，求圓柱側(cè)面積的最大值。Word文檔.例11、在棱長為1的體ABCDABCD中，若G、E分別D1EC1是BB、CD的中點(diǎn)，點(diǎn)F是形ADDA的中心。則四邊形11111A1B1BGEF在體側(cè)面及底面共6個面的射影圖形面積的最大值FGDC是。AB三、體積最值問題例12.如圖，過半徑為R的球面上一點(diǎn)P作三條兩兩垂直的弦PA、PB、PC，(1)求證：PA2+PB2+PC2為定值；(2)求三棱錐PABC的體積的最

6、大值.Word文檔.評析：定值問題可用特別狀況先“探究”，如本題(1)若先考慮PAB是大圓，探究得定值4R2可為(1)的證明指明方向.球面上任一點(diǎn)對球的直徑所的角等于90，這應(yīng)記作很重要的性質(zhì).四、角度最值問題。13.在棱長為1的體ABCDA1B1C1D1中，P是A1B1上的一動點(diǎn)，平面PAD1和平面PBC1與對角面ABC1D1所成的二面角的平面角分別為、，試求+的最大值和最小值.Word文檔.“動向”立體幾何題初探本文所指的“動向”立體幾何題，是指立體幾何題中除了固定不變的的線線、線面、面面關(guān)系外，浸透了一些“動向”的點(diǎn)、線、面元素，給靜態(tài)的立體幾何題給予了活力，題意更新奇，同時，因?yàn)椤皠酉?/p>

7、”的存在，也使立體幾何題更趨靈巧，增強(qiáng)了對學(xué)生空間想象能力的考察。一、截面問題截面問題是立體幾何題中的一類比較常有的題型，因?yàn)榻孛娴摹皠酉颉毙?，使截得的結(jié)果也擁有必定的可變性。例1、已知正三棱柱A1B1C1ABC的底面積為S,高為h,過C點(diǎn)作三棱柱的與底面ABC成角的截面MNC,(0),使MN/AB，求截面的面積。2Word文檔.二、翻折、睜開問題圖形的翻折和睜開必定會惹起部分元素地點(diǎn)關(guān)系的變化，求解這種問題要注意對變化前后線線、線面地點(diǎn)關(guān)系、所成角及距離等加以比較，一般來說，位于棱的雙側(cè)的同一半平面的元素其相對地點(diǎn)關(guān)系和數(shù)目關(guān)系在翻折前后不發(fā)生變化，分別位于兩個半平面的元素其相對關(guān)系和數(shù)目關(guān)

8、系則發(fā)生變化。不變量可結(jié)全原圖型求解，變化了的量應(yīng)在折后立體圖形中來求證。例2、下列圖表示一個體的睜開圖，圖中AB、CD、EF、GH這四條直線在原體中相互異面的有（）A2對B3對C4對D5對CAGBHDEF3、從三棱錐PABC的極點(diǎn)沿著三條側(cè)棱PA、PB、PC剪開，成平面圖形，獲得P1P2P3，且P1P2=P2P3；Word文檔.PABC三、最值問題立體幾何題中常常會波及到角度、距離、面積、體積最大值、最小值的計算，好多狀況下，我們能夠把這種動向問題轉(zhuǎn)變成目標(biāo)函數(shù)，進(jìn)而利用代數(shù)方法求目標(biāo)函數(shù)的最值。例4、（2002年全國高考）如圖，形ABCD、ABEF的邊長都是1，并且平面ABCD、ABEF相

9、互垂直，點(diǎn)M在AC上挪動，點(diǎn)N在BF上挪動，若CM=BN=a，（0a2）.C（）求MN的長；（）當(dāng)a為什么值時，MN的長最??；DMBENOFA例6、圓柱軸截面的周長L為定值，求圓柱側(cè)面積的最大值。Word文檔.四、探究型問題因?yàn)榱Ⅲw幾何題中“動向”性的存在，使有些問題的結(jié)果變得不行確立，探究型問題正好經(jīng)過這種“動向性”和不確立性考察學(xué)生的發(fā)散性思想。例7、已知矩形ABCD，PA平面AC于點(diǎn)A，M，分別是AB、PC的中點(diǎn)，（1）求證MNAB；（2）若平面PDC與平面ABCD所成的二面角為，可否確定，使得直線MN是異面直線AB與PC的公垂線？若能確立，求出的值，若不可以確立，說明原因。PNBAMC

10、HD例8、如圖，ABC是正三角形，AD和CE都平面ABC，且AD=AB=1，CE=1/2，Word文檔.問：可否在線段BD上找到一點(diǎn)F，使AF平面BDE？D五、其余種類E利用三垂線定理、射影定理、線線、線面垂直的FC性質(zhì)等在動向問題中提煉一些不變的、“靜態(tài)”的量，A進(jìn)而達(dá)到解題的目的。GB9、在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1=AB=AC，ABAC，M是CC1的中點(diǎn)，Q是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在A1B1上，則直線PQ與直線AM所成的角等于（）A300B450C600D900例10、體ABCDA1B1C1D1中，點(diǎn)P在側(cè)面BCC1B1及其界限運(yùn)動，并且總保持APBD1，則動點(diǎn)P的軌跡是。Word文檔

11、.例11、在棱長為1的體ABCDABCD中，若G、ED1EC1分別是BB1、C1D1的中點(diǎn)，點(diǎn)F是形ADD1A1的中心。則四A11B邊形BGEF在體側(cè)面及底面共6個面的射影圖形面積的最FGDC大值是。AB“動向”立體幾何題面面觀本文所指的“動向”立體幾何題，是指立體幾何題中除了固定不變的的線線、線面、面面關(guān)系外，浸透了一些“動向”的點(diǎn)、線、面元素，給靜態(tài)的立體幾何題給予了活力，題意更新奇，同時，因?yàn)椤皠酉颉钡拇嬖?，也使立體幾何題更趨靈巧，增強(qiáng)了對學(xué)生空間想象能力的考察。一定值問題Word文檔.例1如圖在棱長為a的體ABCDA1B1C1D1中，EF是棱AB上一條線段，且EFba，若Q是A1D1上

12、的定點(diǎn)，P在C1D1上滑動，則四周體PQEF的體積（）（A)是變量且有最大值（B）是變量且有最小值（C）是變量無最大最小值（D）是常量剖析：本題的解決需要我們認(rèn)真剖析圖形的特色這個圖形有好多不確立要素，線段EF的地點(diǎn)不定，點(diǎn)P在滑動，但在這一系列的變化中能否能夠發(fā)現(xiàn)此中的穩(wěn)定要素？求四周體的體積要具備哪些條件？認(rèn)真察看圖形，應(yīng)當(dāng)以哪個面為底面？察看PEF，我們發(fā)現(xiàn)它的形狀地點(diǎn)是要變化的，可是底邊EF是定值，且P到EF的距離也是定值，故它的面積是定值再發(fā)現(xiàn)點(diǎn)Q到面PEF的距離也是定值所以，四周體PQEF的體積是定值我們沒有一點(diǎn)計算，對圖形的剖析幫助我們解決了問題三、圍問題例3。求正三棱錐相鄰的兩

13、個側(cè)面所成的二面角大小的取值圍。Word文檔.剖析：因?yàn)檫@個正三棱錐是動向的，沒法作出相鄰的兩個側(cè)面所成的二面角的平面角，故不可以經(jīng)過正常的門路算出其圍，既然是動向的圖形，我們則能夠從圖形的極限思想出發(fā)思慮這個問題。四、截面問題例4、已知正三棱柱A1B1C1ABC的底面積為S,高為h,過C點(diǎn)作三棱柱的與底面ABC成角的截面MNC,(0),使MN/AB，求截面的面積。2Word文檔.五、翻折、睜開問題5給出隨意的一塊三角形紙片，要求剪拼成一個直三棱柱模型，使它的全面積與給出的三角形的面積相等，請設(shè)計一種方案，并加以簡要的說明6.正三棱錐A-BCD，底面邊長為a，側(cè)棱為2a，過點(diǎn)B作與側(cè)棱AC、A

14、D相交的截面，在這樣的截面三角形中，求(1)周長的最小值；(2)周長為最小時截面積的Word文檔.值，(3)用這周長最小時的截面截得的小三棱錐的體積與三棱錐體積之比.評析把曲面上的最短路線問題利用睜開圖轉(zhuǎn)變?yōu)槠矫嫔蟽牲c(diǎn)間距離的問題，進(jìn)而使問題獲得解決，這是求曲面上最短路線的一種常用方法.本題中的四周體，此中任何一個面都能夠做為底面，因此它可有四個底面和與之對應(yīng)的四條高，在解決相關(guān)三棱錐體積題時，需要靈巧運(yùn)用這個性質(zhì).例7.如圖，ABCDEF為正六邊形，將此正六邊形沿對角線AD折疊.Word文檔.(1)求證：ADEC，且與二面角FADC的大小沒關(guān)；(2)FC與FE所成的角為30時，求二面角FADC的余弦值.六、探究型問題8.已知BCD中，BCD=90，BC=CD=1，AB平面BCD，ADB=60，E、F分別是AC、AD上的動點(diǎn)，且AEAF(01).ACAD（）求證：無論為什么值，總有平面BEF平面ABC；（）當(dāng)為什