2011年考研數(shù)學一試卷真題及答案解析

1、2011 年考研數(shù)一真題及答案解析 4 x1 x2 x3 x41、 y）23） ） 30） ）C 4 x1 x2 x3 x4 可知y x1 x2 x3 x4 0 y23423 y 0， y y y 0 y 0， y y 0， y y 0 n 0 S a n a x1n2、 a lima，n nnnknk1n1） ） ） ） C n a n a x1n R 1；Snknk1n1 a lima 0 a 1 n a x1 n R1。nnnnnn1n1 x 0 x 2時 a x1n R 1nn1 。0 f(0)0 z f(x)ln f(y)， 3、 設(shè) f(x) f(x) ）f(0)f(0)0f(0)

2、f(0)0f(0)f(0)0f(0)f(0)0） Cf (x)f(x)f(y) f(x)ln f(y)f (x f(y z f (y)，zf (y)z知zf(y)xyf (y)f(y) (f (y z f (x)ln f(y)，z2f(x)xxf (y)2f (0)f(0)0 z， f(0)ln f(0)，zf(0)x0y0 x0y0f (0)f(0) (f (0) 2z f(0) f(0)f (0)2x0y0 f(x)ln f(y)zf f 0， f f f 0 f(0)0 f(0) lnsin,J lncot,K lncosxdxI,J,K ( )4I）IB444000 J KI K JJ

3、 I KK J I）(0, )420 xx xlnsin xlncos xlncot xx2 lnsinxdx lncosxdx lncotxdx）444000 設(shè) A為 3 A B B .記1 0 01 0 0P1 11 0 ,P 0 0 1 則A ()20 0 10 1 0）PP）P P）PP2 1）P P11121221DAP BPB E 以A BP P P PP ）11 11121212 1 0 x 0 , , ,6是4 為 1234 0則 x）， ，1312123234D0r()3r(A ) 1由A A A E 0知， , , ,x1234x 00 x11 00 0 , ， ， 或

4、， ， A , , , 1112341313124234 00） F x ,F x f x , f x ()1212 ） f x f x）2f x F x1221 f x F x） f x F x） f x F x121221D f x F x 0 f x F x；1221 1f x F x f x F x f x F x f x F x F x F x1221121221D 與Ux x,y V n x,y)（ ）, VU V UBUV maxX,YX,Y E(maxX,YX,Y E() E(X)EY)E)） x0 x s9 y =40【答案】14 2y dx tan xdx sec xdx

5、tanxx 1s44422404000 y y ex cosx y(0) 0 ysinxex y e dx e cosxe dxCe cosxdxCe sinxCdxyxxx 0C 0y sinxex由 y(0) sint F2xydtF x,y1tx220 x0y24 x y 2xy sinxyF ysinxy F y cosxy 1 F222322,4。 x 1x y xx2x y2221222x 0y2 y 1z x yz z 12Lx22y2xdy dz xzdx2Lxcostsint y 從 到 t 0Lz costsinty2xzdxxdy dz2Lcost(costsint)(s

6、int)costcostsin t22(costsint)dt20sin tcost2sin t32sintcos tcos tdt222203y z 2axy2xz2yz 4y 4z 4ax22222111 。a x 3y z 2axy2xz2yz【解析】本題等價于將二次型 f (x,y,z)經(jīng)正交變換后化為了222f y 4z 1,4,0。22111 a 1 a 3 1 a2 2a 1 0a 1。A A1 1 1 (X,Y)N( , ; , ;0) E(XY )222 320X,Y E(XY ) EX EY 。 22 ,EY(X,Y)N( , ; , ;0) EX2DY EY22222 。

7、3 2E(XY ) 2221e1x) lim x x012e1111x) x)xx)x1x)xxex1 1ex1 ex0ex0 x0exex1x22xx0 x x0 xxee122xx)x0 x1 f (xy,yg(x)g(x) 9z f z2g(1)1y x 1,y 1 f f 1,11,2z f (xy,yg(x)y f (xy,yg(x)yg (x)x12 z2 f (xy,yg(x)xy f (xy,yg(x)yg(x) f (xy,yg(x)xy1f (xy,yg(x)xyg (x) f (xy,yg(x)yg(x)g (x) f (xy,yg(x)g (x)21g(1)1g(1)

8、0。g(x)在x故 z2 f g(1) f g(1)g(1) f g(1)y x 1,y 11f g(1)g (1) f g(1)g(1)g (1) f g(1)g (1) f (1,1) f (1,1)2karctanxx0k1 karctanx x 0kk 1karctanxx 0kk1x21x2karctanxxf(0) 0 ， f (x)1 f(x)，1x2當k， 在 f(x)x1f(x)0 f(x) (,)）x0karctanxk 1時，在(和(0,) f(x)0 f(x)在( 和 )）0 f(x)( (0,) x 和 與 f1 k 1 x k 1 f (x) 0f(x)在( k 1

9、, k 1) f(0) 0k） f(x)在( k1, k1)f(x) (, k 1) ( k 1,)或f(x)0 ，f(x)在(, k 1)或( k 1,) f( k1)0,lim f(x)，xf( k1)0, lim f(x) f(x)在(, k 1)與x( k 1,)xxk 1karctanxk 1karctanxx0 x 011 1 )n n 1n n1111 n(n )aa nn2n121x xx)x,x0。nx1x)x,x0：1 0,上單調(diào) xx)f (x)1。由于 0,x0f(x)令 f(x)，可知在1xf 0 x 0 f(x) f0 x) x,x0。xx),x0：x1 x11x)

10、g (x)x00,g(x)在 令g(x)x11x (1x)2x0 x 0g(x)g0 x),x0。于gx1xx)x,x0 x111 )n 11）)aaaln(1n1n1nn 11 1nn )n n1111a 1 lnn1) ). )lnnln(n1)lnn0。n2n2n a a nn0, f (x,1)0 本題滿分 分）已知函數(shù) f ( x, y具有二階連續(xù)偏導數(shù)，且 f (1,y)， (x,y)f(x,y) aD(x,y)|0 x1,0yIDDa (x,y)D 11xyf (x,y)dxdy dy xyf (x,y)dxxyxy00D (x,y) 1y011111 (x,y) y (x,y)

11、 (x,y) (x,y) (1,y) (x,y)yyyyy00000 f(x0 f ( y) f ( 0。由 f(1,y)yx11故 (x,y) (x,y)。y00 1111xyf (x,y)dxdy dy xyf (x,y)dx dy yf (x,y)dxxyxyy0000D 1111 (x,y) (x,y)yy0000 (x,y) 1xy0 f(x,y) f(x,y)1111 (x,y) (x,y) (x,y)10y0000 f(x,y)dxdy a1111xyf (x,y)dxdy dx yf (x,y)dy dx f(x,y)dy xyy0000DD , , T TT123 1,a ,

12、 , T a , , 由 , , TT123123123 2 1 5 5a 4 2 1231231 0 2 , , , , 3123121 1 3 1 2 4 a501 3 aa 5123 , , C , ,C1231231 0 111 1 3 1 , , , 0 1 31 2 41 3 5C 1231231 1 5 2 1 5 4 2 10C1 0 2 2 1 5 4 2 10 1 0 2123123 1 1 1 1 2 AR() A2AA 0 00 01 1 1 1 -110 ） 10， 0，1 110 0 0 1A 0 0 0）1 0 0 1 1-1 -1 0 0- 0） 0 1111

13、-11 0 01 與 1 2 11 r() 20 而0的特征向量與 ， 12x 1 x設(shè) 為032x 3 0 x 0 x k 1有得 13 x x 03 013 0 1-10 對應(yīng)的特征向量分別為0， 0，1 110 -1）1 1 01 0 0 11，1 1 001 1 011 1 01A 0 0 110 0 1故1 1 00 1 1 0112001 1 0 121 1 0 0 11 221 1 00 1 1 00 0 1 0 0 01 0 0 XP0101 P X Y 122 1） X,Y XY2）Z3） .XY）01XY00001）Z01P0）XY P X Y 02 2 。Y 11P X2

14、2故P X0,Y 1 0 P X Y 1 P X Y 1 P X 0,Y 1 P Y 1 3P XY 0 0 P X 0,Y 0 P X Y 0 P X 0,Y 0 P Y 0 3P X0,Y 1 0 P X 0,Y 1 P X Y 1 P X 0,Y 1 P Y 1 3 X,YY100X01/ 301/ 31 1 0 ， ，1）Z(Z P(X Y 3 P(Z P(X Y 3，PP(Z3，。 ZZ01P2/3 EY 0 X,Y) 0）EX，X,Y)0故 ,x , ,x( , )0未 分 xN2 212n00 和 S 2x）求參數(shù) 22( ) D( )E 2 和 2(X )n24） ) , )ED20222i）nni12 221 ( ) 1( )nx2nx2,x , ,x , exp expL x2i0i012n22n i12ni1(x )1(x )2nn2nnnlnL ln nln l