微積分產(chǎn)生社會(huì)背景和數(shù)學(xué)淵源課件

1、1.微積分產(chǎn)生的社會(huì)背景和數(shù)學(xué)淵源 微積分誕生在17世紀(jì)，主要來(lái)自政治，經(jīng)濟(jì)和社會(huì)發(fā)展對(duì)數(shù)學(xué)的巨大推動(dòng)。16世紀(jì)，歐洲出現(xiàn)毛瑟槍和火槍 運(yùn)動(dòng)學(xué)，動(dòng)力學(xué)等的研究15世紀(jì)，商業(yè)、航海、天文、測(cè)量等日益繁榮 流體力學(xué)、天文學(xué)、幾何光學(xué)、 天文儀器的發(fā)展 數(shù)學(xué)家面臨問(wèn)題：求面積，求體積，求速度，求加速度，求行程等古時(shí)中國(guó)劉徽、祖沖之的割圓術(shù)求 和希臘阿基米德等窮竭法求圓面積等，出現(xiàn)了極限和無(wú)窮小思想。 17世紀(jì)初，微積分的鋪墊和前期準(zhǔn)備 工程師S.Stevin(1548-1620)和意大利數(shù)學(xué)家Valerio(1552-1618)求水閘所受壓力 積分思想的萌芽 Kepler第二行星定律中橢圓面積的計(jì)算

2、微分學(xué)的起源要比積分學(xué)起源晚得多 切線問(wèn)題與極值問(wèn)題2Newton和leibniz的功績(jī) 前期工作沒(méi)有通過(guò)無(wú)窮小量分析來(lái)定義導(dǎo)數(shù)和通過(guò)分割求和取極限來(lái)建立積分的明確概念，更未給出兩者之間的聯(lián)系。 17世紀(jì)后半葉，Newton 和 Leibniz 獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)了高等數(shù)學(xué)意義上的微積分。 Newton受巴羅的“巴羅微分三角形”啟發(fā)發(fā)明微積分，所以巴羅在微積分發(fā)展史上功不可沒(méi)。 Newton從1665年到1695年，對(duì)微積分的創(chuàng)造性成果為： 1665，“正流數(shù)術(shù)” 微分學(xué)； 1666，“反流數(shù)術(shù)” 積分學(xué)； 1666，“流數(shù)簡(jiǎn)論” 標(biāo)志微積分的誕生； 1669，“分析學(xué)” 由此后人稱以微積分為 主要內(nèi)

3、容的學(xué)科為數(shù)學(xué)分析 1671，“流數(shù)法” 1687，“自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理”簡(jiǎn)稱“原理” 1691，“求積術(shù)”Newton求導(dǎo)（流數(shù)）的大概思想是：增量 與 之比等于 現(xiàn)令增量消失，它們的最終比為 求 的流數(shù) Gottfried Wilhelm Leibniz(1646-1716),德國(guó)大數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家。生于萊比錫一個(gè)書(shū)香門第，幼年表現(xiàn)出超常才智。 15歲考入萊比錫大學(xué)，1667年獲法學(xué)博士學(xué)位，次年任駐法大使，在巴黎生活了4年。 20歲發(fā)表論組合的藝術(shù)的數(shù)學(xué)論文（使其成為“數(shù)理邏輯奠基人之一”）。Leibniz 很多重大的成就包括微積分都是在巴黎的4年中完成的。 他在Paris的主要成果： 1

4、675年給出積分號(hào)“ ”，同年引入微分號(hào)“d” 1676年給出公式 ， 1677年，表述微積分基本定理： 1684，“求極大與極小值和求切線的新方法” 1686，“深?yuàn)W的幾何與不可分量的無(wú)限的分析”3第二次數(shù)學(xué)危機(jī)與微積分的 發(fā)展和完善 N-L的微積分邏輯基礎(chǔ)不嚴(yán)密，特別是在無(wú)窮小概念上的混亂，引起不少科學(xué)家的批評(píng)。 英國(guó)哲學(xué)家、牧師 G.Berkeley（1685-1753）：分析學(xué)家，或致一位不信神的數(shù)學(xué)家矛頭直指牛頓的流數(shù)法。 Berkeley悖論 這就導(dǎo)致了第二次數(shù)學(xué)危機(jī) 由于微積分的方法和結(jié)論與實(shí)際是如此吻合，所以即使基礎(chǔ)不牢，人們還是樂(lè)意去用它，直到19世紀(jì)，才開(kāi)始真正解決問(wèn)題。 第一個(gè)為補(bǔ)救第二次數(shù)學(xué)危機(jī)提出真正有見(jiàn)地意見(jiàn)的是達(dá)朗貝爾（DAlembert）。但他未提供理論。 后經(jīng) Lagrange，Bolzano（捷克），Cauchy（分析學(xué)奠基人），Weirstrass（法）等人的努力，奠定了微積分嚴(yán)格的基礎(chǔ)，解決了第2次數(shù)學(xué)危機(jī)。 Cauchy的貢獻(xiàn)在于將微積分的基礎(chǔ)建立在極限基礎(chǔ)上，Weirstrass