理論力學(xué)動(dòng)能定理

1、理論力學(xué)動(dòng)能定理第1頁(yè)，共71頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)59分，星期四 前兩章是以動(dòng)量和沖量為基礎(chǔ)，建立了質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)量的變化與外力及外力作用時(shí)間之間的關(guān)系。本章以功和動(dòng)能為基礎(chǔ)，建立質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能的改變和力的功之間的關(guān)系，即動(dòng)能定理。不同于動(dòng)量定理和動(dòng)量矩定理，動(dòng)能定理是從能量的角度來(lái)分析質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，有時(shí)是更為方便和有效的。同時(shí)，它還可以建立機(jī)械運(yùn)動(dòng)與其它形式運(yùn)動(dòng)之間的聯(lián)系。 在介紹動(dòng)能定理之前，先介紹有關(guān)的物理量：功與動(dòng)能。引言第2頁(yè)，共71頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)59分，星期四13.1.1 常力的功 設(shè)物體在常力F作用下沿直線走過(guò)路程s，如圖，則力所

2、作的功W定義為功是代數(shù)量。它表示力在一段路程上的累積作用效應(yīng)，因此功為累積量。在國(guó)際單位制中，功的單位為：J (焦耳), 1J1 Nm。13.1力的功第3頁(yè)，共71頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)59分，星期四13.1.2 變力的功 設(shè)質(zhì)點(diǎn)M在變力F的作用下沿曲線運(yùn)動(dòng)，如圖。力F在微小弧段上所作的功稱為力的元功, 記為dW, 于是有13.1 力的功MM1M2qdsMdrF力在全路程上作的功等于元功之和上式稱為自然法表示的功的計(jì)算公式。第4頁(yè)，共71頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)59分，星期四稱為矢徑法表示的功的計(jì)算公式。在直角坐標(biāo)系中13.1 力的功上兩式可寫成矢量點(diǎn)乘積形式上式稱為直角

3、坐標(biāo)法表示的功的計(jì)算公式，也稱為功的解析表達(dá)式。第5頁(yè)，共71頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)59分，星期四1) 重力的功 設(shè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為m，在重力作用下從M1運(yùn)動(dòng)到M2。建立如圖坐標(biāo)，則代入功的解析表達(dá)式得13.1.3 常見(jiàn)力的功13.1 力的功M1M2Mmgz1z2Oxyz第6頁(yè)，共71頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)59分，星期四對(duì)于質(zhì)點(diǎn)系，其重力所作的功為由此可見(jiàn)，重力的功僅與重心的始末位置有關(guān)，而與重心走過(guò)的路徑無(wú)關(guān)。常見(jiàn)力的功第7頁(yè)，共71頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)59分，星期四2) 彈力的功 物體受到彈性力的作用, 作用點(diǎn)的軌跡為圖示曲線A1A2, 在彈簧的彈性極限內(nèi)

4、, 彈性力的大小與其變形量d 成正比。設(shè)彈簧原長(zhǎng)為l0 , 則彈性力為A1A2r2r1d1d2l0Or0rAdFA0dr常見(jiàn)力的功第8頁(yè)，共71頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)59分，星期四于是或因?yàn)閺椥粤ψ鞯墓χ慌c彈簧在初始和末了位置的變形量有關(guān)，與力的作用點(diǎn)A的軌跡形狀無(wú)關(guān)。常見(jiàn)力的功第9頁(yè)，共71頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)59分，星期四3) 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上作用力的功設(shè)作用在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上A點(diǎn)的力為F,將該力分解為Ft、Fn和Fb，常見(jiàn)力的功當(dāng)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，轉(zhuǎn)角j與弧長(zhǎng)s的關(guān)系為R為力作用點(diǎn)A到軸的垂距。力F的元功為FtFrFbFnOzO1Aq力F在剛體從角j1轉(zhuǎn)到j(luò)2所作的功為M

5、z可視為作用在剛體上的力偶第10頁(yè)，共71頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)59分，星期四a例1 如圖所示滑塊重P9.8 N，彈簧剛度系數(shù)k0.5 N/cm，滑塊在A位置時(shí)彈簧對(duì)滑塊的拉力為2.5 N，滑塊在20 N的繩子拉力作用下沿光滑水平槽從位置A運(yùn)動(dòng)到位置B，求作用于滑塊上所有力的功的和。分析：滑塊在任一瞬時(shí)受力如圖。由于P與N始終垂直于滑塊位移，因此，它們所作的功為零。所以只需計(jì)算T 與F的功。先計(jì)算T 的功：解：在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，T 的大小不變，但方向在變，因此T 的元功為T15 cmBA20 cmTPFN因此T在整個(gè)過(guò)程中所作的功為第11頁(yè)，共71頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)59

6、分，星期四再計(jì)算F的功：由題意：因此F在整個(gè)過(guò)程中所作的功為因此所有力的功為T15 cmBA20 cm第12頁(yè)，共71頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)59分，星期四1. 質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能 設(shè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為m，速度為v，則質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能為動(dòng)能是標(biāo)量，在國(guó)際單位制中動(dòng)能的單位是焦耳(J)。2. 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能 質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的算術(shù)和稱為質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能，即13.2 質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能第13頁(yè)，共71頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)59分，星期四 剛體是工程實(shí)際中常見(jiàn)的質(zhì)點(diǎn)系，當(dāng)剛體的運(yùn)動(dòng)形式不同時(shí)，其動(dòng)能的表達(dá)式也不同。 (1) 平動(dòng)剛體的動(dòng)能13.2 質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能 (2) 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能第14頁(yè)

7、，共71頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)59分，星期四 (3) 平面運(yùn)動(dòng)剛體的動(dòng)能因?yàn)镴PJC + md 2所以因?yàn)閐wvC ,于是得平面運(yùn)動(dòng)剛體的動(dòng)能等于隨質(zhì)心平動(dòng)的動(dòng)能與繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能的和。13.2 質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能dwCP動(dòng)能的瞬時(shí)性第15頁(yè)，共71頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)59分，星期四CvC牢記均質(zhì)圓盤在地面上作純滾動(dòng)時(shí)的動(dòng)能:均質(zhì)圓環(huán)在地面上作純滾動(dòng)時(shí)的動(dòng)能?見(jiàn) P292。第16頁(yè)，共71頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)59分，星期四vABC解：I例2 均質(zhì)細(xì)桿長(zhǎng)為l，質(zhì)量為m，上端B靠在光滑的墻上，下端A用鉸與質(zhì)量為M半徑為R且放在粗糙地面上的圓柱中心相連，在圖示

8、位置圓柱作純滾動(dòng)，中心速度為v，桿與水平線的夾角=45o，求該瞬時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)能。I 為AB桿的瞬心運(yùn)動(dòng)分析系統(tǒng)分析第17頁(yè)，共71頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)59分，星期四aOrdrO1wPABC例3 長(zhǎng)為l，重為P的均質(zhì)桿OA由球鉸鏈O固定，并以等角速度w 繞鉛直線轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖所示，如桿與鉛直線的交角為a，求桿的動(dòng)能。 桿OA的動(dòng)能是解：取出微段dr到球鉸的距離為r，該微段的速度是微段的質(zhì)量微段的動(dòng)能運(yùn)動(dòng)分析系統(tǒng)分析第18頁(yè)，共71頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)59分，星期四O1例4 求橢圓規(guī)的動(dòng)能，其中OC、AB為均質(zhì)細(xì)桿，質(zhì)量為m和2m，長(zhǎng)為a和2a，滑塊A和B質(zhì)量均為m，曲柄OC

9、的角速度為w，j = 60。 解：在橢圓規(guī)系統(tǒng)中滑塊A和B作平動(dòng)，曲柄OC作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，規(guī)尺AB作平面運(yùn)動(dòng)。首先對(duì)運(yùn)動(dòng)進(jìn)行分析，O1是AB的速度瞬心，因:ABOCjwvCvBvAwAB運(yùn)動(dòng)分析系統(tǒng)分析第19頁(yè)，共71頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)59分，星期四ABvAvCOCjO1wvBwAB對(duì)于曲柄OC：規(guī)尺作平面運(yùn)動(dòng)，用繞速度瞬心轉(zhuǎn)動(dòng)的公式求動(dòng)能：系統(tǒng)的總動(dòng)能為：第20頁(yè)，共71頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)59分，星期四BjA例5 滑塊A以速度vA在滑道內(nèi)滑動(dòng)，其上鉸接一質(zhì)量為m，長(zhǎng)為l的均質(zhì)桿AB，桿以角速度w 繞A轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖。試求當(dāng)桿AB與鉛垂線的夾角為j 時(shí)，桿的動(dòng)能。解：A

10、B桿作平面運(yùn)動(dòng)，其質(zhì)心C的速度為 速度合成矢量圖如圖。由余弦定理則桿的動(dòng)能vAwjBAlvAvCAvCvAw運(yùn)動(dòng)分析系統(tǒng)分析第21頁(yè)，共71頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)59分，星期四1. 質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理 取質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程的矢量形式在方程兩邊點(diǎn)乘dr，得因drv dt，于是上式可寫成或13.3 動(dòng)能定理質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的增量等于作用在質(zhì)點(diǎn)上的力的元功。第22頁(yè)，共71頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)59分，星期四積分上式，得或在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的某個(gè)過(guò)程中，質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的改變量等于作用于質(zhì)點(diǎn)的力作的功。13.3 動(dòng)能定理第23頁(yè)，共71頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)59分，星期四2. 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理

11、 設(shè)質(zhì)點(diǎn)系由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為mi，速度為vi，根據(jù)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理的微分形式，有式中dWi表示作用在第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)上所有力所作的元功之和。對(duì)質(zhì)點(diǎn)系中每個(gè)質(zhì)點(diǎn)都可以列出如上的方程，將n個(gè)方程相加，得13.3 動(dòng)能定理第24頁(yè)，共71頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)59分，星期四于是得質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能的微分，等于作用在質(zhì)點(diǎn)系上所有力所作的元功之和。對(duì)上式積分，得質(zhì)點(diǎn)系在某一運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，起點(diǎn)和終點(diǎn)的動(dòng)能的改變量，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系的全部力在這一過(guò)程中所作的功之和。13.3 動(dòng)能定理第25頁(yè)，共71頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)59分，星期四13.3 動(dòng)能定理3. 理想約束及內(nèi)力作功對(duì)于光滑固

12、定面和一端固定的繩索等約束，其約束力都垂直于力作用點(diǎn)的位移，約束力不作功。光滑鉸支座和固定端約束，其約束力也不作功。光滑鉸鏈(中間鉸鏈)、剛性二力桿及不可伸長(zhǎng)的細(xì)繩作為系統(tǒng)內(nèi)的約束時(shí)，約束力作功之和等于零?；瑒?dòng)摩擦力作負(fù)功。當(dāng)輪子在固定面上只滾不滑時(shí)，滑動(dòng)摩擦力不作功。變形元件的內(nèi)力(氣缸內(nèi)氣體壓力、彈簧力等)作功；剛體所有內(nèi)力作功的和等于零。第26頁(yè)，共71頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)59分，星期四 例6 一長(zhǎng)為l，質(zhì)量密度為的鏈條放置在光滑的水平桌面上，有長(zhǎng)為b的一段懸掛下垂，如圖。初始鏈條靜止，在自重的作用下運(yùn)動(dòng)。求當(dāng)末端滑離桌面時(shí)，鏈條的速度。解得解:鏈條在初始及終了兩狀態(tài)的動(dòng)能

13、分別為 在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所有的力所作的功為由第27頁(yè)，共71頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)59分，星期四例7 已知： m ，R, f ， 。求純滾動(dòng)時(shí)盤心的加速度。CFNmgvCF解：取系統(tǒng)為研究對(duì)象，假設(shè)圓盤中心向下產(chǎn)生位移 s時(shí)速度達(dá)到vc。s力的功：由動(dòng)能定理得：解得：第28頁(yè)，共71頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)59分，星期四例8 卷?yè)P(yáng)機(jī)如圖，鼓輪在常力偶M的作用下將圓柱上拉。已知鼓輪的半徑為R1，質(zhì)量為m1，質(zhì)量分布在輪緣上；圓柱的半徑為R2，質(zhì)量為m2，質(zhì)量均勻分布。設(shè)斜坡的傾角為，圓柱只滾不滑。系統(tǒng)從靜止開始運(yùn)動(dòng)，求圓柱中心C經(jīng)過(guò)路程S 時(shí)的速度。 解：以系統(tǒng)為研究對(duì)象，受力

14、如圖。系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所有力所作的功為系統(tǒng)在初始及終了兩狀態(tài)的動(dòng)能分別為aFNFSm2gm1gFOxFOyMOC第29頁(yè)，共71頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)59分，星期四其中于是由得解之得aFNFSm2gm1gFOxFOyMOC第30頁(yè)，共71頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)59分，星期四例9 在對(duì)稱連桿的A點(diǎn)，作用一鉛垂方向的常力F，開始時(shí)系統(tǒng)靜止，如圖。求連桿OA運(yùn)動(dòng)到水平位置時(shí)的角速度。設(shè)連桿長(zhǎng)均為l，質(zhì)量均為m，均質(zhì)圓盤質(zhì)量為m1，且作純滾動(dòng)。解：分析系統(tǒng)，初瞬時(shí)的動(dòng)能為 設(shè)連桿OA運(yùn)動(dòng)到水平位置時(shí)的角速度為w，由于OAAB，所以桿AB的角速度也為w，且此時(shí)B端為桿AB的速度瞬

15、心，因此輪B的角速度為零，vB=0。系統(tǒng)此時(shí)的動(dòng)能為OaAFBwvAvB第31頁(yè)，共71頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)59分，星期四 系統(tǒng)受力如圖所示，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所有的力所作的功為解得OaAFBmgmgFSFNm1gFOxFOy由得第32頁(yè)，共71頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)59分，星期四例 10 已知： J1 ， J2 ， R1 ， R2 ，i12 = R2 / R1 M1 ， M2 。求軸的角加速度。M1M2解：取系統(tǒng)為研究對(duì)象由運(yùn)動(dòng)學(xué)可知：主動(dòng)力的功：第33頁(yè)，共71頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)59分，星期四由動(dòng)能定理得：將上式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，并注意解得：M1M2第34頁(yè)，

16、共71頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)59分，星期四例11 兩根完全相同的均質(zhì)細(xì)桿AB和BC用鉸鏈B連接在一起，而桿BC則用鉸鏈C連接在C點(diǎn)上，每根桿重P10 N，長(zhǎng)l1 m，一彈簧常數(shù)k120 N/m的彈簧連接在兩桿的中心，如圖所示。假設(shè)兩桿與光滑地面的夾角q 60時(shí)彈簧不伸長(zhǎng)，一力F10 N作用在AB的A點(diǎn)，該系統(tǒng)由靜止釋放，試求q 0時(shí)AB桿的角速度。 AqCBODvAvDvBFwBCwAB解：AB桿作平面運(yùn)動(dòng)，BC桿作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，找出AB桿的速度瞬心在O點(diǎn)，由幾何關(guān)系知OBBCl，因此由得同時(shí)還可以得出結(jié)論，當(dāng)0時(shí)O點(diǎn)與A點(diǎn)重合，即此時(shí)A為AB桿的速度瞬心，所以第35頁(yè)，共71頁(yè)，20

17、22年，5月20日，16點(diǎn)59分，星期四主動(dòng)力做功重力做功彈簧力做功外力所做總功由動(dòng)能定理的積分形式得： 因?yàn)橄到y(tǒng)屬理想約束，所以約束反力不做功，做功的力有主動(dòng)力F，重力P和彈簧力，分別求得如下：第36頁(yè)，共71頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)59分，星期四解：取系統(tǒng)分析，則運(yùn)動(dòng)初瞬時(shí)的動(dòng)能為 例12 如圖，重物A和B通過(guò)動(dòng)滑輪D和定滑輪而運(yùn)動(dòng)。如果重物A開始時(shí)向下的速度為v0，試問(wèn)重物A下落多大距離，其速度增大一倍。設(shè)重物A和B的質(zhì)量均為m，滑輪D和C的質(zhì)量均為M，且為均質(zhì)圓盤。重物B與水平面間的動(dòng)摩擦系數(shù)為f ，繩索不能伸長(zhǎng)，其質(zhì)量忽略不計(jì)。DAB2v0Cv0第37頁(yè)，共71頁(yè)，2022

18、年，5月20日，16點(diǎn)59分，星期四 系統(tǒng)受力如圖所示，設(shè)重物A下降h高度時(shí)，其速度增大一倍。在此過(guò)程中，所有的力所作的功為由得解得速度增大一倍時(shí)的動(dòng)能為DABCmgMgMgmgFNFSFOyFOx第38頁(yè)，共71頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)59分，星期四 例13 圖示機(jī)構(gòu)，均質(zhì)桿質(zhì)量為m10 kg，長(zhǎng)度為l60 cm，兩端與不計(jì)重量的滑塊鉸接，滑塊可在光滑槽內(nèi)滑動(dòng)，彈簧的彈性系數(shù)為k360 N/m。在圖示位置，系統(tǒng)靜止，彈簧的伸長(zhǎng)為20 cm。然后無(wú)初速釋放，求當(dāng)桿到達(dá)鉛垂位置時(shí)的角速度。 解：以系統(tǒng)為研究對(duì)象，則運(yùn)動(dòng)初瞬時(shí)的動(dòng)能為 當(dāng)桿運(yùn)動(dòng)到鉛垂位置時(shí)，其速度瞬心為桿端B，設(shè)此時(shí)桿的

19、角速度為w，則系統(tǒng)的動(dòng)能為BACmg30 cm第39頁(yè)，共71頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)59分，星期四 在系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，只有重力和彈力作功，所以在系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所有的力所作的功為由得所以BACmg30 cm第40頁(yè)，共71頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)59分，星期四 前面分別介紹了動(dòng)力學(xué)普遍定理(動(dòng)量定理、動(dòng)量矩定理和動(dòng)能定理) ，它們從不同角度研究了質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)量(動(dòng)量、動(dòng)量矩、動(dòng)能)的變化與力的作用量(沖量、力矩、功等)的關(guān)系。但每一定理又只反映了這種關(guān)系的一個(gè)方面，即每一定理只能求解質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)某一方面的問(wèn)題。 動(dòng)量定理和動(dòng)量矩定理是矢量形式，因質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力不能改變系

20、統(tǒng)的動(dòng)量和動(dòng)量矩，應(yīng)用時(shí)只需考慮質(zhì)點(diǎn)系所受的外力；動(dòng)能定理是標(biāo)量形式，在很多問(wèn)題中約束反力不作功，因而應(yīng)用它分析系統(tǒng)速度變化是比較方便的。但應(yīng)注意，在有些情況下質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力也要作功，應(yīng)用時(shí)要具體分析。13.6 普遍定理綜合應(yīng)用第41頁(yè)，共71頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)59分，星期四動(dòng)力學(xué)普遍定理綜合應(yīng)用有兩方面含義：其一，對(duì)一個(gè)問(wèn)題可用不同的定理求解；其二，對(duì)一個(gè)問(wèn)題需用幾個(gè)定理才能求解。下面就只用一個(gè)定理就能求解的題目，如何選擇定理，說(shuō)明如下： (1 )與路程有關(guān)的問(wèn)題用動(dòng)能定理，與時(shí)間有關(guān)的問(wèn)題用動(dòng)量定理或動(dòng)量矩定理。 (2 )已知主動(dòng)力求質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)用動(dòng)能定理，已知質(zhì)點(diǎn)系的運(yùn)動(dòng)求

21、約束反力用動(dòng)量定理或質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理或動(dòng)量矩定理。已知外力求質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心運(yùn)動(dòng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理。13.6 普遍定理綜合應(yīng)用第42頁(yè)，共71頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)59分，星期四 (3) 如果問(wèn)題是要求速度或角速度，則要視已知條件而定。若質(zhì)點(diǎn)系所受外力的主矢為零或在某軸上的投影為零，則可用動(dòng)量守恒定律求解。若質(zhì)點(diǎn)系所受外力對(duì)某固定軸的矩的代數(shù)和為零，則可用對(duì)該軸動(dòng)量矩守恒定律求解。若質(zhì)點(diǎn)系僅受有勢(shì)力的作用或非有勢(shì)力不作功，則用機(jī)械能守恒定律求解。若作用在質(zhì)點(diǎn)系上的非有勢(shì)力作功，則用動(dòng)能定理求解。 (4) 如果問(wèn)題是要求加速度或角加速度，可用動(dòng)能定理求出速度(或角速度) ，然后再對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，求出加

22、速度(或角加速度) 。也可用功率方程、動(dòng)量定理或動(dòng)量矩定理求解。在用動(dòng)能定理或功率方程求解時(shí)，不作功的未知力在方程中不出現(xiàn)，給問(wèn)題的求解帶來(lái)很大的方便。13.6 普遍定理綜合應(yīng)用第43頁(yè)，共71頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)59分，星期四 (5) 對(duì)于定軸轉(zhuǎn)動(dòng)問(wèn)題，可用定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的微分方程求解。對(duì)于剛體的平面運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，可用平面運(yùn)動(dòng)微分方程求解。 有時(shí)一個(gè)問(wèn)題，幾個(gè)定理都可以求解，此時(shí)可選擇最合適的定理，用最簡(jiǎn)單的方法求解。對(duì)于復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，不外乎是上述幾種情況的組合，可以根據(jù)各定理的特點(diǎn)聯(lián)合應(yīng)用。下面舉例說(shuō)明。13.6 普遍定理綜合應(yīng)用第44頁(yè)，共71頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)5

23、9分，星期四 例14 如圖，均質(zhì)桿質(zhì)量為m，長(zhǎng)為l，可繞距端點(diǎn)l/3的轉(zhuǎn)軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，求桿由水平位置靜止開始轉(zhuǎn)動(dòng)到任一位置時(shí)的角速度、角加速度以及軸承O的約束反力。解：本題已知主動(dòng)力求運(yùn)動(dòng)和約束反力。桿作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)到任一位置時(shí)的動(dòng)能為在此過(guò)程中所有的力所作的功為jCOmg解法1：用動(dòng)能定理求運(yùn)動(dòng)以桿為研究對(duì)象。由于桿由水平位置靜止開始運(yùn)動(dòng)，故開始的動(dòng)能為零，即w第45頁(yè)，共71頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)59分，星期四由得 將前式兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，得jCOmgw第46頁(yè)，共71頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)59分，星期四解法2：用微分方程求運(yùn)動(dòng)COmg由定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程即所以得即又所以

24、FOyFOxa第47頁(yè)，共71頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)59分，星期四jCOwaxyaCxaCy 現(xiàn)在求約束反力。質(zhì)心加速度有切向和法向分量：atCanC將其向直角坐標(biāo)軸上投影得：第48頁(yè)，共71頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)59分，星期四COmgxyaCxaCyFOyFOx由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理得：解得：第49頁(yè)，共71頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)59分，星期四BA 例15 物塊A和B的質(zhì)量分別為m1、m2，且 m1m2 ，分別系在繩索的兩端，繩跨過(guò)一定滑輪，如圖?；喌馁|(zhì)量為m，并可看成是半徑為r的均質(zhì)圓盤。假設(shè)不計(jì)繩的質(zhì)量和軸承摩擦，繩與滑輪之間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，試求物塊A的加速度和

25、軸承O的約束反力。解一：取單個(gè)物體為研究對(duì)象。 分別以物塊A、B和滑輪為研究對(duì)象，受力如圖。分別由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理和定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的微分方程，得m1gFAam2gFBaABOrFBFAFOxFOyOmga第50頁(yè)，共71頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)59分，星期四 由以上方程聯(lián)立求解得：注意到第51頁(yè)，共71頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)59分，星期四 解二：用動(dòng)能定理和質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理。 解：以整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象，受力如圖，運(yùn)動(dòng)分析如圖。系統(tǒng)動(dòng)能為所有力的元功的代數(shù)和為于是可得BAm1gvm2gvFOxFOyOmgw由微分形式的動(dòng)能定理得第52頁(yè)，共71頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)59分，星

26、期四 由質(zhì)心坐標(biāo)公式于是可得BAm1gvm2gvFOxFOyOmgw由得第53頁(yè)，共71頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)59分，星期四 解三：用動(dòng)量矩定理和質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理(或動(dòng)量定理)。 解：以整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象，受力如圖，運(yùn)動(dòng)分析如圖。系統(tǒng)對(duì)定軸的動(dòng)量矩為然后按解二的方法即可求得軸承O的約束反力。BAm1gam2gaFOxFOyOmge由得第54頁(yè)，共71頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)59分，星期四 例16 如圖所示，均質(zhì)圓盤可繞O軸在鉛垂面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，圓盤的質(zhì)量為m，半徑為R。在圓盤的質(zhì)心C上連結(jié)一剛性系數(shù)為k的水平彈簧，彈簧的另一端固定在A點(diǎn)，CA2R為彈簧的原長(zhǎng)，圓盤在常力偶矩M的作用

27、下，由最低位置無(wú)初速地繞O軸向上轉(zhuǎn)。試求圓盤到達(dá)最高位置時(shí)，軸承O的約束反力。 解：以圓盤為研究對(duì)象，受力如圖，建立如圖坐標(biāo)。MOCACAayxMmgFFOxFOyOw45第55頁(yè)，共71頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)59分，星期四解得由得yCAaxMmgFFOxFOyOw45再由定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程得解得第56頁(yè)，共71頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)59分，星期四代入加速度解得yCAaxMmgFFOxFOyOw45yxanCatCaCxaCy由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)微分方程得第57頁(yè)，共71頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)59分，星期四 例17 均質(zhì)細(xì)桿長(zhǎng)為l，質(zhì)量為m，靜止直立于光滑水平面上。當(dāng)桿

28、受微小干擾而倒下時(shí)，求桿剛剛到達(dá)地面時(shí)的角速度和地面約束力。 解：由于地面光滑，直桿沿水平方向不受力，倒下過(guò)程中質(zhì)心將鉛直下落。桿運(yùn)動(dòng)到任一位置 (與水平方向夾角為q )時(shí)的角速度為此時(shí)桿的動(dòng)能為初動(dòng)能為零，此過(guò)程只有重力作功，由當(dāng)q0時(shí)解出PACqwvCvA第58頁(yè)，共71頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)59分，星期四 桿剛剛達(dá)到地面時(shí)受力及加速度如圖所示，由剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程，得 桿作平面運(yùn)動(dòng)，以A為基點(diǎn)，則C點(diǎn)的加速度為沿鉛垂方向投影，得聯(lián)立求解方程(1)(3)，得ACaaCmgFAACaCawanCAaAatCA第59頁(yè)，共71頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)59分，星期四OD(

29、b)例18 圖示三棱柱體ABC的質(zhì)量為m1，放在光滑的水平面上，可以無(wú)摩擦地滑動(dòng)。質(zhì)量為m2的均質(zhì)圓柱體O由靜止沿斜面AB向下滾動(dòng)而不滑動(dòng)。如斜面的傾角為q，求三棱柱體的加速度。 qACBOvrw DavvevDvODvDa 解：整體系統(tǒng)在水平方向上受力為零，所以系統(tǒng)的動(dòng)量在水平方向上守恒。設(shè)某瞬時(shí)三棱柱的速度是v，圓柱體的角速度是w。求圓柱體的動(dòng)量需要用O點(diǎn)的絕對(duì)速度， 該速度可用兩種方法求得： 基點(diǎn)法：取圓柱體與三棱柱的接觸點(diǎn)D為基點(diǎn)，分析圓柱體中心O點(diǎn)的速度，如圖(b)所示復(fù)合運(yùn)動(dòng)法：取圓柱體中心O為動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)系與三棱柱固連，則O點(diǎn)的速度分析如圖(a)所示(a)w xy第60頁(yè)，共71頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)59分，星期四a araem2gFSFNOD由動(dòng)量守恒定理:兩邊對(duì)時(shí)間t求導(dǎo)得欲求a需先求出a，取圓柱體分析如圖(c)所示，由平面運(yùn)動(dòng)微分方程得從中解出求出系統(tǒng)動(dòng)量的水平分量：xy代入(*)式得第61頁(yè)，共71頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)59分，星期四13-4 功率功率方程機(jī)械效率1. 功 率力的功率力所作之功對(duì)時(shí)間的變化率力的功率等于切向力與其作用點(diǎn)速度的標(biāo)積。 作用在轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上的力矩或力偶矩的功率等于力矩或力偶矩與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)角速度的標(biāo)積。第62頁(yè)，共71頁(yè)，2022年，5月20日，16點(diǎn)59分，星期四2. 功