42線性變換的矩陣

1、4.2 線性變換的矩陣一、線性變換在基下的矩陣二、相似矩陣一、 線性變換在基下的矩陣 的線性變換. 則對(duì)任意 存在唯一的一組數(shù) 設(shè)是線性空間V的一組基，為V使從而，由此知，由 完全確定.一組基在下的象即可.所以要求V中任一向量在下的象，只需求出V的命題4.2.1設(shè)是線性空間V的一組基，為V的線性變換，若 則 由已知，即得由此知，一個(gè)線性變換完全由它在一組基上的作用所決定.證：對(duì) 證： 定義 都存在線性變換使 任意n個(gè)向量命題4.2.2 設(shè)是線性空間V的一組基，對(duì)V中易知為V的一個(gè)變換，下證它是線性的.任取設(shè)則 于是 為V的線性變換.又設(shè)為數(shù)域P上線性空間V的一組基， 為V的線性變換. 基向量的

2、象可以被基線性表出,設(shè)定義4.2.1用矩陣表示即為 其中 單位變換在任意一組基下的矩陣皆為單位矩陣； 零變換在任意一組基下的矩陣皆為零矩陣； 矩陣A稱為線性變換在基下的矩陣. A的第i列是 在基下的坐標(biāo)，注：它是唯一的. 故在取定一組基下的矩陣是唯一的. 數(shù)乘變換在任意一組基下的矩陣皆為數(shù)量矩陣； 例1. 設(shè)線性空間 的線性變換為 求在標(biāo)準(zhǔn)基下的矩陣. 解： 線性變換運(yùn)算與矩陣運(yùn)算定理4.2.2 設(shè)為數(shù)域P上線性空間V的一組的唯一一個(gè)矩陣對(duì)應(yīng)，且具有以下性質(zhì)：基，在這組基下，V的每一個(gè)線性變換都與 中 線性變換的和對(duì)應(yīng)于矩陣的和； 線性變換的乘積對(duì)應(yīng)于矩陣的乘積； 線性變換的數(shù)量乘積對(duì)應(yīng)于矩陣

3、的數(shù)量乘積； 可逆線性變換與可逆矩陣對(duì)應(yīng)，且逆變換對(duì)應(yīng)于逆矩陣.證：設(shè)為兩個(gè)線性變換，它們?cè)诨?下的矩陣分別為A、B，即 在基 下的矩陣為AB. 在基 下的矩陣為AB. 在基 下的矩陣為 由于單位變換(恒等變換)對(duì)應(yīng)于單位矩陣E. 相對(duì)應(yīng).所以，與ABBAE因此，可逆線性變換與可逆矩陣A對(duì)應(yīng)，且逆變換 對(duì)應(yīng)于逆矩陣 （推論4.2.1） 定理4.2.3 設(shè)線性變換在基 下的矩陣為A,在基下的坐標(biāo)為在基下的坐標(biāo)為則有 證：由已知有 又 由于 線性無(wú)關(guān)，所以下的矩陣分別為A、B，且從基() 到基()的過(guò)渡矩陣矩陣是X，則()() 定理4.2.4 設(shè)線性空間V的線性變換在兩組基證：由已知，有 于是，

4、由此即得 相似矩陣定義4.2.4設(shè)A、B為數(shù)域P上的兩個(gè)n級(jí)矩陣，若存在可逆 矩陣 使得 則稱矩陣A相似于B，記為 （1）相似是一個(gè)等價(jià)關(guān)系，即滿足如下三條性質(zhì)： 反身性： 對(duì)稱性：2基本性質(zhì) 傳遞性： 定理4.2.6 線性變換在不同基下的矩陣是相似的；同一線性變換在兩組基下所對(duì)應(yīng)的矩陣.反過(guò)來(lái)，如果兩個(gè)矩陣相似，那么它們可以看作證：設(shè) 且A是線性變換 在基 下的矩陣. 顯然， 也是一組基，矩陣就是B.且在這組基下的例. 設(shè) 為線性空間V一組基， 線性變換在這組基下的矩陣為 為V的另一組基，且 求 在 下的矩陣B.解：（1）由定理4，在基下的矩陣?yán)?. 在線性空間 中，線性變換定義如下：（1）求 在標(biāo)準(zhǔn)基 下