連續(xù)時間信號與系統(tǒng)的復頻域分析

1、第16章 連續(xù)時間信號與系統(tǒng)的復頻域分析 16.1 引言 16.2 拉普拉斯變換 16.3 拉普拉斯變換的性質(zhì) 16.4 單邊拉普里斯變換 16.5 拉普拉斯反變換 16.6 用拉普拉斯變換法分析系統(tǒng) 16.7 系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析16.1 引言 雖然FT在信號與LTI系統(tǒng)分析中得到了廣泛應用，但仍有一些不方便之處，例如： 一些常用的重要信號，如(t)、r(t)、cost等的經(jīng)典FT不存在。 像指數(shù)增長信號 et(t) (0) 這樣的重要信號，其FT不存在。 在應用FT 分析信號通過LTI系統(tǒng)的過程中，僅限于分析零狀態(tài)下的LTI系統(tǒng)。 針對以上問題，需要尋找信號的其他變換，以拓寬信號與系統(tǒng)的變換域

2、分析方法，適應不同的需要。本章內(nèi)容及學習方法注意與傅氏變換的對比，便于理解與記憶。 本章首先由傅氏變換引出拉氏變換，然后對拉氏正變換、拉氏反變換及拉氏變換的性質(zhì)進行討論。 本章重點在于，以拉氏變換為工具對系統(tǒng)進行復頻域分析。 最后介紹系統(tǒng)函數(shù)以及H(s)零極點概念，并根據(jù)他們的分布研究系統(tǒng)特性，分析頻率響應，還要簡略介紹系統(tǒng)穩(wěn)定性問題。16.2 拉普拉斯變換（Laplace Transform，簡寫LT）一、 雙邊LT的定義 已知信號 f(t)不滿足絕對可積，即1.正變換【定義】雙邊拉普拉斯正變換，簡稱“LT ”?！居?F(s)求原函數(shù) f(t)】 因為 所以 因為 所以適當選取2.反變換F(

3、s)【歸納】【LT的數(shù)學意義】 雙邊LT是經(jīng)典FT的推廣，經(jīng)典FT是雙邊LT的特例。 利用FT、LT分解信號之別： 利用LT分解信號：指數(shù)規(guī)律的變幅度正弦的連續(xù)和 利用經(jīng)典FT分解信號： 二、 雙邊LT的收斂域 使f(t)et 經(jīng)典FT存在的那些的取值范圍。 稱為雙邊LT的 “收斂域”。 不標明收斂域的F(s)表達式是無意義的。例如 F(s)收斂域以收斂坐標為邊界, 收斂坐標是F(s)的極點。收斂域含=收斂域含= 三、由 f(t)的時域特性定性分析F(s)收斂域(ROC)的類型 f(t)是右邊信號時，收斂域如何？【例】求因果信號f (t)=e-t(t)的雙邊拉氏變換及其ROC。即此時ROC為

4、或 tf(t)0t1【總結(jié)】ROC為 或 定性結(jié)論： f(t)是右邊信號時，其LT的收斂域為收斂坐標右邊的 s 復平面。 Res=時是否收斂，決定于f(t)的起始時刻。 右邊信號右邊域tf(t)0t1-0j f(t)是左邊信號時，收斂域如何？f (t)=et(t)的雙邊拉氏變換【例】求非因果信號及其收斂域。tf(t)0t1ROC為即或【解】ROC為： Res=時是否收斂，決定于f(t)的終止時刻。 結(jié)論： f(t)是左邊信號時，其LT的收斂域為收斂坐標左邊的 s 復平面。 左邊信號左邊域tf(t)0t1-0j【證】 f(t)是雙邊信號時，其LT的收斂域若存在，一定為 s 復平面的帶狀域。【例1

5、68】【解】 f(t)是時間有限信號, 其LT收斂域至少為有限 s 平面(處是否收斂視具體情況定)。【例163】【解】羅必搭法則【例164】【解】 四、 有理像函數(shù)F(s)的零、極點和零極圖 許多常用信號 f(t)的像函數(shù)F(s)具有有理分式的形式，即 F(s)的極點：使F(s)的值等于的 s 取值。 F(s)的零點：使F(s)的值等于零的s取 值。有限值處有限值處 F(s)的零極圖：在 s 平面上，標注了F(s)的零、極點的圖。 F(s)的ROC：在 s 平面上, 使F(s)存在的 s 取值范圍。陰影表示。ROC以極點為邊界，內(nèi)部可以有零點。零點總數(shù)極點總數(shù)。（其中包含處的零、極點，通常不標

6、。）【例165】【解】零點總數(shù)，等于極點總數(shù)。（含處）ROC以極點為邊界，內(nèi)部可以有零點?！纠?66】【解】零極圖【例167】【解】零極點相消?！纠?69】【解】 F(s)的ROC未知，故可以有以下的4種情況，如圖：右邊信號左邊信號雙邊信號雙邊信號16.3 拉普拉斯變換的性質(zhì) 學習LT性質(zhì)目的： 函數(shù) t 域變化后, 直接得到 s 域變化結(jié)果； 由簡單信號的LT及LT的性質(zhì)，容易寫出復雜信號的LT； 得到信號 s 域分析、系統(tǒng) s 域分析的一些重要結(jié)論。（一） 線性式中a、b為任意常數(shù)。（二） 時移【例1611】根據(jù)(t)的LT，再利用時移性質(zhì)重求【例167】的 f(t)=(t)(tT)的LT

7、。【解】故 然 原因：LT的線性性質(zhì)所致。（三） 復頻移若s0為純虛數(shù)，則ROC不變。【例1612】 用此性質(zhì)和線性性質(zhì)，有 類似地，單邊正弦： 單邊余弦：式中s0為任意復數(shù)?！纠?612】 單邊變幅余弦： 用此性質(zhì)和線性性質(zhì)，有 類似地，單邊變幅正弦：（四） 時間尺度變換（標度）式中a為非零的任意實數(shù)。時域壓縮（展寬），對應 s域的ROC展寬（壓縮）。一般式：（五） 時域卷積【解】若有零極點相消，ROC可能擴大。后敘（六） 復卷積 時域相乘，對應 s 域的LT作復卷積。此性質(zhì)應用不多，略。 類似FT頻域卷積性質(zhì)：時域相乘，對應域的FT作頻域卷積。（七） 時域微分【例1615】 我們知道 所以

8、 又若F(s)含坐標原點處的極點，ROC可能擴大。 推論：（八） 時域積分 我們知道 本性質(zhì)的ROC，可由時域卷積性質(zhì)得以說明，即【例1616】【例1617】（九） 復頻域微分【解】 反復用此性質(zhì)，有 若=0，有（十） 復頻域積分（十一） 初值定理（十二） 終值定理 【 】 時域絕對可積因果信號。 例 解 A(t) ，如此。16.4 單邊拉普拉斯變換 一、 單邊LT的定義 信號 f(t)(t)，其單邊LT的定義是： 【說明】單邊LT積分下限取0 ，是考慮 t=0 時的函數(shù)。單、雙邊 LT 對比舉例：雙(單)邊LT只能(還可)用于求系統(tǒng)的零狀態(tài)(完全)響應。 一、 單邊LT的性質(zhì) 除以下3個性質(zhì)

9、外，其余與雙邊相同。 （一） 時移【證明】（證畢）一定是右邊域 對于雙邊信號，其單、雙邊 LT 時移性質(zhì)，有本質(zhì)區(qū)別： 取雙邊LT： 取單邊LT ： 對于單邊因果信號，單、雙邊LT相同。故，時移性質(zhì)也相同?！纠?617】【解】 由于是因果信號，故單、雙邊LT相同?！纠?618】【解】 由于是因果信號，故單、雙邊LT相同。 （二） 時域微分【證明】 因為 f(t)的單邊LT存在，故（證畢） （三） 時域積分【證明】等于零 因為 t時es t 0； 又16.5 拉普拉斯反變換 本節(jié)討論由像函數(shù)求原函數(shù)的問題，即由F(s)求 f(t)。 單、雙邊LT的反變換公式相同，只是時間范圍有所區(qū)別，如下:雙邊

10、LT 單邊LT求解方法留數(shù)法（圍線積分法）部分分式展開法 一、部分分式展開法式中ai、bj 為實數(shù)；m、n為正整數(shù)。 部分分式展開法求解步驟2根據(jù)收斂域求f (t)1將F(s)做部分分式展開 若mn，就說F(s)是關(guān)于s 的“有理真分式”； 若mn，就說F(s)是關(guān)于s 的“有理假分式”。（一） F(s) 的 n 個極點互不相同 將F(s)按極點展開，則 故 設 m0時, 沿左無限大圓弧積分可滿足條件 , 由留數(shù)定理, 有(t0)(t0)負號是因為順時針圍線 F(s)est 在無限大圓弧上的線積分為零： t0時, 沿右無限大圓弧積分可滿足條件 , 由留數(shù)定理, 有（1） F(s) est 在一

11、階極點 pi 處的留數(shù) 由復變函數(shù)理論，極點留數(shù)如下：（2） F(s) est 在 k 階重極點 pi 處的留數(shù) 留數(shù)法還適用于非有理分式的F(s)?！纠?630】已知像函數(shù)及其收斂域，求原函數(shù)?！窘狻?t0時： 請用部分分式展開法重做此題，以便比較。16.6 用LT分析LTI系統(tǒng)LT是分析LTI系統(tǒng)的強有力的數(shù)學工具，故有“計算器”之稱。但是，物理意義不像FT那樣強調(diào)。 一、用LT求LTI系統(tǒng)的零狀態(tài)響應 t 域： s 域：【例1631】已知激勵 x(t)=(t)，求 yZS(t)。其中系統(tǒng)單位沖激響應分別為【解】 【例1631】已知激勵 x(t)=(t)，求 yZS(t)。其中系統(tǒng)單位沖激

12、響應分別為【討論】 為求因果系統(tǒng)的H(s), h(t)的單邊或雙邊LT 相同，如 。為求非因果系統(tǒng)的H(s), 只能采用h(t)的雙邊LT ，如 、 。 因果系統(tǒng)受激于 t0的因果激勵 ， 其YZS(s)的收斂域必為S平面右邊域，所以不必考慮收斂域的問題，如 。 二、用LT 解LTI系統(tǒng)的微分方程為方便，令系統(tǒng)因果, 且激勵在 t0，求 t0 的響應。因此，在 s 域分析時不必考慮收斂域問題。用LT解微分方程的過程是：先對微分方程兩邊取LT，得到關(guān)于激勵和響應像函數(shù)的代數(shù)方程；然后再通過LT1得到響應函數(shù)的時域表達式。雙邊LT只能求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應。而單邊LT，既能求解零狀態(tài)響應又能求解零輸

13、入響應，也能一舉求出完全響應?！纠恳蚬到y(tǒng)微分方程為【解】這是求系統(tǒng) t 0的全響應問題，應采用單邊LT，由yZi(s)yZS(s)可分別求 用LT 解LTI系統(tǒng)的微分方程（推廣） 對微分方程兩邊取單邊LT： 因 x(t) 在 t0 接入，故 X(s)可省去下標 “u”, 即 y(t)也只考慮 t0 情況， t0 單邊信號的單雙邊LT相同信號導函數(shù)的單邊LT記錄了初始條件利用單邊LT的時域微分性質(zhì)，有n=1時(i=1, r=0)：a1 sY(s) y(0)【討論】用單邊LT解因果系統(tǒng)微分方程，一舉求出完全響應，繞過了確定系統(tǒng)0+初始條件的問題。當然 0初始條件還要自定。上述方程，是關(guān)于激勵和

14、響應LT的代數(shù)方程，是微分方程的變換方程。【例】因果系統(tǒng)微分方程為【解】這是求系統(tǒng) t 0的全響應問題，應采用單邊LT，有注意：x(0)=0yZi(s)yZS(s)可分別求 三、LTI電路系統(tǒng)的復頻域分析法（s 域模型法）對于LTI電路系統(tǒng)，先利用單邊LT得到 s 域模型（假想的數(shù)學模型），再像電阻電路那樣去求解 s 域模型，從而首先得到響應變量的像函數(shù)，然后再求反變換。要特別強調(diào)：雖然LTI電路系統(tǒng)的相量模型與 s 域模型的數(shù)學求解完全類似，但前者僅適用正弦穩(wěn)態(tài)相應，而后者卻適用任意激勵下的完全響應。（一）元件VAR的 s域形式1.電阻元件的s域模型時域模型S域模型+_uR(t)iR(t)R

15、+_UR(s)IR(s)R 若動態(tài)元件初始無儲能, 則 s 域元件模型很簡單。2.電容元件的域模型變換到 s 域變換到 s 域3.電感元件的域模型【解】畫s域模型，如圖。對s域模型，像電阻電路一樣，解出I1(s)。無需考慮收斂域。因為因果系統(tǒng)因果激勵，收斂域肯定是s平面右邊域?！纠?634】圖示電路，x(t)=10(t)，uC(0)=5V， iL(0)=4A。試求i1(t)。（二）電路的 s域模型 四、系統(tǒng)函數(shù)H(s)令激勵為(t), 則零狀態(tài)響應為h(t), 代入系統(tǒng)微分方程兩邊取LT（零狀態(tài)下，單、雙邊一樣），則于是得到H(s)H(s)的其他求法：即【定義】 （一）定義求圖（a）所示電路的

16、系統(tǒng)函數(shù)(a)所示電路的s域電路模型如圖(b)所示。故有代入數(shù)據(jù)得【例】【解】（二）從 H(s)的零極點分布判斷 h(t)的時域特性令系統(tǒng)因果，mn。 H(s)中的單階極點 原點處的極點： 實軸處的極點：等幅直流 j軸上的虛數(shù)極點，必成共軛對出現(xiàn)：等福正弦 左 s 平面的復數(shù)極點，必成共軛對出現(xiàn)： 右 s 平面的復數(shù)極點，必成共軛對出現(xiàn)： H(s)中的高階極點根據(jù)LT的 s 域微分性質(zhì)，有以下結(jié)論： 二階極點對應的時域函數(shù)模式為，t 乘以一階極點對應的時域函數(shù)模式；三階極點對應的時域函數(shù)模式為，t 2 乘以一階極點對應的時域函數(shù)模式； 。 余，類推。【結(jié)論】 若H(s)極點全部在左半s 平面，

17、則h(t)收斂。 只要H(s)有極點在右半 s 平面上或在j軸上有兩階或兩階以上極點時，則h(t) 發(fā)散。 若H(s)無右半s平面極點， j軸上只有單階極點，則h(t)有界。系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng)不穩(wěn)定系統(tǒng)臨界穩(wěn)定此時H(s)收斂域含j軸 因果性（條件） t 域：用 h(t)判斷，滿足 t 的右半 s 平面，且包含點。（三）用H(s)判斷系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性 因果系統(tǒng)零狀態(tài)穩(wěn)定條件 t 域： s 域：系統(tǒng)H(s)的收斂域一定含 s 平面 j 軸。 因為滿足此條件的 h(t)的經(jīng)典FT存在，此時可以有 域：信號的經(jīng)典FT存在。總體不一定穩(wěn)定（3）因果系統(tǒng)總體穩(wěn)定的充分條件【s 域描述】 若H(s)沒有零極

18、點相消, 則H(s) 的極點就是微分方程的全部特征根。若 H(s) 的極點位于左半S平面，系統(tǒng)一定穩(wěn)定?！総 域描述】第12章或：H(s)的收斂域含j軸（此敘述也適用于非因果系統(tǒng)）（四）從 H(s)的零極點分布判斷 H(j)的特性若因果系統(tǒng)H(s)極點全部在左半 s 平面，此時H(s)收斂域含j軸，則系統(tǒng)穩(wěn)定?！厩笆鼋Y(jié)論】 于是可有 事實上，此式也正是滿足絕對可積信號的FT 和 LT的關(guān)系。 下面，討論由 H(s)粗略畫出系統(tǒng)幅、相頻率特性曲線的方法。k0=bm/an 類似地： 所以：【總結(jié)】 H(j)求法：在j軸上取0： 將所有零點因子的模相乘，將所有極點因子的模相乘，二者相除再乘以 k0 即可得到H(j0) ；取=0，重復此過程，即得到H(j) 。 h() 求法：在j軸上取0： 將所有零點因子的幅角相加，將所有極點因子的幅角相加，二者相減即可得到h(0) ；取=0，重復此過程，即得到h() 。（1）一階系統(tǒng)的H(j)【例1641】 圖示一階電路，【解】 畫出幅、相頻響曲線。由 s 域模型，得 =0 時： =1