重慶大學(xué)材料力學(xué)教案彎曲變形b

1、文檔編碼 : CD3F8H8Y1Q6 HC4P10O9U2V1 ZR8J5F8S3C3第 七 章 彎 曲 變 形一、教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)內(nèi)容 1教學(xué)目標(biāo) 把握求梁變形的兩種方法： 積分法和疊加法, 明確疊加原理的使用條件,把握用變形比較法求解靜不定梁；2教學(xué)內(nèi)容 有關(guān)彎曲變形的基本概念 積分法和疊加法 明確疊加原理 力法求解靜不定梁；二、重點(diǎn)難點(diǎn) 梁的變形分析；撓曲軸近似微分方程；積分法求變形；疊加法求梁的變形；靜不定梁；三、教學(xué)方式 接受啟示式教學(xué),通過(guò)提問(wèn),引導(dǎo)同學(xué)摸索,讓同學(xué)回答疑題；四、建議學(xué)時(shí) 7 學(xué)時(shí) 五、講課提綱 1、概述圖 7.1 關(guān)于梁的彎曲變形,可以從梁的軸線和橫截面兩個(gè)方面來(lái)爭(zhēng)

2、論；圖示一根任意梁,以變形前直梁的軸線為 x 軸,垂直向下的軸為 y 軸,建立 xoy 直角坐標(biāo)系；當(dāng)梁在 xy 面內(nèi)發(fā)生彎曲時(shí),梁的軸線由直線變?yōu)?xy 面內(nèi)的一條光滑連續(xù)曲線,稱為 梁的撓曲線 ,或彈性曲線；第六章中曾經(jīng)指出,梁彎曲后橫截面仍然垂直于梁的撓曲線,因此,當(dāng)梁發(fā)生彎曲時(shí)梁的各個(gè)截面不僅發(fā)生了線位移,而且仍產(chǎn)生了角位移,如圖 7.1 所示；橫截面的形心在垂直于梁軸（x 軸）方向的線位移,稱為橫截面的撓度,并用符號(hào) 表示；關(guān)于撓度的正負(fù)符號(hào),在圖示坐標(biāo)系下,規(guī)定撓度向下（與 y 軸同向）為正；向上（與 y 軸反向）為負(fù)；應(yīng)當(dāng)指出,由于梁在彎曲時(shí)長(zhǎng)度不變,橫截面的形心在沿梁軸方向也存

3、在線位移；但在小變形條件下,這種位移微小,可以忽視不計(jì)；梁彎曲時(shí),各個(gè)截面的撓度是截面形心坐標(biāo) x 的函數(shù),即有x 上式是撓曲線的函數(shù)表達(dá)式,亦稱為撓曲線方程；橫截面的角位移,稱為截面的轉(zhuǎn)角,用符號(hào)表示；關(guān)于轉(zhuǎn)角的正負(fù)符號(hào),規(guī)定在圖示坐標(biāo)系中從x 軸順時(shí)針轉(zhuǎn)到撓曲線的切線形成的轉(zhuǎn)角為正的；反之,為負(fù)的；明顯,轉(zhuǎn)角也是隨截面位置不同而變化的,它也是截面位置 x 的函數(shù),即x 此式稱為轉(zhuǎn)角方程；工程實(shí)際中,小變形時(shí)轉(zhuǎn)角 為tgdy xdx是一個(gè)很小的量,因此可表示綜上所述,求梁的任一截面的撓度和轉(zhuǎn)角,關(guān)鍵在于確定梁的撓曲線方程 x 2、 撓曲線近似微分方程對(duì)瘦長(zhǎng)梁,梁上的彎矩M 和相應(yīng)截面處梁軸的

4、曲率半徑均為截面位置 x的函數(shù),因此,梁的撓曲線的曲率可表為1MxxEI即梁的任一截面處撓曲線的曲率與該截面上的彎矩成正比,與截面的抗彎剛度 EI 成反比；另外,由高等數(shù)學(xué)知,曲線y x任一點(diǎn)的曲率為1x1232明顯,上述關(guān)系同樣適用于撓曲線；比較上兩式,可得123Mx EI2上式稱為撓曲線微分方程；這是一個(gè)二階非線性常微分方程,求解是很困難的；而在工程實(shí)際中,梁的撓度y 和轉(zhuǎn)角數(shù)值都很小,因此,y2之值和 1 相比很小,可以略去不計(jì),于是,該式可簡(jiǎn)化為MxEI式中左端的正負(fù)號(hào)的選擇,與彎矩M 的正負(fù)符號(hào)規(guī)定及 xoy 坐標(biāo)系的選擇有關(guān)；依據(jù)彎矩 M 的正負(fù)符號(hào)規(guī)定,當(dāng)梁的彎矩0M0時(shí),梁的撓

5、曲線為凹曲線,按；反之,當(dāng)梁的彎矩M0時(shí),撓曲圖示坐標(biāo)系,撓曲線的二階導(dǎo)函數(shù)值線為凸曲線,在圖示坐標(biāo)系中撓曲線的0；可見(jiàn),在圖示右手坐標(biāo)系中,梁上的彎矩 M與撓曲線的二階導(dǎo)數(shù) 符號(hào)相反；所以,上式的左端應(yīng)取負(fù)號(hào),即MxEI上式稱為撓曲線近似微分方程；實(shí)踐說(shuō)明, 由此方程求得的撓度和轉(zhuǎn)角,對(duì)工程運(yùn)算來(lái)說(shuō),已足夠精確；3、 積分法求彎曲變形積分法運(yùn)算梁的變形積分一次： =MxdxCCxDEI再積分一次：MxdxdxEIC、D為積分常數(shù),它由位移邊界與連續(xù)條件確定邊界條件：（1）固定端約束：限制線位移和角位移A B A0 ,A0 2 鉸支座：只限制線位移A B A0,B0C 連續(xù)條件：左右左右CCC

6、C4、疊加法求梁的變形 在第五章介紹用疊加法作彎矩圖時(shí), 曾介紹了材料力學(xué)的一個(gè)普遍原理疊加原理；在線彈性小變形前提下,構(gòu)件的支反力、內(nèi)力、應(yīng)力和變形都可以用 疊加法的方法運(yùn)算；彎曲變形時(shí),梁的撓度與轉(zhuǎn)角都與載荷成線性關(guān)系；因此,可以用疊加法運(yùn)算梁的彎曲變形；當(dāng)梁上有幾個(gè)載荷共同作用時(shí),可以分別運(yùn)算梁在每個(gè)載荷單獨(dú)作用時(shí)的變形,載荷共同作用時(shí)的總變形；然后進(jìn)行疊加, 即可求得梁在幾個(gè)應(yīng)用疊加法求梁的變形時(shí),如已知梁在簡(jiǎn)潔載荷作用時(shí)的變形,是很便利 的；5、梁的剛度校核5.1 剛度條件max或maxlmaxl 構(gòu)件的許用轉(zhuǎn)角 、l分別為構(gòu)件的許用撓度、單位長(zhǎng)度許用撓度5.2 剛度校核剛度校核是檢查梁在荷載作用下產(chǎn)生的變形是否超過(guò)容許值,在機(jī)械工程中,一般對(duì),都進(jìn)行校核；在建筑工程中,大多數(shù)只校核撓度；5.3 提高梁剛度的措施從撓曲線的近似微分方程及其積分可以看出,彎曲變形與彎矩大小、跨度長(zhǎng)短、支 座條件,梁截面的慣性矩 I 、材料的彈性模量 E 有關(guān)；故提高梁剛度的措施為：（1）改善結(jié)構(gòu)形式,減小彎矩 M ；（2）增加支承,減小跨度 l ；（3）選用合適的材料,增加彈性模量E ；但因各種鋼材的彈性模量基本相同,所以為提高梁的剛度而接