電磁場(chǎng)與電磁波第四章靜態(tài)場(chǎng)分析

1、電磁場(chǎng)與電磁波第四章靜態(tài)場(chǎng)分析第1頁(yè)，共34頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)35分，星期五一、靜態(tài)場(chǎng)特性1.靜態(tài)場(chǎng)基本概念靜電場(chǎng)是指由靜止的且其電荷量不隨時(shí)間變化的電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)。恒定電場(chǎng)是指導(dǎo)電媒質(zhì)中，由恒定電流產(chǎn)生的電場(chǎng)。恒定磁場(chǎng)是指由恒定電流或永久磁體產(chǎn)生的磁場(chǎng)，亦稱為靜磁場(chǎng)。 靜態(tài)場(chǎng)是指電磁場(chǎng)中的源量和場(chǎng)量都不隨時(shí)間發(fā)生變化的場(chǎng)。第2頁(yè)，共34頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)35分，星期五 靜態(tài)場(chǎng)與時(shí)變場(chǎng)的最本質(zhì)區(qū)別：靜態(tài)場(chǎng)中的電場(chǎng)和磁場(chǎng)是彼此獨(dú)立存在的。2.靜態(tài)場(chǎng)的麥克斯韋方程組第3頁(yè)，共34頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)35分，星期五1.靜電場(chǎng)的泊松方程和拉普拉斯方程二、泊松方程

2、和拉普拉斯方程 靜電場(chǎng)基本方程靜電場(chǎng)是有散(有源)無(wú)旋場(chǎng)，是保守場(chǎng)。泊松方程拉普拉斯方程無(wú)源區(qū)域 第4頁(yè)，共34頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)35分，星期五恒定電場(chǎng)的拉普拉斯方程恒定電場(chǎng)基本方程導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒定電場(chǎng)具有無(wú)散、無(wú)旋場(chǎng)的特征，是保守場(chǎng)拉普拉斯方程第5頁(yè)，共34頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)35分，星期五3.恒定磁場(chǎng)的矢量泊松方程庫(kù)倫規(guī)范 矢量泊松方程 恒定磁場(chǎng)基本方程 恒定磁場(chǎng)是無(wú)散有旋場(chǎng)。第6頁(yè)，共34頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)35分，星期五矢量拉普拉斯方程 分解小結(jié)：兩類靜態(tài)場(chǎng)問(wèn)題：分布型問(wèn)題：已知場(chǎng)源，直接計(jì)算空間各點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)和位函數(shù)；邊值型問(wèn)題：給定邊界條件，求有界空

3、間的場(chǎng)分布。 靜態(tài)場(chǎng)的邊值問(wèn)題，可歸結(jié)為在給定邊界條件下，求解拉氏方程和泊松方程。第7頁(yè)，共34頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)35分，星期五邊值問(wèn)題研究方法計(jì)算法實(shí)驗(yàn)法作圖法解析法數(shù)值法實(shí)測(cè)法模擬法定性定量分離變量法鏡像法、電軸法微分方程法保角變換法有限差分法有限元法邊界元法矩量法模擬電荷法數(shù)學(xué)模擬法物理模擬法邊值問(wèn)題研究方法積分法第8頁(yè)，共34頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)35分，星期五三、靜態(tài)場(chǎng)的重要原理和定理 1.對(duì)偶原理（1）場(chǎng)源的概念 為了分析某些電磁場(chǎng)問(wèn)題的方便，我們引入了磁荷和磁流的概念，這樣場(chǎng)源的概念將擴(kuò)大到電荷、磁荷、電流和磁流。體磁荷密度 面磁荷密度 體磁流密度 第9頁(yè)

4、，共34頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)35分，星期五引入以上等效場(chǎng)源后，Maxwell方程修改為：對(duì)應(yīng)電流連續(xù)性方程，引入磁流連續(xù)性方程第10頁(yè)，共34頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)35分，星期五電磁場(chǎng)的邊界條件也做相應(yīng)的修改 對(duì)于理想導(dǎo)體（=），其邊界條件為： 凡是滿足理想導(dǎo)體邊界條件的曲面稱為電壁。 對(duì)于理想磁體（=），其邊界條件為： 凡是滿足理想磁體邊界條件的曲面稱為磁壁。第11頁(yè)，共34頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)35分，星期五磁流強(qiáng)度 圖（a）是一密繞螺線管，電感量為L(zhǎng)，長(zhǎng)度為l,通低頻電流 ，我們可以將其看作一塊磁鐵，磁體內(nèi)部有磁流K，磁鐵兩端分別有磁荷 和 ，因而構(gòu)成一個(gè)

5、磁偶極子（圖b），且有磁流強(qiáng)度 l（a）（b）lK 對(duì)圖（c）所示小圓環(huán)電流就其遠(yuǎn)區(qū)輻射場(chǎng)而言，可以等效為圖（b）所示磁流元（c）第12頁(yè)，共34頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)35分，星期五（2）對(duì)偶原理只有電荷、電流只有磁荷、磁流存在以下對(duì)偶關(guān)系電荷、電流磁荷、磁流 兩個(gè)方程組的數(shù)學(xué)形式完全相同，做對(duì)偶變換后可有一個(gè)方程組得到另一個(gè)方程組，可由一類邊界條件得到另一類邊界條件。第13頁(yè)，共34頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)35分，星期五 如果描述兩種物理現(xiàn)象的方程具有相同的數(shù)學(xué)形式，并具有對(duì)應(yīng)的邊界條件，那么它們解的數(shù)學(xué)形式也將是相同的，這就是對(duì)偶原理，亦稱為二重性原理。具有同樣數(shù)學(xué)形式的

6、兩個(gè)方程稱為對(duì)偶方程，在對(duì)偶方程中，處于同等地位的量稱為對(duì)偶量。例ILrzKlrzISrz第14頁(yè)，共34頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)35分，星期五教材上總結(jié)出了靜態(tài)場(chǎng)與恒定電場(chǎng)、靜電場(chǎng)與恒定磁場(chǎng)之間的對(duì)偶關(guān)系。應(yīng)用對(duì)偶原理，可由一類問(wèn)題的解，經(jīng)過(guò)對(duì)偶量的替換，得到另一類問(wèn)題的解；或者將單一問(wèn)題按對(duì)偶原理分為兩部分，這樣工作量可以減半。應(yīng)用對(duì)偶原理，不僅要求方程具有對(duì)偶性，而且要求邊界條件也具有對(duì)偶性。在有源的情況下，對(duì)偶性依然存在，第15頁(yè)，共34頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)35分，星期五2.疊加原理 利用疊加定理，可以把比較復(fù)雜的場(chǎng)問(wèn)題分解為較簡(jiǎn)單問(wèn)題的組合，便于求解。 若 和 分

7、別滿足拉普拉斯方程，則 和 的線性組合： 必然滿足拉普拉斯方程。 第16頁(yè)，共34頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)35分，星期五3.惟一性定理狄里赫利問(wèn)題第一類邊值問(wèn)題第二類邊值問(wèn)題第三類邊值問(wèn)題諾伊曼問(wèn)題（1）邊值問(wèn)題的分類混合邊值問(wèn)題第17頁(yè)，共34頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)35分，星期五（2）惟一性定理 惟一性定理：在給定邊界條件下，泊松方程或拉普拉斯方程的解是惟一的。理解靜態(tài)場(chǎng)的邊值問(wèn)題能用解析法直接求解的并不多，許多問(wèn)題需借助各種間接方法求解。那么用各種方法求得的邊值問(wèn)題的解是否正確？邊值問(wèn)題的解是不是獨(dú)一無(wú)二的？ 這就是邊值問(wèn)題的惟一性問(wèn)題。惟一性定理對(duì)上述問(wèn)題做了肯定的回答

8、，它表明只要給出場(chǎng)域內(nèi)的位函數(shù)分布及邊界面上的函數(shù)值，則場(chǎng)分布是唯一確定的。第18頁(yè)，共34頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)35分，星期五例：圖示平板電容器極板之間的電位，哪一個(gè)解 答正確？答案：（ C ）圖 平板電容器外加電源U0第19頁(yè)，共34頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)35分，星期五四、鏡像法 待求區(qū)域的電場(chǎng)由分布電荷與邊界條件共 同決定；鏡像法就是在待求區(qū)域之外，用一些假想 的電荷代替場(chǎng)問(wèn)題的邊界；鏡像法只使用于一些比較特殊的邊界；這些假想的電荷稱為鏡像電荷，大多是一 些點(diǎn)電荷或者線電荷；鏡像法的理論依據(jù)是唯一性定理；鏡像電荷的選取原則：B、鏡像電荷不能改變?cè)吔鐥l件。A、鏡像電荷

9、必須位于待求區(qū)域之外；第20頁(yè)，共34頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)35分，星期五1.點(diǎn)電荷對(duì)無(wú)限大接地導(dǎo)體平面的鏡像鏡像電荷有多大？放在什么地方？圖 平面導(dǎo)體的鏡像 例：設(shè)無(wú)限大接地導(dǎo)體平面上方d處有一點(diǎn)電荷q，求上半空間電位。 鏡像電荷為-q，放在和q對(duì)稱的地方。所以第21頁(yè)，共34頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)35分，星期五對(duì)于兩相交平面，角域夾角為/n，n為整數(shù)時(shí)，有(2n1)個(gè)鏡像電荷。對(duì)于平面邊界，鏡像電荷位于與實(shí)際電荷關(guān)于邊界對(duì)稱的位置上，且兩者大小相，符號(hào)相反。第22頁(yè)，共34頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)35分，星期五2.點(diǎn)電荷對(duì)接地導(dǎo)體球的鏡像例：一半徑為a的導(dǎo)體球，

10、外殼接地一點(diǎn)電荷q1置于距球心距離d處，求球外電位分布。第23頁(yè)，共34頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)35分，星期五從而求得另外，r1，r2 可以表示為第24頁(yè)，共34頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)35分，星期五鏡像電荷的量值與原電荷一般不相等；導(dǎo)體球在靠近點(diǎn)電荷一邊感應(yīng)密度大，而 遠(yuǎn)離的一邊密度小，同時(shí)考慮到球上電荷 分布左右對(duì)稱，所以鏡像電荷應(yīng)位于上半 球內(nèi)的球心與實(shí)際電荷的連線上。第25頁(yè)，共34頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)35分，星期五五、分離變量法（直角坐標(biāo)系） 分離變量法是一種最經(jīng)典的微分方程法，它適用于求解一類具有理想邊界條件的典型邊值問(wèn)題 。其主導(dǎo)思想就是將求解偏微分方

11、程定解的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解常微分方程的問(wèn)題。第26頁(yè)，共34頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)35分，星期五應(yīng)用實(shí)例 例：圖示一無(wú)限長(zhǎng)金屬槽，其三壁接地，另一壁與三壁絕緣且保持電位為 ，金屬槽截面為正方形如圖示,試求金屬槽內(nèi)電位的分布。 解：選定直角坐標(biāo)系（D域內(nèi)）邊值問(wèn)題第27頁(yè)，共34頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)35分，星期五 分離變量法的前提是假設(shè)待求函數(shù)有分離變量形式的解。代入到二維拉氏方程：分離常數(shù)第28頁(yè)，共34頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)35分，星期五 為實(shí)數(shù)， 為虛數(shù)。 為虛數(shù)， 為實(shí)數(shù)。當(dāng) 取不同形式的值時(shí)， 的解： 為實(shí)數(shù)，第29頁(yè)，共34頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)35分，星期五若在某一個(gè)方向的邊界條件周期的，則該 坐標(biāo)的分離常數(shù)必為實(shí)數(shù)，其解要選三角 函數(shù)；若在某一個(gè)方向的邊界條件是非周期的， 則該方向的解要選雙曲函數(shù)；若函數(shù)與某一坐標(biāo)無(wú)關(guān)，則該方向的分離 常數(shù)為0。結(jié)論：要滿足邊界條件 只有選取： 為實(shí)數(shù)，第30頁(yè)，共34頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)35分，星期五注意：不能得到A10 雙曲函數(shù)第31頁(yè)，共34頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)35分，星期五第32頁(yè)，共34頁(yè)，2022年，5月20日，6點(diǎn)35分，星期五第