導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用-函數(shù)的極值課件

1、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用函數(shù)的極值導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用函數(shù)的極值利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性的基本步驟為:求函數(shù)的定義域;求函數(shù)的導(dǎo)數(shù) ;解不等式 0得f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間; 解不等式 0).當(dāng)x變化時, ,f(x)的變化情況如下表: x(-,-a) -a(-a,0)(0,a) 練習(xí):求函數(shù) 的極值.解:令 =0,解得x1=-1,x2=1.當(dāng)x變化時, ,y的變化情況如下表: x(-,-1) -1(-1,1) 1 (2,+) y - 0 + 0 - y 極大值-3 極小值3 因此,當(dāng)x=-1時有極大值,并且,y極大值=3;而,當(dāng)x=1時有極小值,并且,y極小值=- 3.課堂練習(xí)課本P130 練習(xí) 練習(xí):求函數(shù) 的

2、極值.解:令 1.設(shè)函數(shù)y=f(x)在x0及其附近有定義,如果f(x0)的值比x0附近所有各點的函數(shù)值都大,我們說f(x0)是函數(shù)y=f(x)的一個極大值;如果f(x0)的值比x0附近所有各點的函數(shù)值都小,我們說f(x0)是函數(shù)y=f(x)的一個極小值.極大值與極小值統(tǒng)稱極值.2.當(dāng)函數(shù)f(x)在x0處連續(xù)時,判別f(x0)是極大(小)值的方法是:課堂小結(jié)(1):如果在x0附近的左側(cè) 那么,f(x0)是極大值; (2):如果在x0附近的左側(cè) 那么,f(x0)是極小值.3.理解函數(shù)極值的定義時應(yīng)注意:(1)函數(shù)的極值是一個局部性的概念,極值點是區(qū)間內(nèi)部的點而不會是端點.(2)若f(x)在某區(qū)間內(nèi)

3、有極值,那么f(x)在某區(qū)間內(nèi)一定不是單調(diào)函數(shù),即在區(qū)間上單調(diào)的函數(shù)沒有極值.1.設(shè)函數(shù)y=f(x)在x0及其附近有定義,如果f(x0)的(3)極大值與極小值沒有必然的大小關(guān)系,即極大值不一定比極小值大,極小值不一定比極大值小.(4)函數(shù)f(x)在某區(qū)間內(nèi)有極值,它的極值點的分布是有規(guī)律的,相鄰兩個極大值點之間必有一個極小值點,同樣相鄰兩個極小值點之間必有一個極大值點.一般地,當(dāng)函數(shù)f(x)在某區(qū)間上連續(xù)且有有限極值點時,函數(shù)f(x)在該區(qū)間內(nèi)的極大值點與極小值點是交替出現(xiàn)的.課堂小結(jié)(6)極值只能在函數(shù)不可導(dǎo)的點或?qū)?shù)為零的點取到.4.確定函數(shù)的極值應(yīng)從幾何直觀入手,理解可導(dǎo)函數(shù)在其定義域上

4、的單調(diào)性與函數(shù)極值的相互關(guān)系,掌握利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)極值的基本方法.(5)導(dǎo)數(shù)為零的點是該點為極值點的必要條件,而不是充分條件.(3)極大值與極小值沒有必然的大小關(guān)系,即極大值不一定比極小例:已知函數(shù)f(x)=-x3+ax2+b.(1)若函數(shù)f(x)在x=0,x=4處取得極值,且極小值為-1,求a、b的值.(2)若 ,函數(shù)f(x)圖象上的任意一點的切線斜率為k,試討論k-1成立的充要條件 . 解:(1)由 得x=0或x=4a/3.4a/3=4,a=6.由于當(dāng)x0時, 故當(dāng)x=0時,f(x)達到極小值f(0)=b,所以b=-1.(2)等價于當(dāng) 時,-3x2+2ax-1恒成立,即g(x)=3x2-2

5、ax-10對一切 恒成立.由于g(0)=-10,故只需g(1)=2-2a0,即a1.反之,當(dāng)a1時,g(x)0對一切 恒成立.所以,a1是k-1成立的充要條件. 例題講解例:已知函數(shù)f(x)=-x3+ax2+b.(1)若函數(shù)f(x x(-, 0) 0(0,1)1(1,2) 2(2,+) f(x)- 不存在 +0 -不存在 + f(x) 極小值0 極大值1 極小值0 例題講解 x(-, 0) 0(0,1)1(1,2) 例:已知函數(shù) f(x)滿足條件:當(dāng)x2時, ;當(dāng) x2,由條件可知 ,即:當(dāng) 時,x22時, 例:已知f(x)=ax5-bx3+c在x= 1處有極值,且極大值為 4,極小值為0.試

6、確定a,b,c的值.解:由題意, 應(yīng)有根 ,故5a=3b,于是:(1)設(shè)a0,列表如下: x -1 (-1,1) 1 + 0 0 0 + f(x) 極大值 極小值 由表可得 ,即 .又5a=3b,解得a=3,b=5,c=2.例題講解 例:已知f(x)=ax5-bx3+c在x= 1處有極(2)若a0,列表如下: x -1 (-1,1) 1 - 0 0 0 - f(x) 極小值 極大值 由表可得 ,即 .又5a=3b,解得a=-3,b=-5,c=2. 例:已知f(x)=ax5-bx3+c在x= 1處有極值,且極大值為 4,極小值為0.試確定a,b,c的值.例題講解(2)若a0,列表如下: x -1 (-1,1練習(xí):已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1處有極值為 10,求a、b的值.解: =3x2+2ax+b=0有一個根x=1,故3+2a+b=0.又f(1)=10,故1+a+b+a2=10.由、解得 或當(dāng)a=-3,b=3時, ,此時f(x)在x=1處無極值