《平行四邊形》全章復習與鞏固（基礎）知識講解

1、平行四邊形全章復習與鞏固（基礎）責編：杜少波【學習目標】1.掌握平行四邊形的性質(zhì)定理和判定定理.2.掌握三角形的中位線定理.3.了解多邊形的定義以及內(nèi)角、外角、對角線等概念.掌握多邊形的內(nèi)角和與外角和公式.4.積累數(shù)學活動經(jīng)驗，發(fā)展推理能力.【知識網(wǎng)絡】【要點梳理】要點一、平行四邊形的定義平行四邊形：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形. 平行四邊形ABCD記作“口ABCD”，讀作“平行四邊形ABCD”. 要點詮釋：平行四邊形是中心對稱圖形，兩條對角線的交點是它的對稱中心.要點二、平行四邊形的性質(zhì)定理 平行四邊形的對角相等；平行四邊形的對邊相等；平行四邊形的對角線互相平分；要點詮釋：（1）平

2、行四邊形的性質(zhì)定理中邊的性質(zhì)可以證明兩邊平行或兩邊相等；角的性質(zhì)可以證明兩角相等或兩角互補；對角線的性質(zhì)可以證明線段的相等關系或倍半關系.（2）由于平行四邊形的性質(zhì)內(nèi)容較多，在使用時根據(jù)需要進行選擇.（3）利用對角線互相平分可解決對角線或邊的取值范圍的問題，在解答時應聯(lián)系三角形三邊的不等關系來解決.要點三、平行四邊形的判定定理1.兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；2.一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；3.兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；4.兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；5.對角線互相平分的四邊形是平行四邊形.要點詮釋：這些判定方法是學習本章的基礎，必須牢固掌握，當幾種方

3、法都能判定同一個行四邊形時，應選擇較簡單的方法.（2）這些判定方法既可作為判定平行四邊形的依據(jù)，也可作為“畫平行四邊形”的依據(jù).要點四、平行線間的距離1.兩條平行線間的距離：（1）定義：兩條平行線中，一條直線上的任意一點到另一條直線的距離，叫做這兩條平行線間的距離.注：距離是指垂線段的長度，是正值.2平行線性質(zhì)定理及其推論夾在兩條平行線間的平行線段相等.平行線性質(zhì)定理的推論：夾在兩條平行線間的垂線段相等.要點五、三角形的中位線三角形的中位線1連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線.2定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半.要點詮釋：（1）三角形有三條中位線，每一條與第三邊都

4、有相應的位置關系與數(shù)量關系.（2）三角形的三條中位線把原三角形分成可全等的4個小三角形.因而每個小三角形的周長為原三角形周長的，每個小三角形的面積為原三角形面積的.（3）三角形的中位線不同于三角形的中線.要點六、多邊形內(nèi)角和、外角和 邊形的內(nèi)角和為(2)180(3)要點詮釋：(1)內(nèi)角和定理的應用：已知多邊形的邊數(shù)，求其內(nèi)角和；已知多邊形內(nèi)角和求其邊數(shù)；(2)正多邊形的每個內(nèi)角都相等，都等于； 多邊形的外角和為360邊形的外角和恒等于360，它與邊數(shù)的多少無關.【典型例題】類型一、平行四邊形的性質(zhì)與判定1、如圖，在口ABCD中，點E在AD上，連接BE，DFBE交BC于點F，AF與BE交與點M，

5、CE與DF交于點N求證：四邊形MFNE是平行四邊形【答案與解析】證明：四邊形ABCD是平行四邊形.ADBC，ADBC（平行四邊形的對邊相等且平行）又DFBE（已知）四邊形BEDF是平行四邊形（兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形）DEBF（平行四邊形的對邊相等）ADDEBCBF，即AECF又AECF四邊形AFCE是平行四邊形（一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）AFCE四邊形MFNE是平行四邊形（兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形）【總結(jié)升華】要證明一個四邊形是平行四邊形首先要根據(jù)已知條件選擇一種合理的判定方法，如本題中已有一邊平行，只須說明另一邊也平行即可，故選用“兩組對邊分別平行的四

6、邊形是平行四邊形”來證明.舉一反三：【變式】如圖，等腰ABC中，D是BC邊上的一點，DEAC，DFAB，通過觀察分析線段DE，DF，AB三者之間有什么關系，試說明你的結(jié)論【答案】ABDEDF，理由：DEAC，DFAB，四邊形AEDF是平行四邊形，CEDBDFAE等腰ABC，BC，BEDB，DEBE，ABAEBEDFDE2、完成下列各題：（1）如圖1，四邊形ABCD中，ABCD，BD，BC6，AB3，求四邊形ABCD的周長（2）已知：如圖2，在ABC中，D為邊BC上的一點，AD平分EDC，且EB，DEDC求證：ABAC【思路點撥】（1）首先判定四邊形ABCD是平行四邊形，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和

7、周長公式計算即可；（2）由已知條件證明ADEADC可得到EC，又EB，所以BC，進而證明ABAC【答案與解析】（1）解：ABCD，BC180，又BD，CD180，ADBC，ABCD是平行四邊形，ABCD3，BCAD6，四邊形ABCD的周長262318；（2）證明：AD平分EDC，ADEADC，又DEDC，ADAD，ADEADC，EC，又EB，BC，ABAC【總結(jié)升華】（1）本題考查了平行四邊形的判定和平行四邊形的性質(zhì)以及求平行四邊形的周長；（2）本題考查了全等三角形的判定和全等三角形的性質(zhì)以及等腰三角形的證明舉一反三：【變式】如圖，已知口ABCD中，F(xiàn)是BC邊的中點，連接DF并延長，交AB的延

8、長線于點E求證：ABBE【答案】證明：F是BC邊的中點，BFCF，四邊形ABCD是平行四邊形，ABDC，ABCD，CFBE，CDFE，在CDF和BEF中CDFBEF（AAS），BEDC，ABDC，ABBE3、（2022哈爾濱）如圖1，口ABCD中，點O是對角線AC的中點，EF過點O，與AD，BC分別相交于點E，F(xiàn)，GH過點O，與AB，CD分別相交于點G，H，連接EG，F(xiàn)G，F(xiàn)H，EH（1）求證：四邊形EGFH是平行四邊形；（2）如圖2，若EFAB，GHBC，在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖2中與四邊形AGHD面積相等的所有平行四邊形（四邊形AGHD除外）【思路點撥】（1）由四邊形ABC

9、D是平行四邊形，得到ADBC，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到EAO=FCO，證出OAEOCF，得到OE=OF，同理OG=OH，根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形得到結(jié)論；（2）根據(jù)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形即可得到結(jié)論【答案與解析】（1）證明：四邊形ABCD是平行四邊形，ADBC，EAO=FCO，在OAE與OCF中，OAEOCF，OE=OF，同理OG=OH，四邊形EGFH是平行四邊形；（2）解：與四邊形AGHD面積相等的所有平行四邊形有口GBCH，口ABFE，口EFCD，口EGFH；四邊形ABCD是平行四邊形，ADBC，ABCD，EFAB，GHBC，四邊形GBCH，ABFE，EFCD，

10、EGFH為平行四邊形，EF過點O，GH過點O，OE=OF，OG=OH，口GBCH，口ABFE，口EFCD，口EGFH，口ACHD它們面積=口ABCD的面積，與四邊形AGHD面積相等的所有平行四邊形有口GBCH，口ABFE，口EFCD，口EGFH【總結(jié)升華】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的判定定理是解題的關鍵4、如圖，D是ABC的邊AB上一點，CNAB，DN交AC于點M，若MAMC（1）求證：CDAN；（2）若ACDN，CAN30，MN1，求四邊形ADCN的面積【思路點撥】（1）利用“平行四邊形ADCN的對邊相等”的性質(zhì)可以證得CDAN；（2）根據(jù)“

11、直角AMN中的30度角所對的直角邊是斜邊的一半”求得AN2MN2，然后由勾股定理得到AM，則S四邊形ADCN4SAMN2【答案與解析】（1）證明：CNAB，12在AMD和CMN中，AMDCMN（ASA），ADCN又ADCN，四邊形ADCN是平行四邊形，CDAN；（2）解：ACDN，CAN30，MN1，AN2MN2，AM，SAMNAMMN1四邊形ADCN是平行四邊形，S四邊形ADCN4SAMN2【總結(jié)升華】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、勾股定理以及全等三角形的判定與性質(zhì)解題時，還利用了直角三角形的性質(zhì)：在直角三角形中，30角所對的直角邊是斜邊的一半類型二、三角形的中位線5、如果三角形的兩條邊

12、分別為4和6，那么連結(jié)該三角形三邊中點所得的周長可能是下列數(shù)據(jù)中的（）A6 B8 C10 D12【思路點撥】本題依據(jù)三角形三邊關系，可求第三邊大于2小于10，原三角形的周長大于12小于20，連接中點的三角形周長是原三角形周長的一半，那么新三角形的周長應大于6而小于10，看哪個符合就可以了【答案與解析】解：設三角形的三邊分別是，令4，6，則2c10，12三角形的周長20，故6中點三角形周長10故選B【總結(jié)升華】本題重點考查了三角形的中位線定理，利用三角形三邊關系，確定原三角形的周長范圍是解題的關鍵舉一反三：【變式】（2022春太倉市期中）ABC中E是AB的中點，CD平分ACB，ADCD與點D，求證：DE=（BCAC）【答案】解：延長AD交BC于F，CD平分ACB，ADCD，ACD=BCD，ADC=FDC=90，又CD=CD， ADCFDC（ASA）AC=CF，AD=FD又ABC中E是AB的中點，DE是ABF的中位線，DE=BF=（BCCF）=（BCAC）類型三、多邊形內(nèi)角和與外角和6、一個多邊形的內(nèi)角和與外角和相等，則這個多邊形是（）A四邊形 B五邊形 C六邊形 D八邊形【思路點撥】首先設此多邊形是邊形，由多邊形的外角和為360，即可得方程180（2）360，解此方程即可求得答案【答案】A；【解析】解