大學物理上第2章3能量守恒定律課件

1、對固定點o，質點m所受合外力矩對o點角動量守恒（大小、方向均不變）mgToOmlR.L+L+對固定點o，質點m所受合外力矩對o點角動量L+.L+方向隨時間變化*合外力矩、角動量均對同一點而言大小 Lo=mvl例：不守恒小球所受合外力指向o對o點小球受合外力矩為零對固定點o，質點m所受合外力矩對o點角動量守恒（大小、方向均解：分析 F為有心力， 角動量守恒。例：繩往下拉，小球半徑由 r1 減為 r2，小球速度v1v2與的關系？光滑桌面解：分析 F為有心力，例：繩往下拉，小球半徑由 r1 減例2：在圖示裝置中，盤與重物的質量均為m，膠泥的質量為m, 原來重物與盤靜止，讓膠泥從h高處自由落下，求膠泥

2、粘到盤上后獲得的速度 解：把盤、重物、膠泥視為質點系，在膠泥與 盤的碰撞過程中，繩的拉力，盤與重物所受的重力對o軸的力矩之和始終為零，忽略膠泥所受重力，所以質點系在碰撞過程中對o軸的角動量守恒 膠泥碰前速度 ，設碰撞后質點系獲得的共同速度為v ，據(jù)角動量守恒 討論：質點系動量是否守恒？ 方程*并不表示動量守恒，若動量守恒，應寫成： mmhmvvvo正方向o例2：在圖示裝置中，盤與重物的質量均為m，膠泥的質量為m,2-4 能量守恒定律2-4-1 功和功率 功是度量能量轉換的基本物理量，它描寫了力對空間積累作用。功的定義：國際單位：焦耳（J ）Nm1、恒力的功2-4 能量守恒定律2-4-1 功和功

3、率 功是度量能 質點由a點沿曲線運動到b點的過程中，變力 所作的功 。（2）元功：2、變力的功（1）位移元的一小段位移 質點由a點沿曲線運動到b點的過程中，變力 合力的功：結論：合力對質點所作的功等于每個分力對質點作功之代數(shù)和 。合力的功：結論：合力對質點所作的功等于每個分力對質點作功之代在直角坐標系Oxyz中 此式的意義是合力的功等于各分力功之和。在直角坐標系Oxyz中 此式的意義是合力的功等于各分力功之和功的兩種計算方法：drFa12功的兩種計算方法：drFa122-4-3 保守力與非保守力 勢能（1）重力的功初始位置a末了位置b重力的功只決定于作功的起點和終點，而與路徑無關。2-4-3

4、保守力與非保守力 勢能（1）重力的功初始位置a重力的功保守力的定義：如果 有一力，它對質點所作的功只決定于起點和終點,與路徑無關，稱此力為保守力或有勢力。若質點由b點沿紅線運動到a點:質點由a點沿黃線運動到b點： 或：繞閉合路徑一周，保守力的功為零重力的功保守力的定義：如果 有一力，它對質點所作的功只決定于（2） 萬有引力作功 設質量為M的質點固定，另一質量為m的質點在M 的引力場中從a點運動到b點。drFab太陽M地球m萬有引力作功只與質點的始、末位置有關，而與路徑無關（2） 萬有引力作功 設質量為M的質點固定，另一質量為（3）彈性力的功x2box1mxamFx由虎克定律： 彈性力作功只與彈

5、簧的起始和終了位置有關，而與彈性變形的過程無關。（3）彈性力的功x2box1mxamFx由虎克定律： 例1、設作用在質量為2kg的物體上的力F = 6t N。如果物體由靜止出發(fā)沿直線運動，在頭2（s）內(nèi)這力作了多少功？解：兩邊積分：例1、設作用在質量為2kg的物體上的力F = 6t N。如果功率是反映作功快慢程度的物理量。功率：單位時間內(nèi)所作的功。平均功率：瞬時功率：瓦特（W）=（J/s）功率是反映作功快慢程度的物理量。功率：單位時間內(nèi)所作的功。平平均功率:瞬時功率:=PP=dWdt=Fdr.dt=F.vLAB例2：求單擺在A,B兩點的重力瞬時功率A點重力的瞬時功率:B點重力的瞬時功率平均功率

6、:瞬時功率:=PP=dWdt=Fdr.dt=F.vL2-4-2 動能和動能定理 動能：質點因有速度而具有的作功本領。單位：（J）設質點m在力的作用下沿曲線從a點移動到b點元功：1質點動能定理2-4-2 動能和動能定理 動能：質點因有速度而具有的作功總功：質點的動能定理：合外力對質點所做的功等于質點動能的增量?？偣Γ嘿|點的動能定理：合外力對質點所做的功等于質點動能的增量2質點系的動能定理 i一個由n個質點組成的質點系，考察第i個質點。 質點的動能定理： 對系統(tǒng)內(nèi)所有質點求和 2質點系的動能定理 i一個由n個質點組成的質點系，考察第i 質點系動能的增量等于作用于系統(tǒng)的所有外力和內(nèi)力作功之代數(shù)和。質

7、點系的動能定理： 內(nèi)力做功可以改變系統(tǒng)的總動能。 值得注意： 質點系動能的增量等于作用于系統(tǒng)的所有外力和內(nèi)例3 如圖，鐵錘質量M,將質量為m 的釘子敲入木板。設木板對釘子的阻力與釘子進入木板的深度成正比。第一次敲打時，釘子敲入1cm深，若第二次敲釘子的情況與第一次完全相同，問第二次能把釘子敲入多深？解設鐵錘敲打釘子前的速度為v0，敲打后兩者的共同速度為v。 例3 如圖，鐵錘質量M,將質量為m 的釘子敲入木板。設木板對鐵錘第一次敲打時，克服阻力做功，設釘子所受阻力大小為： 由動能定理， 有：設鐵錘第二次敲打時能敲入的深度為S ，則有鐵錘第一次敲打時，克服阻力做功，設釘子所受阻力大小為： 由動化簡

8、后第二次能敲入的深度為： 化簡后第二次能敲入的深度為： 例4. 傳送帶沿斜面向上運行速度為v = 1m/s，設物料無初速地每秒鐘落到傳送帶下端的質量為M = 50kg/s，并被輸送到高度h = 5m處，求配置的電動機所需功率。（忽略一切由于摩擦和碰撞造成的能量損失）解：由動能定理電動機的功重力的功物料動能的增量考慮質量為Mt 的物料動能的增量：例4. 傳送帶沿斜面向上運行速度為v = 1m/s，設物料無電動機對系統(tǒng)做的功：由動能定理：重力做功：電動機對系統(tǒng)做的功：由動能定理：重力做功：保守力的功與勢能的關系：物體在保守力場中a、b兩點的勢能Epa與 Epb之差，等于質點由a點移動到b點過程中保

9、守力所做的功Wab。保守力做功在數(shù)值上等于系統(tǒng)勢能的減少。勢能（Ep）:由物體的相對位置所確定的系統(tǒng)能量勢能保守力的功與勢能的關系：物體在保守力場中a、b兩點的勢能Ep說明：（1）勢能是一個系統(tǒng)的屬性。勢能的大小只有相對的意義，相對于勢能的零點而言。（2）（3）勢能的零點可以任意選取。 設空間r0點為勢能的零點，則空間任意一點 r的勢能為：結論： 空間某點的勢能Ep在數(shù)值上等于質點從該點移動到勢能零點時保守力做的功。說明：（1）勢能是一個系統(tǒng)的屬性。勢能的大小只有相對的意義，重力勢能：（地面（h = 0）為勢能零點）彈性勢能：（彈簧自由端為勢能零點）引力勢能：（無限遠處為勢能零點）重力勢能：（

10、地面（h = 0）為勢能零點）彈性勢能：（彈簧自保守力與勢能的積分關系：保守力與勢能的微分關系：因為： 保守力等于勢能梯度的負值保守力與勢能的積分關系：保守力與勢能的微分關系：因為： 2-4-4 機械能守恒定律質點系的動能定理：其中2-4-4 機械能守恒定律質點系的動能定理：其中機械能 質點系機械能的增量等于所有外力和所有非保守內(nèi)力所作功的代數(shù)和。 質點系的功能原理如果， 當系統(tǒng)只受保守內(nèi)力作功時，質點系的總機械能保持不變。機械能守恒定律 機械能 質點系機械能的增量等于所有外力和所有非保守內(nèi)力注意：（4）機械能守恒定律只適用于慣性系，不適合于非慣性系。這是因為慣性力可能作功。（5）在某一慣性系

11、中機械能守恒，但在另一慣性系中機械能不一定守恒。這是因為外力的功與參考系的選擇有關。對一個參考系外力功為零，但在另一參考系中外力功也許不為零。（1）機械能是指物體系的動能與勢能的和；（2）決定是外力的功和非保守內(nèi)力的功，不能理解為合力的功；(3) 不出現(xiàn)在功能原理表達式中，即保守內(nèi)力做功不影響系統(tǒng)的總機械能。注意：（4）機械能守恒定律只適用于慣性系，不適合于非慣性系。 例5： 如圖,設所有接觸都是光滑的。m-劈尖系統(tǒng)由靜止開始運動。當m落到桌面上時，劈尖的速度有多大？hmaM 例5： 如圖,設所有接觸都是光滑的。hmaM(=)h2singmmv212acosvv+a2Mv21,20M=amvc

12、osvv()hmaMvvva解：設鐵塊相對劈尖的 滑行速度為 v由動量守恒得：amvcosMm+()v=(1)由機械能守恒得：(=)h2singmmv212acosvv+a2Mv21(=)h2singmmv212acosvv+a2Mv212=22+h2gmm2acosvMMm+()sina2()=+hgmm2acosvMMm+()sina2()+=h2gmmv22acosv+Mv2vv2(2)amvcosMm+()v=(1)將(1)代入(2)經(jīng)整理后得：(=)h2singmmv212acosvv+a2Mv21例6. 一長度為2l的均質鏈條，平衡地懸掛在一光滑圓柱形木釘上。若從靜止開始而滑動，求

13、當鏈條離開木釘時的速率（木釘?shù)闹睆娇梢院雎裕┙庠O單位長度的質量為始末兩態(tài)的中心分別為c和c機械能守恒：解得例6. 一長度為2l的均質鏈條，平衡地懸掛在一光滑圓柱形木例7. 計算第一，第二宇宙速度1. 第一宇宙速度已知：地球半徑為R，質量為M，衛(wèi)星質量為m。要使衛(wèi)星在距地面h高度繞地球作勻速圓周運動，求其發(fā)射速度。解：設發(fā)射速度為v1，繞地球的運動速度為v。機械能守恒：RMm例7. 計算第一，第二宇宙速度1. 第一宇宙速度已知：地球半由萬有引力定律和牛頓定律：解方程組，得：代入上式，得：由萬有引力定律和牛頓定律：解方程組，得：代入上式，得：2. 第二宇宙速度宇宙飛船脫離地球引力而必須具有的發(fā)射速

14、度（1）脫離地球引力時，飛船的動能必須大于或至少 等于零。由機械能守恒定律：解得：（2）脫離地球引力處，飛船的引力勢能為零。2. 第二宇宙速度宇宙飛船脫離地球引力而必須具有的發(fā)射速度2-4-5 碰撞碰撞：相互作用力極大， 相互作用時間短 2-4-5 碰撞碰撞：相互作用力極大，動量守恒完全彈性碰撞：碰撞后物體系統(tǒng)的機械能沒有損失。 非彈性碰撞：碰撞后物體系統(tǒng)的機械能有損失。 完全非彈性碰撞：碰撞后物體系統(tǒng)的機械能有損失，且碰撞后物體以同一速度運動。 動量守恒完全彈性碰撞：碰撞后物體系統(tǒng)的機械能沒有損失。 非彈1. 完全彈性碰撞 (1) 如果m1= m2 ，則v1 = v20 ，v2 = v10，

15、即兩物體在碰撞時速度發(fā)生了交換。 (2) 如果v20 =0 , 且 m2 m1, 則v1 = - v10, v2 = 01. 完全彈性碰撞 (1) 如果m1= m2 ，則v1 2完全非彈性碰撞 由動量守恒定律完全非彈性碰撞中動能的損失 2完全非彈性碰撞 由動量守恒定律完全非彈性碰撞中動能的損失牛頓的碰撞定律：在一維對心碰撞中，碰撞后兩物體的分離速度 v2- v1 與碰撞前兩物體的接近速度 v10- v20 成正比，比值由兩物體的材料性質決定。 3*非彈性碰撞 e 為恢復系數(shù) e = 0，則v2 = v1，為完全非彈性碰撞。 e =1，則分離速度等于接近速度，為完全彈性碰撞。 一般非彈性碰撞碰撞

16、：0 e 1 牛頓的碰撞定律：在一維對心碰撞中，碰撞后兩物體的分離速度 v例：三個物體、，每個質量均為，、靠在一起，放在光滑的水平桌面上，兩者間有一段長為此0.4m的細繩，原先放松著。的另一側用一跨過桌邊的定滑輪的細繩與相連，滑輪和繩子的質量及輪軸上的摩擦不計，繩子不可伸長，求：（）、起動后，經(jīng)多長時間也開始運動？（）開始后運動的速度是多少？（g取10m/s)BCAM解：（）：g例：三個物體、，每個質量均為，、靠在一起，放在BCAMl(2)B、C之間繩子剛拉緊時，和的速度為1=at=2/s.設開始拉緊時，、三者速度大小為2，則繩子拉緊過程中，、系統(tǒng)對定滑輪軸的角動量近似守恒（不計的重力的情況下

17、）則：BCAMl(2)B、C之間繩子剛拉緊時，和的速度為1= 鏈條總長為 L，質量為 m，初始時刻如圖懸掛，鏈條與桌 面間的摩擦系數(shù)為 ，鏈條由靜止開始運動，求： （1）、鏈條離開桌邊時，摩擦力作的功？ （2）、這時候鏈條的速度？則當鏈條在桌面上移動的長度為X時，摩擦力作的功為-(L-h）hXY解：選地面為參照系，坐標系如圖x例 鏈條總長為 L，質量為 m，初始時刻如圖懸掛，鏈（2）、由功能原理Lhh零勢面（2）、由功能原理Lhh零勢面例：一柔軟繩長 l ，線密度 r，一端著地開始自由下落， 下落的任意時刻，給地面的壓力為多少？lyY解：選地面為參照系，坐標系如圖，t時刻有長為 l-y 的繩子

18、落到地面上，該段繩子對地面的作用力為 考慮dm段繩子與地面作用的情況：dm從 l-y 的高度落到地面上vdtdyvdtdmN=r(1)例：一柔軟繩長 l ，線密度 r，一端著地開始自由下落，)(22y(Lgv-=rrvdtdyN=rlyY)(22y(Lgv-=rrvdtdyN=rlyY設碰撞后兩球速度由動量守恒兩邊自點乘由機械能守恒（勢能無變化）兩球速度總互相垂直例：在水平面上，兩相同的球做完全彈性碰撞，其中一球開始時處于靜止狀態(tài)，另一球速度 v。證：選地面為參照系求證：碰撞后兩球速度總互相垂直。設碰撞后兩球速度由動量守恒兩邊自點乘由機械能守恒（勢能無變化對碰撞過程應用動量原理 例：質量為一噸

19、的蒸汽錘自1.5m高的地方落下，它與工件的碰撞時間為 =0.01s, 求：打擊的平均沖力。=661.66101+0030.()N=02ghvh0mmv工件Nmg=2ghNmgm+)(0m0v=Nmg)(解一：選地面為參照系，坐標系如圖Y對碰撞過程應用動量原理 例：質量為一噸的蒸汽錘自1.5m解二：對整個過程應用動量原理N)(+mg= 1.69 =t1610()N=Nmgmg()00+tNmgh0mmv工件Y選地面為參照系，坐標系如圖解二：對整個過程應用動量原理N)(+mg= 1.69 =Nx=0NNNxymg= 2.0 + 0.2 ( N )= 2.2 ( N )Nmgcosty=+2mvam

20、v()cosay=Nmgt()mvcosavvYXaamvmvsinsinaa=Ntx 例 一小球與地面碰撞-1v=v=5ms.求: 平均沖力。0.05st=碰撞時間解：選地面為參照系，坐標系如圖Nx=0NNNxymg= 2.0 + 0.2 ( N )= 解：mhMmgT=02ghvM=0vTMt()g=Tmt()gmvmv()0MMMmmmtmv+=g0vMgTvv0v求：繩子拉緊后， M 與 m的共同速度。t。子與m 、M 之間的相互作用時間為 例 已知 M，m，h。繩子拉緊瞬間繩x選地面為參照系，如圖建坐標對M與m分別應用動量原理解：mhMmgT=02ghvM=0vTMt()g=Tmt

21、例 礦砂從傳送帶A落入傳送帶B，其速度v1= 4m/s ,方向與豎直方向成 300 角，而傳送帶 B 與水平方向成150 角，其速度v2=2m/s。傳送帶的運送量為k =20kg/s .求：落到傳送帶B上的礦砂所受到的力。150300ABv1v2 例 礦砂從傳送帶A落入傳送帶B，其150300Amv1()=mv2mv47520cos+=mv()2224m=3.98m ()=3.98k tm/s1503002mv1mvmv()150300ABv1v2解：在t內(nèi)落在傳送帶上的礦砂質量為：這些礦砂的動量增量為：m=kt ，mv1()=mv2mv47520cos+=mv()275q20sin=mv()

22、mvsinFt=mv()Ft=mv()=3.98k tt=3.98k =79.6N由動量原理：29=q01503002mv1mvmv()600q75q20sin=mv()mvsinFt=mv()Ft150300ABv1v21503002mv1mvxyo解二：對礦砂m(m=kt) 應用動量原理sincos=2v1501v300()tk1.36 (N)=2024=cos150sin300)(Fxsincost=2mv1501mv300()sincos=2v1501v300()kFx150300ABv1v21503002mv1mvxyo解二：t()cossin=2v1501v300+k+2024=s

23、in150cos300)(=79.63 (N)+=ij1.3679.63 79.631.36=aarc tg=8901503002mv1mvxyoFaFycossint=2mv1501mv300()()cossin=2v1501v300+kFy+=FyFxijF=F+FyFx22=79.64 (N)t()cossin=2v1501v300+k+2024例：逆風行舟 mvvu船俯視圖船前進方向Vv風pp0 p m 動量的變化f|ff m對帆的作用力 p例：逆風行舟 mvvu船俯視圖船前進方向Vv風pp0 例：如圖，已知m=50kg,l=3.6m,M=100kg,當人從船著頭走到船尾時，船移動的距

24、離是多少？忽略水的阻力。設船的速度為，而人相對船的速度為-u, 對人、船組成的系統(tǒng)，水平方向受的合力為 零，動量守恒 ：m(V-u)+MV=0解：選地面為參照系，坐標系如圖vuX 例：如圖，已知m=50kg,l=3.6m,M=100k 例 一靜止的物體爆炸成三塊，其中兩塊具有相同的質量，且以相同的速率 v1=v2=30m/s沿相互垂直的方向飛開，第三塊的質量等于這兩塊質量之和。試求：第三塊的速度。900v1v2 例 一靜止的物體爆炸成三塊，其中兩900v1v=m1m2m2=m3m=v1v2=v0cos+=mv3vasina2mmv0cos()+=m1m3v3v1acosm2v2a900解：根據(jù)

25、已知條件，設由動量守恒定律得：=cossinaa=v3sinav=30sin450=21.2m/ssin0sin=m1v1am2v2()a900cos0sin=aamvmv=450a解得：ax900v1v2v3ym2m1m3o=m1m2m2=m3m=v1v2=v0cos+=mv3va 例 A、B 兩船均以速度v魚貫而行，每只船的人與船質量之和均為M，A 船上的人以相對速度 u ,將一質量為m的鉛球扔給B 船上的人。 試求：球拋出后 A船的速度以及B 船接到球后的速度。MvBmuMvA 例 A、B 兩船均以速度v魚貫而行，MvBmAMmv()()+=vumMAvmu拋 球 前拋 球 后mu接 球

26、 前接 球 后mMvAMAvAMBvmBMvBA)vu(A)vu(AMmv()+=vumMv(B+AMmv()()+=vumMAvmu拋 球 前拋 球 后mAMmv()()+=vumMAvAMmv()+=vumMv(B+uAMmv+=vm解得：)(+uBMmv+=vMm22Mm2)(AMmv()()+=vumMAvAMmv()+=vumM例：光滑軌道上有一長為 L，質量為 M的板車，車上有一質量為 m的人，若人從車的一端走到另一端，則人和車對地各走多遠 ？水平方向m和M系統(tǒng)不受力，該方向動量守恒。解：選地面為參照系，坐標系如圖s XYs例：光滑軌道上有一長為 L，質量為 M的板車，車上水平方

27、例： 圖中所示是大型蒸氣打樁機示意圖，鐵塔高40m，錘的質量10 t，現(xiàn)將長達38.5m的鋼筋混凝土樁打入地層。已知樁的質量為24 t其橫截面為0.25m2的正方形，樁的側面單位面積所受的泥土阻力為k =2.65104Nm2。（1）樁依靠自重能下沉多深？（2）樁穩(wěn)定后把錘提高1m，然后讓錘自由下落而擊樁。假定錘與樁發(fā)生完全非彈性碰撞，一錘能打下多深？ 例： 圖中所示是大型蒸氣打樁機示意圖，s = 40.5 = 2msfyk=Ad=fdyl0A=fdy0sykl0=dy0=AEkl212=0s=gml0kl2120s=gml0k2s2241039.82.6510428.88m=解：(1)設樁周長

28、為s當樁下沉 y 時，阻力為：由功能原理：yfl0mgyos = 40.5 = 2msfyk=Ad=fdyl0A2ghv0=Afy=ksdl0l0+yd()2=21ksdl0+dmv0=Mm+()v1m=Mm+v12gh(2)設錘擊樁后再下沉深度為 d , 由機械能守恒：l0dl0+樁從下沉到深度，阻力的功為：打擊瞬間動量守恒得到：2ghv0=Afy=ksdl0l0+yd()2=21ksd+=E121Mm+()v12Mm+()gd+=2Mm+()gdmMm+gh2.65d2+13.74d-2.88=0 對于下沉過程應用功能原理(當樁下沉 d時作為零勢能點,即 E2 =0 )。=E1E2EAf(

29、)2=21ksdl0+d由上兩式并代入數(shù)字化簡后得：d = 20cm+=E121Mm+()v12Mm+()gd+=2Mm+()gMmm例：光滑桌面上，三個質點通過繩子相連，如圖所示，給M以一沖擊使其獲得初速V，求兩端小球碰前瞬時繩子的張力。MmmVbbm相對M作圓周運動，在碰前瞬間m相對M的加速度為向心加速度大小為方向向上XY解：選地面為參照系，坐標系如圖Mmm例：光滑桌面上，三個質點通過繩子相連，如圖所示，給 例：已知半圓柱形光滑木凹槽，放在光滑桌面上，如圖， 求：質點靜止下滑至最低點時給木塊的壓力mMR水平方向動量守恒系統(tǒng)機械能守恒m相對M作圓周運動，m在最低點時，木槽加速度為 0此時，木

30、槽M為慣性系，以M為參照系，利用牛頓定律而聯(lián)立求解各式可得Nmg解： 以地面為參照系，坐標系如圖 例：已知半圓柱形光滑木凹槽，放在光滑桌面上，如圖，mM例：如圖當突然撤掉，其 值為多大時，m2 才能跳起？m2m1選如圖水平線o1o2 為重力勢能的零勢面。 解：選地面為參照系, m1、m2地球、彈 簧為系統(tǒng)01o2m（）（）彈簧原長m2x0m2x1m2x2則系統(tǒng)的機械能在態(tài)到態(tài)過程中守恒，例：如圖當突然撤掉，其 值為多大時，m2 才能跳起？01o2mm2m2m2x1x2（）（）彈簧原長重力勢能的零勢面01o2mm2m2m2x1x2（）（）彈簧原長重力勢已知：光滑桌面，m , M , k , l 0 , l ， 求：思考：分幾個階段處理？各階段分別遵循什么規(guī)律？mMABM+mo已知：光滑桌面，m , M , k , l 0 , l ，M + mmg與N平衡彈簧為原長F外=0動量守恒M + m+ 彈簧只有彈力作功機械能守恒過程研究對象條件原理Am與M相撞A BA BM + m各力力矩都為零角動量守恒由此可解出：M + mmg與N平衡彈簧為原長F外=0動量守恒M + m只2-5 守恒定律和對稱性2-5 守