江蘇省南通市2023屆高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第一次質(zhì)量監(jiān)測(cè)試題

1、 屆高三第一次質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)一選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1. 已知集合，則（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】首先通過求解分式不等式化簡(jiǎn)集合，然后利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性化簡(jiǎn)集合，最后利用集合間的交運(yùn)算即可求解.【詳解】由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知，從而，故.故選：C.2. 已知，則“”是“”的（ ）A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C 充要條件D. 既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】從充分性和必要性兩方面進(jìn)行討論即可.【詳解】充分性：當(dāng)，時(shí)充分性不成立；必要性：由可得，即，所以“”是“”的必要不充

2、分條件.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查充要條件的判定，涉及到不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.3. 函數(shù)的部分圖像大致為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】結(jié)合已知條件，利用函數(shù)奇偶性可判斷B；通過判斷在上的符號(hào)可判斷D；通過判斷在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)可判斷AC.【詳解】由題意可知，的定義域?yàn)?，因?yàn)?，所以，故為奇函?shù)，從而的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，且，此時(shí)，故D錯(cuò)誤；因?yàn)樵谏嫌袩o數(shù)個(gè)零點(diǎn)，所以在上也有無數(shù)個(gè)零點(diǎn)，故A錯(cuò)誤，C正確.故選：C.4. 在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，則下列條件能確定三角形有兩解的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】結(jié)合已知條件和正弦定理即

3、可求解.【詳解】對(duì)于A：由正弦定理可知，故三角形有一解；對(duì)于B：由正弦定理可知，故三角形有兩解；對(duì)于C：由正弦定理可知，為鈍角，B一定為銳角，故三角形有一解；對(duì)于D：由正弦定理可知，故故三角形無解.故選：B.5. 通過研究正五邊形和正十邊形的作圖，古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)了黃金分割率，黃金分割率的值也可以用表示，即.記，則（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】將代入，根據(jù)恒等變換公式化簡(jiǎn)，即可求得結(jié)果.【詳解】，故選:C.6. 已知過點(diǎn)作曲線的切線有且僅有條，則（ ）A. B. C. 或D. 或【答案】C【解析】【分析】設(shè)出切點(diǎn)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得出切線的斜率，利用點(diǎn)斜式方程寫出

4、切線，將點(diǎn)代入，并將切線有且僅有條，轉(zhuǎn)化為方程只有一個(gè)根，列方程求解即可【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，由已知得，則切線斜率，切線方程為直線過點(diǎn)，則，化簡(jiǎn)得切線有且僅有條，即，化簡(jiǎn)得，即，解得或故選：C7. 設(shè)，則（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)，判斷的大小，由，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，即可得到.【詳解】由不等式可得，即；，設(shè)，因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)，所以，即.所以.故選：C8. 如圖是一個(gè)近似扇形的湖面，其中，弧的長(zhǎng)為.為了方便觀光，欲在兩點(diǎn)之間修建一條筆直的走廊.若當(dāng)時(shí)，扇形的面積記為，則的值約為（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由題可得，

5、再根據(jù)扇形面積公式可得，結(jié)合條件即得.【詳解】設(shè)扇形的圓心角為，則，在中，又，又，.故選：B.二多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9. 設(shè)，則下列不等式中一定成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】ACD【解析】【分析】利用基本不等式及其變形求最值即可判斷.【詳解】A選項(xiàng)：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故A正確；B選項(xiàng)：，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故B錯(cuò)；C選項(xiàng)：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故C正確；D選項(xiàng)：，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，故D正確.故選：ACD.10. 已知函數(shù)（其中，）的部分

6、圖象如圖所示，則（ ）A. B. 的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C. D. 在上的值域?yàn)椤敬鸢浮緼C【解析】【分析】結(jié)合函數(shù)圖像求出的解析式，進(jìn)而判斷AC；利用代入檢驗(yàn)法可判斷B；利用換元法和三角函數(shù)性質(zhì)求出在上的值域可判斷D.【詳解】由圖像可知，故A正確；從而，又由，因?yàn)椋?，從而，故C正確；因?yàn)椋圆皇堑膶?duì)稱軸，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，則，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，因?yàn)?，所以，故，即，從而，即在上的值域?yàn)?，故D錯(cuò)誤.故選：AC.11. 對(duì)于定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，若同時(shí)滿足下列條件：，；，則稱函數(shù)為“函數(shù)”.下列結(jié)論正確的是（ ）A. 若為“函數(shù)”，則其圖象恒過定點(diǎn)B. 函數(shù)在上是“函數(shù)”C. 函數(shù)在

7、上是“函數(shù)”（表示不大于的最大整數(shù)）D. 若為“函數(shù)”，則一定是上的增函數(shù)【答案】AC【解析】【分析】結(jié)合函數(shù)新定義的概念利用賦值法即可求解.【詳解】對(duì)于A：不妨令，則，因?yàn)椋?，故，故A正確；對(duì)于B：不妨令，則，即，這與，矛盾，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：由題意可知，不妨令，其中整數(shù)部分，為小數(shù)部分，則；再令，其中為整數(shù)部分，為小數(shù)部分，則；若，則；若，則，從而，成立，故C正確；對(duì)于D：由題意可知，常函數(shù)為“H函數(shù)”，但不是增函數(shù)，故D錯(cuò)誤.故選：AC.12. 已知分別是函數(shù)和的零點(diǎn)，則（ ）A. B. C. D. 【答案】ABD【解析】【分析】把函數(shù)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化兩個(gè)函數(shù)圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再結(jié)合反函數(shù)

8、圖像的特點(diǎn)得到點(diǎn)和關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，根據(jù)可判斷A、B選項(xiàng)；結(jié)合基本不等式可以判斷C選項(xiàng)；利用特殊值的思路得到的范圍即可判斷D選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，分別是函數(shù)，的零點(diǎn)，所以，那么，可以看做函數(shù)和與函數(shù)圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，如圖所示，點(diǎn)，分別為函數(shù)，的圖像與函數(shù)圖像的交點(diǎn)，所以，因?yàn)楹瘮?shù)和互為反函數(shù)，所以函數(shù)圖像關(guān)于的圖像對(duì)稱，的圖像也關(guān)于的圖像對(duì)稱，所以點(diǎn)和關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故AB正確；因?yàn)椋?，而，故C錯(cuò)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為，函數(shù)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值為，因?yàn)椋?，所以的范圍為，那么，而，所以，故D正確.故選：ABD.三填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13. 若，則_.【答案】4【解析】【分析】根據(jù)

9、展開可得，從而求得，再由，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，即所以，平方可得，所以，所以故答案為?4. 已知的面積為，則的中線長(zhǎng)的一個(gè)值為_.【答案】或【解析】【分析】結(jié)合已知條件和三角形面積公式求，然后利用余弦定理即可求解.【詳解】因?yàn)榈拿娣e為，所以，故或；當(dāng)時(shí)，故，因?yàn)?，所以，故；?dāng)時(shí)，故，在中，由余弦定理可知，在中，由余弦定理可知，故.綜上所述，的中線長(zhǎng)為或.故答案為：或.15. 某容量為萬立方米的小型湖，由于周邊商業(yè)過度開發(fā)，長(zhǎng)期大量排放污染物，水質(zhì)變差，今年政府準(zhǔn)備治理，用沒有污染的水進(jìn)行沖洗，假設(shè)每天流進(jìn)和流出的水均為萬立方米，下雨和蒸發(fā)正好平衡.用函數(shù)表示經(jīng)過天后的湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù)，

10、已知，其中表示初始湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù).如果，要使湖水的污染水平下降到開始時(shí)污染水平的以下，至少需要經(jīng)過天_.（參考數(shù)據(jù)：）【答案】116【解析】【分析】根據(jù)題意列不等式，再結(jié)合對(duì)數(shù)計(jì)算公式解不等式即可.【詳解】設(shè)至少需要經(jīng)過天，因?yàn)橐购奈廴舅较陆档介_始時(shí)污染水平的10%以下，所以，又因?yàn)?，所以，由題意知，所以，整理得，解得，所以至少需要經(jīng)過116天.故答案為：116.16. 已知函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，當(dāng)時(shí)，且，則不等式的解集為_.【答案】【解析】【分析】利用奇函數(shù)的性質(zhì)得到，再根據(jù)不等式構(gòu)造函數(shù)，分析函數(shù)在時(shí)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性、奇偶性和解不等式即可.【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，定義域?yàn)?，?/p>

11、以，又因?yàn)闀r(shí)，所以，構(gòu)造函數(shù)，所以，所以當(dāng)時(shí)，上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，所以，在上大于零，在上小于零，又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，在上大于零，在上小于零，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以當(dāng)時(shí)，在上小于零，在上大于零，綜上所述：解集為.故答案為：.【點(diǎn)睛】常見的函數(shù)構(gòu)造形式：，；，.四解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明證明過程或演算步驟.17. 已知數(shù)列滿足，.（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式.【答案】（1）見解析 （2）【解析】【分析】(1)結(jié)合遞推公式利用等比數(shù)列的定義證明即可；(2)結(jié)合(1)中結(jié)論，利用累加法和等比數(shù)列求和公式即可求解.【小問1詳解】因?yàn)?，所以，從而，因?yàn)椋?，故?shù)

12、列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.【小問2詳解】由(1)可知，故當(dāng)時(shí)，由各式相加可知，故，當(dāng)時(shí)，也滿足，故數(shù)列的通項(xiàng)公式為：.18. 在中，角的對(duì)邊分別為.（1）若，求；（2）若，求證：.【答案】（1） （2）見解析【解析】【分析】（1）由三角形內(nèi)角和，可表示出角，根據(jù)三角恒等式，結(jié)合正弦定理，可得的值，根據(jù)二倍角式，進(jìn)而可得，由余弦定理，可得答案；（2）由題意，結(jié)合余弦定理與正弦定理，根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系式，可得答案.【小問1詳解】，則，由正弦定理，可得：，則，可得，解得，則，由余弦定理，故.【小問2詳解】，由余弦定理，與相除可得：，兩邊同除以，可得.19. 如圖，在三棱柱中，側(cè)面底面，側(cè)面是

13、菱形，.（1）若為的中點(diǎn)，求證：；（2）求二面角的正弦值.【答案】（1）見解析 （2）【解析】【分析】(1)結(jié)合已知條件和平面幾何關(guān)系知，然后利用面面垂直性質(zhì)和線面垂直性質(zhì)可知，最后利用線面垂直判定和性質(zhì)即可證明；(2)取的中點(diǎn)，然后利用面面垂直性質(zhì)證明底面，再建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面和平面的法向量，最后利用二面角的向量公式即可求解.【小問1詳解】側(cè)面是菱形，為的中點(diǎn)，側(cè)面底面，側(cè)面底面，底面，側(cè)面，側(cè)面，平面，平面，.【小問2詳解】取中點(diǎn)，連接，從而，又由，則，側(cè)面底面，側(cè)面底面，底面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖：由已知條件和上圖可知，由題意可知，為平面

14、的一個(gè)法向量，不妨設(shè)平面的一個(gè)法向量，因?yàn)?，從而，令，則，即，設(shè)二面角為，由圖可知為鈍角，從而，即，故二面角的正弦值為.20. 某校組織圍棋比賽，每場(chǎng)比賽采用五局三勝制（一方先勝三局即獲勝，比賽結(jié)束），比賽采用積分制，積分規(guī)則如下：每場(chǎng)比賽中，如果四局及四局以內(nèi)結(jié)束比賽，取勝的一方積3分，負(fù)者積0分；五局結(jié)束比賽，取勝的一方積2分，負(fù)者積1分.已知甲乙兩人比賽，甲每局獲勝的概率為.（1）在一場(chǎng)比賽中，甲的積分為，求的概率分布列；（2）求甲在參加三場(chǎng)比賽后，積分之和為5分的概率.【答案】（1）見解析 （2）【解析】【分析】(1)結(jié)合已知條件，可能取值為，然后分析每種積分對(duì)應(yīng)的輸贏情況，然后利用二

15、項(xiàng)分布和獨(dú)立事件的概率乘法求解即可；(2)結(jié)合(1)中結(jié)論，分析積分之和為5時(shí)三場(chǎng)比賽的積分情況，然后利用獨(dú)立事件的概率乘法求解即可.【小問1詳解】由題意可知，可能取值為， ，當(dāng)時(shí)，則前三場(chǎng)比賽都輸或前三場(chǎng)比賽贏一場(chǎng)且第四場(chǎng)比賽輸，則，當(dāng)時(shí)，前四場(chǎng)比賽贏兩場(chǎng)且第五場(chǎng)比賽輸，則；當(dāng)時(shí)，前四場(chǎng)比賽贏兩場(chǎng)且第五場(chǎng)比賽贏，則，當(dāng)時(shí)，前三場(chǎng)比賽都贏或前三場(chǎng)比賽贏兩場(chǎng)且第四場(chǎng)比賽贏，則，故的概率分布列如下：0123【小問2詳解】設(shè)甲在參加三場(chǎng)比賽后，積分之和為5分為事件，則甲的三場(chǎng)比賽積分分別為1、1、3或者0、2、3或者1、2、2，故，故甲在參加三場(chǎng)比賽后，積分之和為5分為.21. 已知分別是橢圓的左右

16、頂點(diǎn)，分別是的上頂點(diǎn)和左焦點(diǎn).點(diǎn)在上，滿足.（1）求的方程；（2）過點(diǎn)作直線（與軸不重合）交于兩點(diǎn)，設(shè)直線的斜率分別為，求證：為定值.【答案】（1） （2）證明見解析，定值為【解析】【分析】（1）根據(jù)可設(shè)，根據(jù)，利用斜率相等且在橢圓上列式可得橢圓基本量的關(guān)系，再根據(jù)求解基本量即可；（2）由題意設(shè)：，聯(lián)立直線與橢圓的方程，得出韋達(dá)定理，再表達(dá)出，結(jié)合韋達(dá)定理求解即可.【小問1詳解】因?yàn)椋士稍O(shè)，因?yàn)椋?，即，解?又在橢圓上，故，解得，故.又，故，故，.故的方程為.【小問2詳解】因?yàn)闄E圓方程為，故，當(dāng)斜率為0時(shí)或重合，不滿足題意，故可設(shè)：.聯(lián)立可得，設(shè)，則.故故定值為【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓中

17、基本量的求解，同時(shí)也考查了聯(lián)立直線與橢圓的方程，得出韋達(dá)定理表達(dá)目標(biāo)表達(dá)式，再化簡(jiǎn)求解的問題，為方便計(jì)算，當(dāng)直線過的定點(diǎn)在軸時(shí)可設(shè)直線的橫截距式，同時(shí)注意韋達(dá)定理中的關(guān)系進(jìn)行化簡(jiǎn).屬于難題.22. 設(shè)函數(shù)，.（1）若直線是曲線的一條切線，求的值；（2）證明：當(dāng)時(shí)，；，.（是自然對(duì)數(shù)底數(shù)，）【答案】（1） （2）證明見解析證明見解析【解析】【分析】(1)首先利用導(dǎo)函數(shù)的幾何意義求出切點(diǎn)，再將切點(diǎn)代入切線即可求出；(2)將原不等式化簡(jiǎn)為，然后利用導(dǎo)函數(shù)求在上的最大值大于0即可；結(jié)合中條件，利用放縮法只需證明，然后利用隱零點(diǎn)證明不等式在上恒成立即可，最后結(jié)合和的單調(diào)性即可證明原不等式在上恒成立.【小問1詳解】由，則，設(shè)在上的切點(diǎn)為，從而，故在上的切點(diǎn)為，將代入得，故的值為.【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，不