同濟(jì)高數(shù)第一章第一節(jié)課件

1、一、集合1.集合:具有某種特定性質(zhì)的事物的總體.組成這個(gè)集合的事物稱為該集合的元素.有限集無(wú)限集第一章 函數(shù)、極限與連續(xù)第一節(jié) 函數(shù)記為：集合分類：集合表示：一、集合1.集合:具有某種特定性質(zhì)的事物的總體.組成這個(gè)集合例如不含任何元素的集合稱為空集.例如,規(guī)定空集為任何集合的子集.子集：例如不含任何元素的集合稱為空集.例如,規(guī)定空集為任何集合的子2.區(qū)間 (數(shù)集) 開區(qū)間閉區(qū)間半開區(qū)間（有限區(qū)間）（無(wú)限區(qū)間）2.區(qū)間 (數(shù)集) 開區(qū)間閉區(qū)間半開區(qū)間（有限區(qū)間）（無(wú)限區(qū)3.鄰域:。3.鄰域:。二、映射、函數(shù)1.映射定義：設(shè) X、Y 是兩個(gè)非空集合，若存在使對(duì) X中每個(gè)元素 x ，按法則 f ，在

2、Y 中有唯一確定的元素 y 與之對(duì)應(yīng)，一個(gè)法則 f ，則稱 f 為從 X到Y(jié) 的映射，其中 y 稱為元素x（在映射 f 下）的像，記為 f (x)集合 X 稱為映射 f 的定義域，集合 X 中所有元素的像所組成的集合稱為映射 f 的值域，記作 f ： XY 二、映射、函數(shù)1.映射定義：設(shè) X、Y 是兩個(gè)非空集合，若存例1 設(shè)例2 設(shè)xyo定義：設(shè) f 是從 X到Y(jié) 的映射，則稱 f 為滿射，若對(duì)X 中任意兩個(gè)不同的元素則稱 f 為單射。若 f 既為單射又為滿射，則稱 f 為單一一映射（雙射）。例1 設(shè)例2 設(shè)xyo定義：設(shè) f 是從 X到Y(jié) 的定義 設(shè)數(shù)集 則稱映射記作 y= f(x)，為定義

3、在 D 上的函數(shù)，按對(duì)應(yīng)法則 f ，總有確定的值 y與之對(duì)應(yīng)，這個(gè)值 y稱為函數(shù) f 在x 處的函數(shù)值，記作 f (x).注意：函數(shù) f 是指自變量x與因變量y之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。函數(shù)值 f (x)是x在對(duì)應(yīng)關(guān)系f 作用下的值。習(xí)慣上常用記號(hào)：來(lái)表示定義在D上的函數(shù)。應(yīng)理解為由它確定的的函數(shù) f 。2.函數(shù)定義 設(shè)數(shù)集 則稱映射記作 y= f(x)，為定義在 D 定義域與對(duì)應(yīng)法則.函數(shù)與表示自變量的字母無(wú)關(guān)函數(shù)的兩要素:定義:例5 指出下列函數(shù)是否相同，為什么？不同相同定義域與對(duì)應(yīng)法則.函數(shù)與表示自變量的字母無(wú)關(guān)函數(shù)的兩要素:定x1-1yo (1) 符號(hào)函數(shù)幾個(gè)特殊的函數(shù)舉例 1 2 3 4 5

4、-2-4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3xyo(2) 取整函數(shù) 階梯曲線 y=x x表示不超過(guò) x 的最大整數(shù)x1-1yo (1) 符號(hào)函數(shù)幾個(gè)特殊的函數(shù)舉例 1 有理數(shù)點(diǎn)無(wú)理數(shù)點(diǎn)1xyo(3) 狄利克雷函數(shù)在自變量的不同變化范圍中, 對(duì)應(yīng)法則用不同的式子來(lái)表示的函數(shù),稱為分段函數(shù).例如有理數(shù)點(diǎn)無(wú)理數(shù)點(diǎn)1xyo(3) 狄利克雷函數(shù)在自變量的3、函數(shù)的幾種特性（1）函數(shù)的有界性:設(shè)函數(shù) f(x) 的定義域?yàn)镈，定義：則稱函數(shù) f(x) 在X上有界，否則稱無(wú)界。則稱函數(shù) f(x) 在X上有上界。則稱函數(shù) f(x) 在X上有下界。3、函數(shù)的幾種特性（1）函數(shù)的有界性:設(shè)函數(shù) f(x)

5、 的定函數(shù) f(x) 在X上有界的充要是： f(x) 在X上既有上界又有下界.證必要性（顯然）充分性 因?yàn)閒(x) 在X上既有上界又有下界.取M = max |A| , |B| 則必有所以函數(shù) f(x) 在X上有界。函數(shù) f(x) 在X上有界的充要是： f(x) 在X上既有上例6 證明有界證有界例6 證明有界證有界（2）函數(shù)的單調(diào)性:xyo（或減少）xyo則稱y = f(x)在區(qū)間 I 上是嚴(yán)格單調(diào)增加 的.（2）函數(shù)的單調(diào)性:xyo（或減少）xyo則稱y = f(x（3）函數(shù)的奇偶性:偶函數(shù)yxox-x（或奇函數(shù)）yxox-x奇函數(shù)（3）函數(shù)的奇偶性:偶函數(shù)yxox-x（或奇函數(shù)）yxox-

6、例7 證明兩個(gè)奇函數(shù)的乘積是偶函數(shù)證設(shè) f(x)、g(x)都是奇函數(shù)記 h(x)=f(x)g(x)故 h(x)是偶函數(shù)兩個(gè)偶函數(shù)的乘積是偶函數(shù)一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)的乘積是奇函數(shù)例7 證明兩個(gè)奇函數(shù)的乘積是偶函數(shù)證設(shè) f(x)、g(x) 證明 定義在R上的任意函數(shù)，一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)之和。都可以表示為證奇函數(shù)偶函數(shù) 證明 定義在R上的任意函數(shù)，一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)之和（4）函數(shù)的周期性:（通常說(shuō)周期函數(shù)的周期是指其最小正周期）.設(shè)函數(shù) f(x) 的定義域?yàn)镈，如果存在一個(gè)正數(shù)l則稱 f(x) 為周期函數(shù)，l 稱為 f(x) 的周期。（4）函數(shù)的周期性:（通常說(shuō)周期函數(shù)的周期是指其最小正周

7、期）4、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)（1）反函數(shù)定義：設(shè)函數(shù) y = f(x)若對(duì)存在唯一的使 y = f(x)成立，則在 f(X)中定義了一個(gè)函數(shù)稱為 y = f(x)的反函數(shù)，例8 求的反函數(shù)解反函數(shù)4、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)（1）反函數(shù)定義：設(shè)函數(shù) y = f(x定理1 設(shè)函數(shù) y = f(x) 在X上嚴(yán)格單調(diào)增(減),則設(shè) y = f(x) 必存在反函數(shù)且它在 f (X)上也是嚴(yán)格單調(diào)增(減).證使y = f(x)因?yàn)閥 = f(x) 在X上嚴(yán)格單調(diào)增矛盾使y = f(x)故反函數(shù)存在定理1 設(shè)函數(shù) y = f(x) 在X上嚴(yán)格單調(diào)增(減),因?yàn)閥 = f(x) 在X上嚴(yán)格單調(diào)增矛盾嚴(yán)格單調(diào)增因?yàn)閥 =

8、 f(x) 在X上嚴(yán)格單調(diào)增矛盾嚴(yán)格單調(diào)增（2）復(fù)合函數(shù)定義:,函數(shù)u = g(x)設(shè)函數(shù)y = f(u)的定義域?yàn)?的定義域?yàn)镈， 則稱函數(shù)y = f ( g(x)為由函數(shù)y = f(u)和u = g(x)構(gòu)成的復(fù)合函數(shù) 若存在 定義域(-1,1)（2）復(fù)合函數(shù)定義:,函數(shù)u = g(x)設(shè)函數(shù)y = f(例9解綜上所述例9解綜上所述三、初等函數(shù)（1）冪函數(shù)（2）指數(shù)函數(shù)（3）對(duì)數(shù)函數(shù)三、初等函數(shù)（1）冪函數(shù)（2）指數(shù)函數(shù)（3）對(duì)數(shù)函數(shù)（4）三角函數(shù)（5）反三角函數(shù) 冪函數(shù),指數(shù)函數(shù),對(duì)數(shù)函數(shù),三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù). 由常數(shù)和基本初等函數(shù),經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算和有限次函數(shù)的復(fù)合,的函數(shù),稱為初等函數(shù).所構(gòu)成并可用一個(gè)式子表示（4）三角函數(shù)