三兩向量混和積

1、三、兩向量的混和積1.定義2 稱 與 的向量積 再與向量 的數(shù)量積為向量, , ( ) 即的混合積，記作 設(shè)有三個(gè)向量, , ,1則有設(shè)向量 = (ax , ay , az), = (cx , cy , cz), = (bx , by , bz),2.混合積的坐標(biāo)表示式ijk ,cxcycz,ijk 2混合積性質(zhì)：(1) = = = = = 3事實(shí)上，若 , , 在同一個(gè)平面上，則 垂直于它們所在的平面，故 垂直于 , 即( ) = 0(2) , , 共面 = 0 4混合積( ) 的絕對(duì)值等于以 , , 為棱的平行六面體的體積 V 的數(shù)值。h平行六面體所以，= |( ) | 3、混合積 ( )

2、 的幾何意義hV = S h = 底面積高 h 為 在 上的投影的絕對(duì)值a b = |a| Prjab5例5:已知空間內(nèi)不在一個(gè)平面上的四點(diǎn) A (x 1 , y 1 , z 1), B ( x 2 , y 2 , z 2), C (x 3 , y 3 , z 3), D (x 4 , y 4 , z 4) 求四面體 ABCD 的體積。解：四面體 ABCD 的體積等于以 AB, AC 和 AD 為棱的平行六面體體積的六分之一，AB = (x2 x1, y2 y1, z2 z1),AC = (x3 x1, y3 y1, z3 z1),AD = (x4 x1, y4 y1, z4 z1),即6所以

3、，V = 其中行列式前的符號(hào)必須與行列式的符號(hào)一致。73平面及其方程(一) 平面的點(diǎn)法式方程1. 法向量:若一非零向量n垂直于一平面. 則稱向量n為平面 的法向量.注: 1 對(duì)平面, 法向量n不唯一;2 平面 的法向量n與 上任一向量垂直.一、平面方程82. 平面的點(diǎn)法式方程設(shè)平面 過(guò)定點(diǎn) M0(x0, y0, z0), 且有法向量n=(A,B, C).對(duì)于平面上任一點(diǎn)M(x, y, z), 向量M0M與n垂直. yxzM0MnOn M0 M = 0而M0 M =(x x0, y y0, z z0),得:A(x x0) +B( y y0) +C( z z0) = 0稱方程(1) 為平面的點(diǎn)法式

4、方程.(1)9例1: 求過(guò)點(diǎn)(2, 3, 0)且以 n = (1, 2, 3)為法向量的平面的方程.解:根據(jù)平面的點(diǎn)法式方程(1), 可得平面方程為:1 (x 2) 2 (y + 3) + 3 (z 0) = 0即: x 2y + 3z 8 = 0 10nM3M2M1解: 先找出該平面的法向量n.由于n與向量M1M2, M1M3都垂直.而M1M2=(3, 4, 6) M1M3=(2, 3, 1)可取n = M1M2 M1M3= 14i + 9j k例2: 求過(guò)三點(diǎn)M1(2, 1, 4), M2( 1, 3, 2)和M3(0, 2, 3) 的平面的方程.所以, 所求平面的方程為:14(x 2)

5、+ 9(y + 1) (z 4) = 0即: 14x + 9y z 15 = 0 11M1M3M1M2，共面M1M，即(二) 平面的三點(diǎn)式方程設(shè)平面 過(guò)不共線的三點(diǎn)M2 ( x 2 , y 2 , z 2),M3 (x 3 , y 3 , z 3),M1 (x 1 , y 1 , z 1),對(duì)于平面上任一點(diǎn)M (x , y , z),平面的三點(diǎn)式方程.(2)12設(shè)平面與x, y, z 軸的交點(diǎn)依次為P(a, 0, 0), Q(0, b, 0), R(0, 0, c)三點(diǎn)oyPxzQR(三) 平面的截距式方程則有得當(dāng)非零時(shí)(3)13(四)平面的一般方程1、定理1: 任何x, y, z的一次方程.

6、 Ax +By +Cz +D = 0都表示平面,且此平面的一個(gè)法向量是: n = (A, B, C )證: A, B, C不能全為0, 不妨設(shè)A 0, 則方程可以化為它表示過(guò)定點(diǎn) , 且 法向量為 n = (A, B, C ) 的平面.注：一次方程: Ax + By + Cz + D = 0 (4)稱為平面的一般方程.14例3:已知平面過(guò)點(diǎn)M0(1, 2, 3), 且平行于平面2x 3y + 4z 1= 0, 求其方程.解: 所求平面與已知平面有相同的法向量n =(2 3, 4)2(x +1) 3(y 2) + 4(z 3) = 0即: 2x 3y + 4z 4 = 0152. 平面方程的幾種

7、特殊情形(1) 過(guò)原點(diǎn)的平面方程由于O (0, 0, 0)滿足方程, 所以D = 0. 于是, 過(guò)原點(diǎn)的平面方程為:A x + B y + C z = 0Ax +By +Cz +D = 016(2) 平行于坐標(biāo)軸的平面方程考慮平行于x軸的平面Ax + By + Cz + D = 0, 它的法向量n =(A, B, C)與x 軸上的單位向量 i =(1, 0, 0)垂直, 所以n i = A 1 + B 0 + C 0 = A = 0于是:平行于x 軸的平面方程是 By + Cz + D = 0;平行于y 軸的平面方程是 Ax + Cz + D = 0; 平行于z 軸的平面方程是 Ax + By

8、 + D = 0.特別: D = 0時(shí), 平面過(guò)坐標(biāo)軸.17(3) 平行于坐標(biāo)面的平面方程平行于xOy 面的平面方程是 Cz + D = 0;平行于xOz 面的平面方程是 By + D = 0; 平行于yOz 面的平面方程是 Ax + D = 0.(即z = k)(即y = k)(即x = k)18例4: 求通過(guò)x 軸和點(diǎn)(4, 3, 1)的平面方程.解: 由于平面過(guò)x 軸, 所以 A = D = 0.設(shè)所求平面的方程是 By + Cz = 0又點(diǎn)(4, 3, 1)在平面上, 所以3B C = 0 C = 3B所求平面方程為 By 3Bz = 0即: y 3z = 0 191n1n22若已知兩

9、平面方程是:1: A1x + B1y + C1z + D1 = 0法向量 n1 = (A1, B1, C1)2: A2x + B2y + C2z + D2 = 0法向量 n2 = (A2, B2, C2)1.定義1兩平面的法向量的夾角(通常指銳角)稱為兩平面的夾角.二、兩平面的夾角20所以1n1n2221平面1與2 相互平行規(guī)定: 若比例式中某個(gè)分母為0, 則相應(yīng)的分子也為0.平面1與2 相互垂直A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0特別:22例5: 一平面通過(guò)兩點(diǎn)M1(1, 1, 1)和M2(0, 1, 1), 且垂直于平面 x+y+z = 0, 求它的方程.解: 設(shè)所求平面的一個(gè)法向

10、量 n = ( A, B, C )已知平面 x+ y+ z = 0的法向量 n1=( 1, 1, 1) 所以: n M1M2 且n n1 而M1M2 = ( 1, 0, 2)于是:A ( 1) + B 0 + C (2) = 0 A 1 + B 1 + C 1 = 023解得: B=CA= 2C取C = 1, 得平面的一個(gè)法向量n = (2, 1, 1)所以, 所求平面方程是2 (x 1) + 1 (y 1) + 1 (z 1) = 0即: 2x y z = 0M1(1, 1, 1) , M2(0, 1, 1)24 設(shè) P0(x0, y0, z0)是平面 Ax+By+Cz+D = 0外一點(diǎn),

11、求 P0到這平面的距離d.在平面上任取一點(diǎn)P1(x1, y1, z1)P0P1Nn則 P1P0 =(x0 x1, y0 y1, z0 z1)過(guò)P0點(diǎn)作一法向量 n =(A, B, C)于是:三、點(diǎn)到平面的距離25又A(x0 x1)+B(y0y1)+C(z0z1) = Ax0+By0+Cz0+D(Ax1+By1+Cz1+D) = Ax0+By0+Cz0+D所以, 得點(diǎn)P0到平面Ax+By+Cz+D=0的距離:(5)26例6:求點(diǎn)A (1, 2, 1)到平面:x + 2y +2z 10=0的距離27(一)空間直線的一般方程已知平面1: A1x + B1y + C1z + D1 = 02: A2x

12、+ B2y + C2z + D2 = 0那末, 交線L上的任何點(diǎn)的坐標(biāo)滿足:A1x + B1y + C1z + D1 = 0A2x + B2y + C2z + D2 = 0不在交線L上的點(diǎn)不滿足方程組(1)(1)稱方程組(1)空間直線的一般方程.xyzO12L4空間直線及其方程一. 空間直線的方程空間直線可看成是兩個(gè)不平行平面與的交線1228(二) 空間直線的對(duì)稱式方程而s 的坐標(biāo) m, n, p 稱為直線L的一組方向數(shù).sL1.定義1與空間直線L平行的向量 s = (m, n, p), 稱為該直線的方向向量.292. 直線的對(duì)稱式方程已知直線L過(guò)M0(x0, y0, z0)點(diǎn)方向向量 s =

13、(m, n, p)在L上任取一點(diǎn)M(x, y, z), 有M0 M/s.而M0 M=(xx0, yy0, zz0)所以得比例式(2)稱為空間直線的對(duì)稱式方程或點(diǎn)向式方程.sM0LM30得:x = x0 + m ty = y0 + n tz = z0 + p t稱為空間直線的參數(shù)方程.(3)(三) 空間直線的參數(shù)式方程31例1: 寫出直線x + y + z +1 = 02x y + 3z + 4 = 0的對(duì)稱式方程.解: (1) 先找出直線上的一點(diǎn) M0(x0, y0, z0)令 z0 = 0, 代入方程組, 得x + y +1 = 02x y + 4 = 0解得: 所以, 點(diǎn)在直線上.32(2

14、) 再找直線的方向向量 s .由于平面1: x + y + z +1 = 0的法線向量 n1=(1, 1, 1)平面2: 2x y+3z+4 = 0的法線向量 n2=(2,1, 3)所以, 可取= 4i j 3k于是, 得直線的對(duì)稱式方程:33例2: 求通過(guò)點(diǎn) A(2, 3, 4)與 B(4, 1, 3)的直線方程.所以, 直線的對(duì)稱式方程為解: 直線的方向向量可取 AB = (2, 2, 1)34s1s2已知直線L1, L2的方程s1 =(m1, n1, p1)s2 =(m2, n2, p2)定義2兩直線的方向向量間的夾角稱為兩直線的夾角, 常指銳角.二. 兩直線的夾角351. L1與 L2

15、的夾角 的余弦為:2. L1垂直于 L2 m1 m2 + n1 n2 + p1 p2 = 03. L1平行于L2 36解: 直線L1, L2的方向向量 s1=(1, 4, 1 )s2=(2, 2, 1)有:所以:例3:37當(dāng)直線與平面垂直時(shí), 規(guī)定夾角已知: 直線的方向向量 s =( m, n, p )平面的法向量 n =( A, B, C )那末, LLns稱為L(zhǎng)與平面 的夾角.定義3直線L與它在平面上投影直線L的夾角,三. 直線與平面的夾角38(1) L與 的夾角 的正弦為: sin即: Am + Bn + Cp = 0(2) L與 垂直s / n(3) L與 平行s與n垂直39例4. 判

16、定下列各組直線與平面的關(guān)系.解: L的方向向量 s =(2, 7, 3) 的法向量 n =(4, 2, 2)s n = (2) 4 + (7) (2) + 3 (2) = 0又M0(3, 4, 0)在直線 L上, 但不滿足平面方程,所以L與 平行, 但不重合.40解: L的方向向量 s =( 3, 2, 7 ) 的法向量 n =( 6, 4, 14 ) L 與 垂直.41解: L的方向向量 s =( 3, 1, 4 ) 的法向量 n =( 1, 1, 1 )s n = 3 1 + 1 1 + (4) 1 = 0又L上的點(diǎn) M0(2, 2, 3)滿足平面方程,所以 , L 與 重合.421. 點(diǎn)

17、到直線的距離例5. 求點(diǎn)p0(1, 2, 1)到直線 的距離d .p0slp1分析：過(guò) p0 作 l 的垂線，垂足為 p1,則 d=| p0 p1|關(guān)鍵：求出 p1 的坐標(biāo)方法：過(guò)點(diǎn)p0作平面與l垂直，設(shè)l與平面的交點(diǎn)為p1，則線段 p0 p1 與 l 垂直。 p1即為垂足。四. 點(diǎn)到直線的距離及平面束方程43解: (1) 直線 l 的方向向量 s = (2, 1, 1)過(guò) p0(1, 2, 1), 以s為法向量作平面: 2(x1) + (y2) + (z1) = 0即: 2x + y + z 5 = 0(2) 求 l 與 的交點(diǎn)將直線 l 方程寫出參數(shù)方程形式：x = 2 + 2ty = 3

18、 + tz = 4 + t, 代入平面的方程：2(2 + 2t) + (3 + t) + (4 + t) 5 = 0即 6t + 6 =0, t = 1, 交點(diǎn) p1(0, 2, 3)slp1p0(1, 2, 1)442. 平面束方程設(shè)直線 l ：1 : A1x+B1y+C1z+D1 = 0 (1)2 : A2x+B2y+C2z+D2 = 0 (2)其中 A1, B1, C1與 A2, B2, C2不成比例，即1/2建立三元一次方程: : (A1x+B1y+C1z+D1 )+(A2x+B2y+C2z+D2 )=0 (3)45l ：1 : A1x+B1y+C1z+D1 = 0 (1)2 : A2

19、x+B2y+C2z+D2 = 0 (2): (A1x+B1y+C1z+D1 ) +(A2x+B2y+C2z+D2 )=0 (3)考查直線 l 與平面 的關(guān)系：(1) 直線 l 上的任何點(diǎn)p(x, y, z)滿足方程(1)、(2)，也滿足方程(3)。故：方程(3)表示通過(guò)直線 l 的平面，且對(duì)于不同的 值，方程(3)表示通過(guò)直線 l 的不同平面。(2) 通過(guò)直線 l 的任何平面(除2以外)都包含在方程(3)的一族平面內(nèi)。這是因?yàn)椋簩?duì)于直線 l 外任意一點(diǎn)p0(x0, y0, z0)若不在2 : A2x+B2y+C2z+D2 = 0 上令：46l ：1 : A1x+B1y+C1z+D1 = 0 (1)2 : A2x+B2y+C2z+D2 = 0 (2)p0(x0, y0, z0)過(guò)直線 l 與點(diǎn) p0