備戰(zhàn)高考技巧大全高中數(shù)學(xué)黃金解題模板專題22平面向量共線定理答案解析

1、【高考地位】跟著向量在科學(xué)研究中的工具性應(yīng)用，與它在社會(huì)生產(chǎn)生活中所起的巨大作用，所以近年來(lái)數(shù)學(xué)高考題中，命入了共線向量?jī)?nèi)容考題。在以后的高考試題中，共線向量勢(shì)必增加態(tài)勢(shì)。其在高考題型多以選擇題、填空題出現(xiàn)，其試題難度屬低中檔題.【方法評(píng)論】種類一在幾何問(wèn)題中的應(yīng)用使用情形：平面幾何證明、求值等問(wèn)題中的應(yīng)用解題模板：第一步將已知條件進(jìn)行向量辦理；第二步利用平面向量的運(yùn)算法規(guī)和線性運(yùn)算等性質(zhì)進(jìn)行求解；第三步得出結(jié)論.例1平面內(nèi)有一個(gè)ABC和一點(diǎn)O，線段OA、OB、OC的中點(diǎn)分別為E、F、G,BC、CA、AB的中點(diǎn)分別為L(zhǎng)、M、N，設(shè)OAa,OBb,OCc.1）試用a,b,c表示向量EL,FM、G

2、N；2）證明線段EL、FM、GN交于一點(diǎn)且相互均分.【答案】（1）OE1a,OL1bc,ELOLOE1bca，222FM1acb，GN1abc；（2）證明見(jiàn)解析.22【分析】試題分析：（1）OE1a,OL1bc,ELOLOE1bca，1acb,GN1222FMabc.2211（2）證明：設(shè)線段EL的中點(diǎn)為P1，則OP1OEOLabc，24設(shè)FM、GN中點(diǎn)分別為P,P，23OP211同理：abc，OP3abc，44OP1OP2=OP3，即其交于一點(diǎn)且相互均分.考點(diǎn)：1、向量的三角形法規(guī)；2、向量的線性運(yùn)算例2如圖，等腰三角形ABC，ABAC2,BAC120.E,F分別為邊AB,AC上的動(dòng)點(diǎn)，且滿

3、足AEmAB,AFnAC，此中m,n(0,1),mn1，M,N分別是EF,BC的中點(diǎn)，則MN的最小值為_(kāi).【答案】【分析】12試題分析：連接AM,AN，等腰三角形ABC中，ABAC2,BAC120，ABACABACcos1202，AM是AEF的中線，1(AE1nAC)，同理，可得AN1AC)，AMAF)(mAB(AB222考點(diǎn)：向量在幾何中的應(yīng)用【思路點(diǎn)睛】由等腰三角形ABC中，ABAC2,BAC120，算出ABAC2連接AM,AN，利用三角形中線的性質(zhì)，獲取AM1(AEAF)，AN1(ABAC)，22從而獲取MNANAM1(1m)AB1(1n)AC)將此式平方，代入題中數(shù)據(jù)化22簡(jiǎn)可得MN(

4、1m)2(1n)2(1m)(1n)，結(jié)合mn1消去n，得MN3(m1)21，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可合適m12的最小值為1，所以時(shí)，MN2424MN的最小值為1本題的要點(diǎn)是用基底向量AB,AC的關(guān)系式表示出向量MN，再求向2量MN模的最小值，主要觀察平面向量數(shù)目積公式及其運(yùn)算性質(zhì)和二次函數(shù)的最值求法等知識(shí)，屬于中檔題【變式演練1】已知向量e1,e2是兩個(gè)不共線的向量，若a2e1e2與be1e2共線，則（）A2B2C1D122【答案】C【分析】a/b，所以2e1e2m(e12m1試題分析：由e2)m，解得，應(yīng)選C.12考點(diǎn)：向量的共線的應(yīng)用.【變式演練2】已知非零向量e1,e2，a,b滿足a2e1e

5、2,bke1e2，給出以下結(jié)論：若e1與e2不共線，a與b共線，則k2；若e1與e2不共線，a與b共線，則k2；存在實(shí)數(shù)k，使得a與b不共線，e1與e2共線；不存在實(shí)數(shù)k，使得a與b不共線，e1與e2共線.此中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)【答案】B【分析】考點(diǎn)：共線向量定理【變式演練3】如圖，四邊形OABC是邊長(zhǎng)為1的正方形，OD3，點(diǎn)P為BCD內(nèi)（含界限）的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)OPOCOD(,R)，則的最大值等于（）1B114ACD433【答案】種類二在求動(dòng)點(diǎn)軌跡中的應(yīng)用使用情形：題設(shè)中有“向量的數(shù)目積”“平行”即共線等求點(diǎn)的軌跡解題模板：第一步將已知條件轉(zhuǎn)變?yōu)橄蛄康谋硎?；第二步利用平?/p>

6、向量的運(yùn)算法規(guī)和平面向量的性質(zhì)對(duì)其進(jìn)行求解；第三步得出結(jié)論.例3如圖,過(guò)A(-1,0)，斜率為k的直線l與拋物線C:y24x交于P、Q兩點(diǎn)，若曲線C的焦點(diǎn)F與P、Q、R三點(diǎn)按圖中順序構(gòu)成平行四邊形，求點(diǎn)R的軌跡方程?！敬鸢浮?【評(píng)論】本題若不用向量法，一般采納聯(lián)立方程，考慮辨別式，結(jié)合韋達(dá)定理的方法，盡管思路清楚，但計(jì)算量大，且技巧性強(qiáng)，不易掌握，而利用向量法解答，簡(jiǎn)單明快，簡(jiǎn)單接受.【變式演練4】已知橢圓x2y21，直線xy1，P是l上一點(diǎn)，射線OP交橢圓于2416128R，又點(diǎn)Q在OP上且滿足|OQ|OP|=|OR|2，求點(diǎn)Q的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是什么曲線？【答案】點(diǎn)Q的軌跡是以（1，1

7、）為中心，長(zhǎng)、短半軸分別為10和15且長(zhǎng)軸與x軸23平行的橢圓.【分析】設(shè)Q(x,y)（此中x、y不一樣時(shí)為0）由非零向量OQ、OR、OP共線，可設(shè)OROQ，OpOQ，則OR(x,y),Op(x,y),分別代入橢圓方程、直線方程得：【評(píng)論】本題我們注意到點(diǎn)Q在OP上，于是存在OQ、OR、OP共線，所以可借助兩個(gè)非零向量共線的充要條件，巧設(shè)參數(shù)、轉(zhuǎn)變已知條件|OQ|OP|=|OR|2為2，使得消元過(guò)程異常簡(jiǎn)捷。向量與解題交匯的綜合題已成為高考命題的熱門(mén).【變式演練5】以下列圖，已知圓C:(x1)2y28,定點(diǎn)A(1,0),M為圓上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在AM上，點(diǎn)N在CM上，且滿足AM2AP,NPAM0,

8、點(diǎn)N的軌跡為曲線E。1求曲線E的方程；2若過(guò)定點(diǎn)F（0，2）的直線交曲線E于不一樣的兩點(diǎn)G,H（點(diǎn)G在點(diǎn)F,H之間），且滿足FGFH，求的取值范圍。x2y21.1,1?！敬鸢浮?2；23【分析】（2）當(dāng)直線GH斜率存在時(shí)，設(shè)直線GH方程為ykx2,代入橢圓方程x2y21,2得(1k2)x24kx30.由0得k23.22設(shè)G(x1,y1),H(x2,y2),則x1x24k,x1x231212k2k2又FGFH,(x1,y12)(x2,y22)x1x2,x1x2(1)x2,x1x2x22.(x1x2)2x22x1x2，1(4k)231k21k216(1)22)22,整理得(113(1)2k2k23

9、,41616.41216.解得13.2333332k2又01,11.3又當(dāng)直線GH斜率不存在，方程為x0,FG1FH,1.331,即所求的取值范圍是1,1)33.考點(diǎn)：向量的運(yùn)算；橢圓的定義；橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)；直線與橢圓的綜合應(yīng)用。評(píng)論：求軌跡方程的一般方法：直接法、定義法、相關(guān)點(diǎn)法、參數(shù)法、交軌法、向量法等。本題求軌跡方程用到的是定義法。用定義法求軌跡方程的要點(diǎn)是條件的轉(zhuǎn)變轉(zhuǎn)變?yōu)槟骋灰阎€的定義條件?！靖呖荚佻F(xiàn)】1.【2015高考新課標(biāo)1，理7】設(shè)D為ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)BC3CD，則（）（A）AD1AB4AC(B)AD1AB4AC33334AB1(D)AD41（C）ADACABAC3333

10、【答案】A【分析】由題知ADACCDAC1114BCAC(ACAB)=ABAC，3333應(yīng)選A.【考點(diǎn)定位】平面向量的線性運(yùn)算【名師點(diǎn)睛】本題以三角形為載體觀察了平面向量的加法、減法及實(shí)數(shù)與向量的積的法規(guī)與運(yùn)算性質(zhì)，是基礎(chǔ)題，解答本題的要點(diǎn)是結(jié)合圖形會(huì)利用向量加法將向量AD表示為ACCD，再用已知條件和向量減法將CD用AB,AC表示出來(lái).2.【2015高考北京，理13】在ABC中，點(diǎn)M，N滿足AM2MC，BNNC若MNxAByAC，則x；y【答案】11,62【考點(diǎn)定位】本題考點(diǎn)為平面向量相關(guān)知識(shí)與計(jì)算，利用向量相等解題.【名師點(diǎn)睛】本題觀察平面向量的相關(guān)知識(shí)及及向量運(yùn)算，利用向量相等條件求值，

11、于基礎(chǔ)題.利用坐標(biāo)運(yùn)算要建立合適的之間坐標(biāo)系，正確寫(xiě)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)、向量的坐標(biāo)，利用向量相等，列方程組，解出未知數(shù)的值.本題屬3.【2015高考新課標(biāo)2，理13】設(shè)向量a，b不平行，向量ab與a2b平行，則實(shí)數(shù)_1【答案】2【考點(diǎn)定位】向量共線【名師點(diǎn)睛】本題觀察向量共線，明確平面向量共線定理，利用待定系數(shù)法得參數(shù)的關(guān)系是解題要點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題4【.2015江蘇高考，6】已知向量a=(2,1)，b=(1,2),若ma+nb=(9,8)(m,nR),則mn的值為_(kāi).【答案】3【分析】由題意得：2mn9,m2n8m2,n5,mn3.【考點(diǎn)定位】向量相等【名師點(diǎn)晴】明確兩向量相等的充要條件，它們的對(duì)應(yīng)

12、坐標(biāo)相等.其實(shí)質(zhì)為平面向量基本定理應(yīng)用.向量共線的充要條件的坐標(biāo)表示：若a(x1，y1)，b(x2，y2)，則ab?12210.向量垂直的充要條件的坐標(biāo)表示：若a(x1y1)b(x2y2)，則ab?xy-xy，x1x2+y1y20.【反響練習(xí)】【2015-2016學(xué)年江西省橫峰中學(xué)高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷，理5】己知e10,ae1e2(R),b2e1,則a與b共線的條件為（）A.0B.e20C.e1/e2D.e1/e2或0【答案】D【分析】試題分析：若a,b共線，則存在m使amb，即e1e22me1，所以當(dāng)a,b共線時(shí)，有=0或e1e2.應(yīng)選D.考點(diǎn)：向量共線的充要條件及坐標(biāo)表示.2【201

13、5-2016學(xué)年安徽六安一中高一下周末作業(yè)九數(shù)學(xué)試卷，理10】如圖，四邊形ABCD是正方形，延長(zhǎng)CD至E，使得DECD.若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿正方形的邊按逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)一周回到A點(diǎn)，此中AEADDEPADAB1AD，以下判斷正確的選項(xiàng)是（）A滿足2的點(diǎn)P必為BC的中點(diǎn)B滿足1的點(diǎn)P有且只有一個(gè)C滿足的最大值為3D滿足的最小值不存在【答案】C【分析】PAD時(shí)，有0，01，01，02，綜上，03選項(xiàng)A，取1滿足2，此時(shí)APABAEAD，所以點(diǎn)P不必定是BC的中點(diǎn)，不正確；選項(xiàng)B，當(dāng)點(diǎn)P取B或AD的中點(diǎn)時(shí)：滿足1的點(diǎn)P不獨(dú)一，所以不正確；選項(xiàng)C，當(dāng)點(diǎn)P取C點(diǎn)時(shí)，1且1，解得2，1，獲得最大值為3；選

14、項(xiàng)D，當(dāng)P取點(diǎn)A時(shí)，獲得最小值0，所以不正確應(yīng)選C.考點(diǎn)：1、向量的幾何運(yùn)算；2、向量的坐標(biāo)運(yùn)算；3、向量的數(shù)乘.3【2016屆山東省濱州市高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試卷，理9】在ABC中，M為邊BC上的隨便一點(diǎn)，點(diǎn)N在線段AM上，且滿足AN1NM，若3ANABAC(,R)，則的值為（）11C1D4AB43【答案】A【分析】考點(diǎn)：平面向量4.20169ABCD中，點(diǎn)E是DC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC的一個(gè)三均分點(diǎn)，那么EF等于（）A1AB1ADB23C1AB1DAD32【答案】D【分析】1AB1AD2AB2AD23試題分析：依據(jù)向量加法、減法的三角形法規(guī)可知EFAFAEABBFADDEAB1ADAD1AB

15、1AB2AD,應(yīng)選D.3223考點(diǎn)：平面向量的線性運(yùn)算.5.【2017屆黑龍江雙鴨山一中高三上學(xué)期質(zhì)檢一數(shù)學(xué)試卷，文15】已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若OBa4OAa2013OC，且A,B,C三點(diǎn)共線（O為該直線外一點(diǎn)），則S2016=_【答案】1008【分析】考點(diǎn)：（1）等差數(shù)列的性質(zhì)；（2）平面向量基本定理.6【2015-2016學(xué)年安徽省六安一中高一下期中數(shù)學(xué)試卷，理16】如圖，ABC是直角邊等于4的等腰直角三角形，D是斜邊BC的中點(diǎn)，AM1ABmAC，向量AM的終4點(diǎn)M在ACD的內(nèi)部（不含界限），則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.【答案】1m344【分析】試題分析：以下列圖，設(shè)AE1AB，過(guò)

16、點(diǎn)E作EP/AC，分別交AD,BC于點(diǎn)Q,P，4分別過(guò)Q,P作QR/AE,PF/AE交AC于R,F則AR1AC,AF3AC,144ABmAC，M在ACD的內(nèi)部（不含界限），點(diǎn)M在線段QP上（不含點(diǎn)AM4111Q,P），當(dāng)點(diǎn)M取點(diǎn)Q時(shí)，AMAQACD的ABAC，可得m，而M在444內(nèi)部（不含界限），所以m1當(dāng)點(diǎn)M取點(diǎn)P時(shí)，AM1AB3AC，此時(shí)可得m3，4444而M在ACD的內(nèi)部（不含界限），所以m3131m3m所以答案應(yīng)填：44444考點(diǎn)：、向量的平行四邊形法規(guī)；、平面向量的基本定理；3、共面向量的基本定理7【2015-2016學(xué)年湖南衡陽(yáng)八中高二下第一次月考數(shù)學(xué)卷，文15】如圖，在矩形OAB

17、C中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，BC上，且滿足AB=3AE，BC=3CF，若=+（，R），則+=【答案】32【分析】考點(diǎn)：平面向量的線性運(yùn)算.8【2015-2016學(xué)年福建省上杭一中高一下周末練數(shù)學(xué)試卷，理17】設(shè)兩個(gè)非零向量e1與e2不共線.假如ABe1e2,BC2e18e2,CD3e1e2,求證：A、B、D三點(diǎn)共線；試確立實(shí)數(shù)k的值，使ke1e2和e1ke2共線.【答案】證明見(jiàn)解析；k1.【分析】試題分析：把BD表示為BCCD，即BCCDBD5e15e2利用向量共線定理證明BD與AB共線即可；利用向量共線定理列出關(guān)于k0，k的二元二次方程組01k即可求出考點(diǎn)：（1）平行向量與共線向量；（2）平面向量基本定理及其意義.9【2015屆江西省八所要點(diǎn)中學(xué)高三結(jié)合考試數(shù)學(xué)，文20】如圖，在ABC中,已知A(-2,0),B(2,0),CDAB于D,ABC的垂心為H，且CD2CH.（）求點(diǎn)H的軌跡方程;（）若過(guò)定點(diǎn)F（0，2）的直線交曲線E于不一樣的兩點(diǎn)G,H（點(diǎn)G在F,H之間），且滿足FGFH，求的取值范圍.【答案】（1）設(shè)點(diǎn)H的坐標(biāo)為（x,