空間統(tǒng)計分析方法

1、空間統(tǒng)計分析方法第1頁，共93頁，2022年，5月20日，2點17分，星期六本講內(nèi)容探索性空間統(tǒng)計分析地統(tǒng)計分析方法 第2頁，共93頁，2022年，5月20日，2點17分，星期六空間統(tǒng)計分析,即空間數(shù)據(jù)（spatial data）的統(tǒng)計分析，是現(xiàn)代計量地理學(xué)中一個快速發(fā)展的方向和領(lǐng)域。空間統(tǒng)計分析，其核心就是認識與地理位置相關(guān)的數(shù)據(jù)間的空間依賴、空間關(guān)聯(lián)或空間自相關(guān)，通過空間位置建立數(shù)據(jù)間的統(tǒng)計關(guān)系?？臻g統(tǒng)計分析的任務(wù)，就是運用有關(guān)統(tǒng)計方法，建立空間統(tǒng)計模型，從凌亂的數(shù)據(jù)中挖掘空間自相關(guān)與空間變異規(guī)律。 空間統(tǒng)計分析第3頁，共93頁，2022年，5月20日，2點17分，星期六空間數(shù)據(jù)分析與傳統(tǒng)

2、統(tǒng)計分析主要有兩大差異：(1)空間數(shù)據(jù)間并非獨立，而是在維空間中具有某種空間相關(guān)性，且在不同的空間分辨率下呈現(xiàn)不同之相關(guān)程度；(2)地球只有一個，大多數(shù)空間問題僅有一組（空間分布不規(guī)則的）觀測值，而無重復(fù)觀測數(shù)據(jù)。因此，空間現(xiàn)象的了解與描述是極為復(fù)雜的，而傳統(tǒng)方法，尤其是建立在獨立樣本上的統(tǒng)計方法，不適合分析空間數(shù)據(jù)。空間統(tǒng)計 VS. 經(jīng)典統(tǒng)計經(jīng)典統(tǒng)計：獨立性、隨機性假設(shè)空間統(tǒng)計：自相關(guān)、依賴性、異質(zhì)性第4頁，共93頁，2022年，5月20日，2點17分，星期六地理學(xué)第一定律（FLG）: everything is related to everything else, but near th

3、ings are more related than distant things (Tobler,1970).空間統(tǒng)計的基本思想：Waldo Tobler（born in 1930） receiving a plaque for his contributions to geography. On the event of his November 2000 birthday. Tobler, W. R. (1970). A computer movie simulating urban growth in the Detroit region. Economic Geography, 46

4、(2): 234-240.FLG的一般性: 自然地理、人文地理、社會經(jīng)濟第5頁，共93頁，2022年，5月20日，2點17分，星期六空間自相關(guān)是普遍存在的，否則地理分析便沒有多大意義。 經(jīng)典統(tǒng)計：獨立 空間自相關(guān)的存在，使得經(jīng)典統(tǒng)計學(xué)所要求的樣本獨立性假設(shè)不滿足。如果地理學(xué)從根本上值得研究，必然是因為地理現(xiàn)象在空間上的變化不是隨機的。 經(jīng)典統(tǒng)計：隨機第6頁，共93頁，2022年，5月20日，2點17分，星期六可以借助空間統(tǒng)計更好地理解地理現(xiàn)象。 或許學(xué)習(xí)空間統(tǒng)計最重要的原因是我們不僅僅想知道問題“怎么樣”，更想知道“哪里怎么樣” 空間統(tǒng)計學(xué)可以幫助我們準確地判斷具體地理模式的原因。 John

5、Snow的霍亂地圖 當發(fā)現(xiàn)某種病僅僅發(fā)生在靠近河流的村莊時，河流中的寄生物可能是病源?？臻g統(tǒng)計學(xué)可以幫助我們處理大的復(fù)雜數(shù)據(jù)集, 這是GIS經(jīng)常面對的事情。為什么要用空間統(tǒng)計第7頁，共93頁，2022年，5月20日，2點17分，星期六霍亂病死者居住分布圖(John Snow, 1854)1854年8月到9月英國倫敦霍亂流行時，當局始終找不到發(fā)病的原因，后來醫(yī)生約翰斯諾(John Snow) 參與調(diào)查。他在繪有霍亂流行地區(qū)所有道路、房屋、飲用水機井等內(nèi)容的1：6500比例尺地圖上，標出了每個霍亂病死者的居住位置，得到了霍亂病死者居住分布圖。第8頁，共93頁，2022年，5月20日，2點17分，星

6、期六一. 探索性空間統(tǒng)計分析 基本原理與方法 應(yīng)用實例 第9頁，共93頁，2022年，5月20日，2點17分，星期六探索性空間數(shù)據(jù)分析(ESDA)ESDA是指利用統(tǒng)計學(xué)原理和圖形圖表相結(jié)合對空間信息的性質(zhì)進行分析、鑒別，用以引導(dǎo)確定性模型的結(jié)構(gòu)和解法。 ESDA與EDA區(qū)別在于它考慮了數(shù)據(jù)的空間特性，在方法上它將數(shù)據(jù)分解為一般趨勢和疊加于其上的局部變化兩部分。然后用一定的數(shù)學(xué)函數(shù)去擬合由樣本點產(chǎn)生的經(jīng)驗變率函數(shù)，進行諸如克立格內(nèi)插等空間操作。第10頁，共93頁，2022年，5月20日，2點17分，星期六 通常定義一個二元對稱空間權(quán)重矩陣W，來表達n個位置的空間區(qū)域的鄰近關(guān)系，其形式如下式中：W

7、ij表示區(qū)域i與j的臨近關(guān)系，它可以根據(jù)鄰接標準或距離標準來度量。 1. 基本原理與方法 （一）空間權(quán)重矩陣 第11頁，共93頁，2022年，5月20日，2點17分，星期六 簡單的二進制鄰接矩陣 基于距離的二進制空間權(quán)重矩陣 兩種最常用的確定空間權(quán)重矩陣的規(guī)則 第12頁，共93頁，2022年，5月20日，2點17分，星期六（二）全局空間自相關(guān) Moran指數(shù)反映的是空間鄰接或空間鄰近的區(qū)域單元屬性值的相似程度。 Geary 系數(shù)與Moran指數(shù)存在負相關(guān)關(guān)系。 Patrick A.P.Moran （1917-1988） Moran指數(shù)和Geary系數(shù)是兩個用來度量空間自相關(guān)的全局指標。 全局空

8、間自相關(guān)概括了在一個總的空間范圍內(nèi)空間依賴的程度。第13頁，共93頁，2022年，5月20日，2點17分，星期六 如果是位置（區(qū)域）的觀測值，則該變量的全局Moran指數(shù)I，用如下公式計算 式中： I 為Moran指數(shù)； ；。第14頁，共93頁，2022年，5月20日，2點17分，星期六 Geary 系數(shù)C計算公式如下 式中：C為Geary系數(shù)；其他變量同上式。 如果引入記號 第15頁，共93頁，2022年，5月20日，2點17分，星期六 則全局Moran指數(shù)I的計算公式也可以進一步寫成 Moran指數(shù)I的取值一般在-1，1之間,小于0表示負相關(guān)，等于0表示不相關(guān)，大于0表示正相關(guān)； Gear

9、y系數(shù)C的取值一般在0，2之間，大于1表示負相關(guān)，等于1表示不相關(guān)，而小于1表示正相關(guān)。 第16頁，共93頁，2022年，5月20日，2點17分，星期六 （三）局部空間自相關(guān) 描述一個空間單元與其領(lǐng)域的相似程度，能夠表示每個局部單元服從全局總趨勢的程度（包括方向和量級），反映了空間異質(zhì)性，說明空間依賴是如何隨位置變化的。 局部空間自相關(guān)分析方法包括3種: 空間聯(lián)系的局部指標(LISA)； G統(tǒng)計量； Moran散點圖第17頁，共93頁，2022年，5月20日，2點17分，星期六空間聯(lián)系的局部指標(LISA) 空間聯(lián)系的局部指標（local indicators of spatial assoc

10、iation ，縮寫為LISA）滿足下列兩個條件： （1）每個區(qū)域單元的LISA，是描述該區(qū)域單元周圍顯著的相似值區(qū)域單元之間空間集聚程度的指標； （2）所有區(qū)域單元LISA的總和與全局的空間聯(lián)系指標成比例。第18頁，共93頁，2022年，5月20日，2點17分，星期六 LISA包括局部Moran指數(shù)（local Moran index）和局部Geary指數(shù)（local Geary index），下面重點介紹和討論局部Moran指數(shù)。第19頁，共93頁，2022年，5月20日，2點17分，星期六局部Moran指數(shù)被定義為可進一步寫成 式中： 和 是經(jīng)過標準差標準化的觀測值。局部Moran指數(shù)檢

11、驗的標準化統(tǒng)計量為 第20頁，共93頁，2022年，5月20日，2點17分，星期六 G統(tǒng)計量 全局G統(tǒng)計量的計算公式為對每一個區(qū)域單元的統(tǒng)計量為 探測區(qū)域單元是屬于高值集聚還是低值集聚的空間分布模式.第21頁，共93頁，2022年，5月20日，2點17分，星期六 對統(tǒng)計量的檢驗與局部Moran指數(shù)相似，其檢驗值為 顯著的正值表示在該區(qū)域單元周圍，高觀測值的區(qū)域單元趨于空間集聚，而顯著的負值表示低觀測值的區(qū)域單元趨于空間集聚,與Moran指數(shù)只能發(fā)現(xiàn)相似值(正關(guān)聯(lián))或非相似性觀測值(負關(guān)聯(lián))的空間集聚模式相比，具有能夠探測出區(qū)域單元屬于高值集聚還是低值集聚的空間分布模式。第22頁，共93頁，20

12、22年，5月20日，2點17分，星期六 Moran散點圖 以（Wz，z）為坐標點的Moran散點圖，常來研究局部的空間不穩(wěn)定性，它對空間滯后因子Wz和z數(shù)據(jù)對進行了可視化的二維圖示。 全局Moran指數(shù)，可以看作是Wz對于z的線性回歸系數(shù)，對界外值以及對Moran指數(shù)具有強烈影響的區(qū)域單元，可通過標準回歸來診斷出。 由于數(shù)據(jù)對（Wz，z）經(jīng)過了標準化，因此界外值可易由2sigma規(guī)則可視化地識別出來。第23頁，共93頁，2022年，5月20日，2點17分，星期六 Moran散點圖的4個象限，分別對應(yīng)于區(qū)域單元與其鄰居之間4種類型的局部空間聯(lián)系形式： 第1象限代表了高觀測值的區(qū)域單元被高值的區(qū)域

13、所包圍的空間聯(lián)系形式； 第2象限代表了低觀測值的區(qū)域單元被高值的區(qū)域所包圍的空間聯(lián)系形式；第24頁，共93頁，2022年，5月20日，2點17分，星期六 第3象限代表了低觀測值的區(qū)域單元被低值的區(qū)域所包圍的空間聯(lián)系形式； 第4象限代表了高觀測值的區(qū)域單元被低值的區(qū)域所包圍的空間聯(lián)系形式。第25頁，共93頁，2022年，5月20日，2點17分，星期六2. 應(yīng)用實例 中國大陸30個省級行政區(qū)人均GDP的空間關(guān)聯(lián)分析。根據(jù)各省（直轄市、自治區(qū)）之間的鄰接關(guān)系，采用二進制鄰接權(quán)重矩陣，選取各省（直轄市、自治區(qū)）19982002年人均GDP的自然對數(shù)，依照公式計算全局Moran指數(shù)I，計算其檢驗的標準化

14、統(tǒng)計量Z（I），結(jié)果如下表所示。年份IZP19980.50014.503 50.000 019990.506 94.555 10.000 020000.511 24.597 80.000 020010.505 94.553 20.000 020020.501 34.532 60.000 0第26頁，共93頁，2022年，5月20日，2點17分，星期六 從表中可以看出，在19982002年期間，中國大陸30個省級行政區(qū)人均GDP的全局Moran指數(shù)均為正值；在正態(tài)分布假設(shè)之上，對Moran指數(shù)檢驗的結(jié)果也高度顯著。這就是說，在19982002年期間，中國大陸30個省級行政區(qū)人均GDP存在著顯著的

15、、正的空間自相關(guān)，也就是說各省級行政區(qū)人均GDP水平的空間分布表現(xiàn)出相似值之間的空間集聚，其空間聯(lián)系的特征是：較高人均GDP水平的省級行政區(qū)相對地趨于和較高人均GDP水平的省級行政區(qū)相鄰，或者較低人均GDP水平的省級行政區(qū)相對地趨于和較低人均GDP水平的省級行政區(qū)相鄰。第27頁，共93頁，2022年，5月20日，2點17分，星期六 選取2001年我國30個省級行政區(qū)人均GDP數(shù)據(jù)，計算局部Gi統(tǒng)計量和局部Gi統(tǒng)計量的檢驗值Z(Gi)，并繪制統(tǒng)計地圖如下。第28頁，共93頁，2022年，5月20日，2點17分，星期六 檢驗結(jié)果表明，貴州、四川、云南西部3省的Z值在0.05的顯著性水平下顯著，重慶

16、的Z值在0.1的顯著性水平下顯著，該4省市在空間上相連成片分布，而且從統(tǒng)計學(xué)意義上來說，與該區(qū)域相鄰的省區(qū)，其人均GDP趨于為同樣是人均GDP低值的省區(qū)所包圍。由此形成人均GDP低值與低值的空間集聚，據(jù)此可認識到西部落后省區(qū)趨于空間集聚的分布特征。 第29頁，共93頁，2022年，5月20日，2點17分，星期六 東部的江蘇、上海、浙江三省市的Z值在0.05的顯著性水平下顯著，天津的Z值在0.1的顯著性水平下顯著。而東部上海、江浙等發(fā)達省市趨于為一些相鄰經(jīng)濟發(fā)展水平相對較高的省份所包圍，東部發(fā)達地區(qū)的空間集聚分布特征也顯現(xiàn)出來。第30頁，共93頁，2022年，5月20日，2點17分，星期六 以（

17、Wz,z）為坐標，進一步繪制Moran散點圖 可以發(fā)現(xiàn)，多數(shù)?。ㄖ陛犑?、自治區(qū)）位于第1和第3象限內(nèi)，為正的空間聯(lián)系，屬于低低集聚和高高集聚類型，而且位于第3象限內(nèi)的低低集聚類型的?。ㄖ陛犑小⒆灾螀^(qū)）比位于第1象限內(nèi)的高高集聚類型的?。ㄖ陛犑小⒆灾螀^(qū)）更多一些。第31頁，共93頁，2022年，5月20日，2點17分，星期六第32頁，共93頁，2022年，5月20日，2點17分，星期六 上圖進一步顯示了30個省級行政區(qū)人均GDP局部集聚的空間結(jié)構(gòu)?？梢钥闯觯瑥娜司鵊DP水平相對地來看： 高值被高值包圍的高高集聚?。ㄖ陛犑校┯校罕本⑻旖?、河南、安徽、湖北、江西、海南、廣東、福建、浙江、山東、上海

18、、江蘇； 低值被低值包圍的低低集聚省（自治區(qū)）有：黑龍江、內(nèi)蒙古、新疆、吉林、甘肅、山西、陜西、青海、西藏、四川、云南、遼寧、貴州； 被低值包圍的高值省（直轄市）有：重慶、廣西、河北；被高值包圍的低值省份只有湖南。第33頁，共93頁，2022年，5月20日，2點17分，星期六1978、1990、2001、2007年全國各省市人均GDP的LISA顯著水平圖第34頁，共93頁，2022年，5月20日，2點17分，星期六二、地統(tǒng)計分析方法地統(tǒng)計方法的基本原理 應(yīng)用實例 第35頁，共93頁，2022年，5月20日，2點17分，星期六地統(tǒng)計學(xué)(Geostatistics), 又稱地質(zhì)統(tǒng)計學(xué)，是法國著名統(tǒng)

19、計學(xué)家G.Matheron在大量理論研究基礎(chǔ)上提出的。地統(tǒng)計學(xué)是以區(qū)域化變量理論為基礎(chǔ)，以變異函數(shù)為主要工具，研究那些在空間分布上既有隨機性又有結(jié)構(gòu)性，或空間相關(guān)和依賴性，或空間格局與變異，并對這些數(shù)據(jù)進行最優(yōu)無偏內(nèi)插估計，或模擬這些數(shù)據(jù)的離散性、波動性。協(xié)方差函數(shù)和變異函數(shù)是以區(qū)域化變量理論為基礎(chǔ)建立起來的地統(tǒng)計學(xué)的兩個最基本的函數(shù)。地統(tǒng)計學(xué)的主要方法之一，克立格法就是建立在變異函數(shù)理論和結(jié)構(gòu)分析基礎(chǔ)之上的。 第36頁，共93頁，2022年，5月20日，2點17分，星期六 當一個變量呈現(xiàn)為空間分布時，就稱之為區(qū)域化變量。這種變量常常反映某種空間現(xiàn)象的特征，用區(qū)域化變量來描述的現(xiàn)象稱之為區(qū)域化

20、現(xiàn)象。 區(qū)域化變量，亦稱區(qū)域化隨機變量，G. Matheron（1963）將它定義為以空間點x的三個直角坐標為自變量的隨機場 區(qū)域化變量具有兩個最顯著，而且也是最重要的特征，即隨機性和結(jié)構(gòu)性。1. 地統(tǒng)計方法的基本原理 （一）區(qū)域化變量 第37頁，共93頁，2022年，5月20日，2點17分，星期六區(qū)域化變量的功能：由于區(qū)域化變量是一種隨機函數(shù)，因而能同時反映空間變量的結(jié)構(gòu)性和隨機性。一方面，當空間點 x 固定后，Z(x)就是一個隨機變量，這體現(xiàn)了其隨機性。另一方面，在空間兩個不同點 x 與 x+h 處的區(qū)域化變量值具有某種程度的相關(guān)性，這體現(xiàn)了其結(jié)構(gòu)性。第38頁，共93頁，2022年，5月2

21、0日，2點17分，星期六區(qū)域化變量的組成部分 數(shù)據(jù)點結(jié)構(gòu)性 可以用均值和常數(shù)趨勢表示空間相關(guān) 數(shù)據(jù)通常呈現(xiàn)正空間相關(guān)性 隨機性 測量誤差，其他誤差 第39頁，共93頁，2022年，5月20日，2點17分，星期六distance elevation結(jié)構(gòu)性隨機性實際值第40頁，共93頁，2022年，5月20日，2點17分，星期六（二）協(xié)方差函數(shù) 協(xié)方差函數(shù)的概念 區(qū)域化隨機變量之間的差異，可以用空間協(xié)方差來表示。 在概率論中,隨機向量X與Y的協(xié)方差被定義為 區(qū)域化變量 在空間點x和x+h處的兩個隨機變量和的二階混合中心矩定義為Z(x)的自協(xié)方差函數(shù)，即（4.2.2）(4.2.1)第41頁，共93頁

22、，2022年，5月20日，2點17分，星期六協(xié)方差函數(shù)的計算公式 式中：h為兩樣本點空間分隔距離或距離滯后； 為 在空間位置 處的實測值； 是 在 處距離偏離h的實測值i=1，2， ， 是分隔距離為h時的樣本點對（paris）總數(shù)， 和 分別為 和 的樣本平均數(shù),即 (4.2.3)(4.2.4)(4.2.5)第42頁，共93頁，2022年，5月20日，2點17分，星期六 若 = =m（常數(shù)），則上式可以改寫為 式中：m為樣本平均數(shù)，可由一般算術(shù)平均數(shù)公式求得，即 (4.2.6)第43頁，共93頁，2022年，5月20日，2點17分，星期六（三）變異函數(shù) 變異函數(shù)的概念 變異函數(shù)(variogr

23、ams)，又稱變差函數(shù)、變異矩，是地統(tǒng)計分析所特有的基本工具。 在一維條件下變異函數(shù)定義為，當空間點x在一維x軸上變化時，區(qū)域化變量Z(x)在點x和x+h處的值Z(x)與Z(x+h)差的方差的一半為區(qū)域化變量Z(x)在x軸方向上的變異函數(shù)，記為(h)，即 (4.2.7)第44頁，共93頁，2022年，5月20日，2點17分，星期六 在二階平穩(wěn)假設(shè)條件下，對任意的h有 因此，公式可以改寫為 從上式可知，變異函數(shù)依賴于兩個自變量 x和h，當變異函數(shù) 僅僅依賴于距離h而與位置x無關(guān)時， 可改寫成 ，即 (4.2.9)(4.2.8)第45頁，共93頁，2022年，5月20日，2點17分，星期六變異函數(shù)

24、的性質(zhì) 設(shè)Z(x)是區(qū)域化變量，在滿足二階平穩(wěn)假設(shè)條件下，變異函數(shù)式具有如下性質(zhì)： (1) =0，即在h=0處，變異函數(shù)為0； (2) = ，即 關(guān)于直線h=0是對稱的，它是一個偶函數(shù)； (3) 0，即 只能大于或等于0；第46頁，共93頁，2022年，5月20日，2點17分，星期六變異函數(shù)的計算公式 設(shè) 是系統(tǒng)某屬性Z在空間位置x處的值， 為一區(qū)域化隨機變量，并滿足二階平穩(wěn)假設(shè)，h為兩樣本點空間分隔距離， 和 分別是區(qū)域化變量 在空間位置 和 處的實測值i=1,2,N(h)，那么，變異函數(shù) 的離散計算公式為(4.2.10)第47頁，共93頁，2022年，5月20日，2點17分，星期六 這樣對

25、不同的空間分隔距離h，計算出相應(yīng)的 和 值。如果分別以h為橫坐標， 或 為縱坐標，畫出協(xié)方差函數(shù)和變異函數(shù)曲線圖，就可以直接展示區(qū)域化變量Z(x)的空間變異特點?？梢姡儺惡瘮?shù)能同時描述區(qū)域化變量的隨機性和結(jié)構(gòu)性，從而在數(shù)學(xué)上對區(qū)域化變量進行嚴格分析，是空間變異規(guī)律分析和空間結(jié)構(gòu)分析的有效工具。第48頁，共93頁，2022年，5月20日，2點17分，星期六第49頁，共93頁，2022年，5月20日，2點17分，星期六例如：假設(shè)某地區(qū)降水量Z(x)（單位：mm）是二維區(qū)域化隨機變量，滿足二階平穩(wěn)假設(shè)，其觀測值的空間正方形網(wǎng)格數(shù)據(jù)如圖所示（點與點之間的距離為h=1 km）。試計算其南北方向及西北和

26、東南方向的變異函數(shù)。第50頁，共93頁，2022年，5月20日，2點17分，星期六圖4.2.1 空間正方形網(wǎng)格數(shù)據(jù)（點間距h=1 km） 從圖可以看出，空間上有些點，由于某種原因沒有采集到。如果沒有缺失值，可直接對正方形網(wǎng)格數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)計算變異函數(shù)；在有缺失值的情況下，也可以計算變異函數(shù)。只要“跳過”缺失點位置即可（圖）。第51頁，共93頁，2022年，5月20日，2點17分，星期六圖4.2.2 缺失值情況下樣本數(shù)對的組成和計算過程為缺失值 第52頁，共93頁，2022年，5月20日，2點17分，星期六圖1 空間正方形網(wǎng)格數(shù)據(jù)（點間距h=1km） 第53頁，共93頁，2022年，5月20日，2點1

27、7分，星期六圖2 空間正方形網(wǎng)格數(shù)據(jù)（點間距h=2km） 第54頁，共93頁，2022年，5月20日，2點17分，星期六 首先計算南北方向上的變異函數(shù)值，由變異函數(shù)的計算公式可得 =385/72=5.35 圖4.2.2 缺失值情況下樣本數(shù)對的組成和計算過程為缺失值 第55頁，共93頁，2022年，5月20日，2點17分，星期六 同樣計算出 最后，得到南北方向和西北東南方向上的變異函數(shù)計算結(jié)果見下表。同樣可以計算東西方向上的變異函數(shù)。 方向 南北 方向 西北東南 h12345h1.412.824.245.657.07N(h) 36 27 21 13 5 N(h) 322113825.359.26

28、17.5525.6922.907.0612.9530.8558.1350.00第56頁，共93頁，2022年，5月20日，2點17分，星期六變異函數(shù)的參數(shù) 變異函數(shù)有4個非常重要的參數(shù)，即基臺值（sill）、變程（range）或稱空間依賴范圍（range of spatial dependence）、塊金值（nugget）或稱區(qū)域不連續(xù)性值（localized discontinuity）和分維數(shù)（fractal dimension）。 前3個參數(shù)可以直接從變異函數(shù)圖中得到。它們決定變異函數(shù)的形狀與結(jié)構(gòu)。 變異函數(shù)的形狀反映自然現(xiàn)象空間分布結(jié)構(gòu)或空間相關(guān)的類型，同時還能給出這種空間相關(guān)的范圍。

29、第57頁，共93頁，2022年，5月20日，2點17分，星期六 當變異函數(shù)隨著間隔距離h的增大，從非零值達到一個相對穩(wěn)定的常數(shù)時，該常數(shù)稱為基臺值C0+C。 當間隔距離h=0時，(0)= C0，該值稱為塊金值或塊金方差（nugget variance）。 基臺值是系統(tǒng)或系統(tǒng)屬性中最大的變異，變異函數(shù)達到基臺值時的間隔距離a稱為變程。變程表示在ha以后，區(qū)域化變量Z(x)空間相關(guān)性消失。第58頁，共93頁，2022年，5月20日，2點17分，星期六 第4個參數(shù)，即分維數(shù)用于表示變異函數(shù)的特性，由變異函數(shù) 和間隔距離h之間的關(guān)系確定 其中，分維數(shù)D為雙對數(shù)直線回歸方程中的斜率，它是一個無量綱數(shù)。分

30、維數(shù)D的大小，表示變異函數(shù)曲線的曲率，可以作為隨機變異的量度。第59頁，共93頁，2022年，5月20日，2點17分，星期六理論變異函數(shù)模型實踐中，常用的是變異函數(shù)圖：偏基臺值:C(partial sill)塊金值:C0(nugget)變程: a(range)h基臺值(sill)not related anymore變程范圍內(nèi)才有結(jié)構(gòu)性變化（有規(guī)律的變化）反映隨機性大?。褐饕獊碓从趨^(qū)域化變量Z(x)在小于抽樣尺度h時所具有的內(nèi)部變異；另外還有抽樣分析誤差。變異函數(shù)是一個單調(diào)不減函數(shù)。當h超過某一個范圍，例如變程，變異函數(shù)不再增大，而是趨于一個極限值，即為基臺值。實際上等于區(qū)域化變量的先驗方差。

31、即，即基臺值與塊金值之差，表示數(shù)據(jù)中存在空間相關(guān)性引起的方差變化范圍。第60頁，共93頁，2022年，5月20日，2點17分，星期六變異函數(shù)的理論模型 地統(tǒng)計學(xué)將變異函數(shù)理論模型分為3大類： 第1類是有基臺值模型，包括球狀模型、指數(shù)模型、高斯模型、線性有基臺值模型和純塊金效應(yīng)模型； 第2類是無基臺值模型，包括冪函數(shù)模型、線性無基臺值模型、拋物線模型； 第3類是孔穴效應(yīng)模型。 下面有代表性地介紹幾種常見的變異函數(shù)理論模型。 第61頁，共93頁，2022年，5月20日，2點17分，星期六純塊金效應(yīng)模型:其一般公式為 式中：c00，為先驗方差。該模型相當于區(qū)域化變量為隨機分布，樣本點間的協(xié)方差函數(shù)對

32、于所有距離h均等于0，變量的空間相關(guān)不存在。 (4.2.11)第62頁，共93頁，2022年，5月20日，2點17分，星期六 球狀模型:其一般公式為 式中：c0為塊金（效應(yīng)）常數(shù);c為拱高;c0+c為基臺值;a為變程。當c0=0，c=1時，稱為標準球狀模型。球狀模型是地統(tǒng)計分析中應(yīng)用最廣泛的理論模型，許多區(qū)域化變量的理論模型都可以用該模型去擬合。 (4.2.12)第63頁，共93頁，2022年，5月20日，2點17分，星期六 指數(shù)模型:其一般公式為 式中：c0和c意義與前相同，但a不是變程。當h=3時， ，即 ，從而指數(shù)模型的變程 約為 約為3a。當c0=0，c=1時，稱為標準指數(shù)模型。(4.

33、2.13)第64頁，共93頁，2022年，5月20日，2點17分，星期六 高斯模型:其一般公式為 式中：c0和c意義與前相同，a也不是變程。當 時， ，即 ，因此高斯模型的變程 約為 。當 時，稱為標準高斯函數(shù)模型。(4.2.14)第65頁，共93頁，2022年，5月20日，2點17分，星期六冪函數(shù)模型:其一般公式為 式中：為冪指數(shù)。當變化時，這種模型可以反映在原點附近的各種性狀。但是必須小于2，若 ，則函數(shù) 就不再是一個條件非負定函數(shù)了，也就是說它已經(jīng)不能成為變異函數(shù)了。 (4.2.15)第66頁，共93頁，2022年，5月20日，2點17分，星期六 對數(shù)模型:其一般公式為 顯然，當 ，這與

34、變異函數(shù)的性質(zhì) 不符 。因此，對數(shù)模型不能描述點支撐上的區(qū)域化變量的結(jié)構(gòu)。(4.2.16)第67頁，共93頁，2022年，5月20日，2點17分，星期六 線性有基臺值模型:其一般公式為 式中:該模型的變程為a，基臺值為 。 線性無基臺值模型:其一般公式為 從式中可以看出，該模型沒有基臺值，也沒有變程。 (4.2.18)(4.2.17)第68頁，共93頁，2022年，5月20日，2點17分，星期六第69頁，共93頁，2022年，5月20日，2點17分，星期六例如:某地區(qū)降水量是一個區(qū)域化變量，其變異函數(shù) 的實測值及距離h的關(guān)系見下表，下面我們試用回歸分析方法建立其球狀變異函數(shù)模型。實測值(h)距

35、離h實測值(h)距離h2.10.69.24.94.31.110.35.15.72.210.56.26.52.510.97.57.83.111.29.58.83.812.49.8第70頁，共93頁，2022年，5月20日，2點17分，星期六 從上面的介紹和討論，我們知道，球狀變異函數(shù)的一般形式為 當 時，有第71頁，共93頁，2022年，5月20日，2點17分，星期六 如果記 ，則可以得到線性模型 根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，對上式進行最小二乘擬合，得到 (4.2.20) 計算可知，上式的顯著性檢驗參數(shù)F=114.054，R2=0.962，可見模型的擬合效果是很好的。(4.2.19)第72頁，共93頁，20

36、22年，5月20日，2點17分，星期六 比較(4.2.20)式與(4.2.19)式，并做簡單計算可知：c0=2.048，c=1.154，a=8.353，所以，球狀變異函數(shù)模型為(4.2.21)第73頁，共93頁，2022年，5月20日，2點17分，星期六 (四)克立格插值方法 克立格（Kriging）插值法，又稱空間局部估計或空間局部插值法。它建立在變異函數(shù)理論及結(jié)構(gòu)分析基礎(chǔ)之上的，在有限區(qū)域內(nèi)對區(qū)域化變量的取值進行無偏最優(yōu)估計的一種方法。 克立格法適用的條件是，如果變異函數(shù)和相關(guān)分析的結(jié)果表明區(qū)域化變量存在空間相關(guān)性。 其實質(zhì)是利用區(qū)域化變量的原始數(shù)據(jù)和變異函數(shù)的結(jié)構(gòu)特點，對未采樣點的區(qū)域化

37、變量的取值進行線性無偏、最優(yōu)估計。具體來說，它是根據(jù)待估樣點(或待估塊段)有限鄰域內(nèi)若干已測定的樣點數(shù)據(jù)，在認真考慮樣點的形狀、大小和空間相互位置關(guān)系，它們與待估樣點相互空間位置關(guān)系，以及變異函數(shù)提供的結(jié)構(gòu)信息之后，對該待估樣點值進行的一種線性無偏最優(yōu)估計。第74頁，共93頁，2022年，5月20日，2點17分，星期六 克立格插值（kriging interpolation)是根據(jù)變異函數(shù)模型而發(fā)展起來的一系列地統(tǒng)計的空間插值方法，包括： 普通克立格法（ordinary kriging）; 泛克立格法（universal kriging）; 指示克立格法（indicator kriging）;

38、 析取克立格法（disjunctive kriging）; 協(xié)同克立格法（cokriging）等。 下面僅對普通克立格法作一些簡單介紹。 第75頁，共93頁，2022年，5月20日，2點17分，星期六 首先假設(shè)區(qū)域化變量 滿足二階平穩(wěn)假設(shè)和本征假設(shè)，其數(shù)學(xué)期望為m，協(xié)方差函數(shù) 及變異函數(shù) 存在。即 假設(shè)在待估計點（x）的臨域內(nèi)共有n個實測點，即x1，x2，xn，其樣本值為 。那么，普通克里格法的插值公式為 (4.2.22)第76頁，共93頁，2022年，5月20日，2點17分，星期六 其中 為權(quán)重系數(shù)，表示各空間樣本點 處的觀測值 對估計值 的貢獻程度。 可見，克立格插值的關(guān)鍵就是計算權(quán)重系數(shù)

39、 。顯然，權(quán)重系數(shù)的求取必須滿足兩個條件： 一是使 的估計是無偏的，即偏差的數(shù)學(xué)期望為零； 二是最優(yōu)的，即使估計值 和實際值 之差的平方和最小。 為此，需要滿足以下兩個條件：第77頁，共93頁，2022年，5月20日，2點17分，星期六 (1)無偏性。要使 成為 的無偏估計量，即 。 當 時，也就是當 時，則有 這時， 為 的無偏估計量。 （2）最優(yōu)性。在滿足無偏性條件下，估計方差為(4.2.23)第78頁，共93頁，2022年，5月20日，2點17分，星期六2. 應(yīng)用實例 年降水量和蒸發(fā)量，既服從地帶性規(guī)律，同時又受隨機性因素的影響，因此它們是典型的區(qū)域化變量。我們以甘肅省53個氣象臺站多年平均降水量和蒸發(fā)量數(shù)據(jù)為實測值，擬合了年降水量和蒸發(fā)量的半變異函數(shù)理論模型，并采用普通克立格法和雙變量協(xié)同克里格法，做了空間插值計算，結(jié)論如下。 第79頁，共93頁，2022年，5月20日，2點17分，星期六 （一）半變異函數(shù) 半變異函數(shù)模型，是克立格空間插值的前提條件，同時它也決定著空間插值的精度。一般情況下，