空間統(tǒng)計(jì)分析方法

1、空間統(tǒng)計(jì)分析方法第1頁(yè)，共93頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期六本講內(nèi)容探索性空間統(tǒng)計(jì)分析地統(tǒng)計(jì)分析方法 第2頁(yè)，共93頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期六空間統(tǒng)計(jì)分析,即空間數(shù)據(jù)（spatial data）的統(tǒng)計(jì)分析，是現(xiàn)代計(jì)量地理學(xué)中一個(gè)快速發(fā)展的方向和領(lǐng)域?？臻g統(tǒng)計(jì)分析，其核心就是認(rèn)識(shí)與地理位置相關(guān)的數(shù)據(jù)間的空間依賴(lài)、空間關(guān)聯(lián)或空間自相關(guān)，通過(guò)空間位置建立數(shù)據(jù)間的統(tǒng)計(jì)關(guān)系?？臻g統(tǒng)計(jì)分析的任務(wù)，就是運(yùn)用有關(guān)統(tǒng)計(jì)方法，建立空間統(tǒng)計(jì)模型，從凌亂的數(shù)據(jù)中挖掘空間自相關(guān)與空間變異規(guī)律。 空間統(tǒng)計(jì)分析第3頁(yè)，共93頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期六空間數(shù)據(jù)分析與傳統(tǒng)

2、統(tǒng)計(jì)分析主要有兩大差異：(1)空間數(shù)據(jù)間并非獨(dú)立，而是在維空間中具有某種空間相關(guān)性，且在不同的空間分辨率下呈現(xiàn)不同之相關(guān)程度；(2)地球只有一個(gè)，大多數(shù)空間問(wèn)題僅有一組（空間分布不規(guī)則的）觀測(cè)值，而無(wú)重復(fù)觀測(cè)數(shù)據(jù)。因此，空間現(xiàn)象的了解與描述是極為復(fù)雜的，而傳統(tǒng)方法，尤其是建立在獨(dú)立樣本上的統(tǒng)計(jì)方法，不適合分析空間數(shù)據(jù)?？臻g統(tǒng)計(jì) VS. 經(jīng)典統(tǒng)計(jì)經(jīng)典統(tǒng)計(jì)：獨(dú)立性、隨機(jī)性假設(shè)空間統(tǒng)計(jì)：自相關(guān)、依賴(lài)性、異質(zhì)性第4頁(yè)，共93頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期六地理學(xué)第一定律（FLG）: everything is related to everything else, but near th

3、ings are more related than distant things (Tobler,1970).空間統(tǒng)計(jì)的基本思想：Waldo Tobler（born in 1930） receiving a plaque for his contributions to geography. On the event of his November 2000 birthday. Tobler, W. R. (1970). A computer movie simulating urban growth in the Detroit region. Economic Geography, 46

4、(2): 234-240.FLG的一般性: 自然地理、人文地理、社會(huì)經(jīng)濟(jì)第5頁(yè)，共93頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期六空間自相關(guān)是普遍存在的，否則地理分析便沒(méi)有多大意義。 經(jīng)典統(tǒng)計(jì)：獨(dú)立 空間自相關(guān)的存在，使得經(jīng)典統(tǒng)計(jì)學(xué)所要求的樣本獨(dú)立性假設(shè)不滿(mǎn)足。如果地理學(xué)從根本上值得研究，必然是因?yàn)榈乩憩F(xiàn)象在空間上的變化不是隨機(jī)的。 經(jīng)典統(tǒng)計(jì)：隨機(jī)第6頁(yè)，共93頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期六可以借助空間統(tǒng)計(jì)更好地理解地理現(xiàn)象。 或許學(xué)習(xí)空間統(tǒng)計(jì)最重要的原因是我們不僅僅想知道問(wèn)題“怎么樣”，更想知道“哪里怎么樣” 空間統(tǒng)計(jì)學(xué)可以幫助我們準(zhǔn)確地判斷具體地理模式的原因。 John

5、Snow的霍亂地圖 當(dāng)發(fā)現(xiàn)某種病僅僅發(fā)生在靠近河流的村莊時(shí)，河流中的寄生物可能是病源?？臻g統(tǒng)計(jì)學(xué)可以幫助我們處理大的復(fù)雜數(shù)據(jù)集, 這是GIS經(jīng)常面對(duì)的事情。為什么要用空間統(tǒng)計(jì)第7頁(yè)，共93頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期六霍亂病死者居住分布圖(John Snow, 1854)1854年8月到9月英國(guó)倫敦霍亂流行時(shí)，當(dāng)局始終找不到發(fā)病的原因，后來(lái)醫(yī)生約翰斯諾(John Snow) 參與調(diào)查。他在繪有霍亂流行地區(qū)所有道路、房屋、飲用水機(jī)井等內(nèi)容的1：6500比例尺地圖上，標(biāo)出了每個(gè)霍亂病死者的居住位置，得到了霍亂病死者居住分布圖。第8頁(yè)，共93頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星

6、期六一. 探索性空間統(tǒng)計(jì)分析 基本原理與方法 應(yīng)用實(shí)例 第9頁(yè)，共93頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期六探索性空間數(shù)據(jù)分析(ESDA)ESDA是指利用統(tǒng)計(jì)學(xué)原理和圖形圖表相結(jié)合對(duì)空間信息的性質(zhì)進(jìn)行分析、鑒別，用以引導(dǎo)確定性模型的結(jié)構(gòu)和解法。 ESDA與EDA區(qū)別在于它考慮了數(shù)據(jù)的空間特性，在方法上它將數(shù)據(jù)分解為一般趨勢(shì)和疊加于其上的局部變化兩部分。然后用一定的數(shù)學(xué)函數(shù)去擬合由樣本點(diǎn)產(chǎn)生的經(jīng)驗(yàn)變率函數(shù)，進(jìn)行諸如克立格內(nèi)插等空間操作。第10頁(yè)，共93頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期六 通常定義一個(gè)二元對(duì)稱(chēng)空間權(quán)重矩陣W，來(lái)表達(dá)n個(gè)位置的空間區(qū)域的鄰近關(guān)系，其形式如下式中：W

7、ij表示區(qū)域i與j的臨近關(guān)系，它可以根據(jù)鄰接標(biāo)準(zhǔn)或距離標(biāo)準(zhǔn)來(lái)度量。 1. 基本原理與方法 （一）空間權(quán)重矩陣 第11頁(yè)，共93頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期六 簡(jiǎn)單的二進(jìn)制鄰接矩陣 基于距離的二進(jìn)制空間權(quán)重矩陣 兩種最常用的確定空間權(quán)重矩陣的規(guī)則 第12頁(yè)，共93頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期六（二）全局空間自相關(guān) Moran指數(shù)反映的是空間鄰接或空間鄰近的區(qū)域單元屬性值的相似程度。 Geary 系數(shù)與Moran指數(shù)存在負(fù)相關(guān)關(guān)系。 Patrick A.P.Moran （1917-1988） Moran指數(shù)和Geary系數(shù)是兩個(gè)用來(lái)度量空間自相關(guān)的全局指標(biāo)。 全局空

8、間自相關(guān)概括了在一個(gè)總的空間范圍內(nèi)空間依賴(lài)的程度。第13頁(yè)，共93頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期六 如果是位置（區(qū)域）的觀測(cè)值，則該變量的全局Moran指數(shù)I，用如下公式計(jì)算 式中： I 為Moran指數(shù)； ；。第14頁(yè)，共93頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期六 Geary 系數(shù)C計(jì)算公式如下 式中：C為Geary系數(shù)；其他變量同上式。 如果引入記號(hào) 第15頁(yè)，共93頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期六 則全局Moran指數(shù)I的計(jì)算公式也可以進(jìn)一步寫(xiě)成 Moran指數(shù)I的取值一般在-1，1之間,小于0表示負(fù)相關(guān)，等于0表示不相關(guān)，大于0表示正相關(guān)； Gear

9、y系數(shù)C的取值一般在0，2之間，大于1表示負(fù)相關(guān)，等于1表示不相關(guān)，而小于1表示正相關(guān)。 第16頁(yè)，共93頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期六 （三）局部空間自相關(guān) 描述一個(gè)空間單元與其領(lǐng)域的相似程度，能夠表示每個(gè)局部單元服從全局總趨勢(shì)的程度（包括方向和量級(jí)），反映了空間異質(zhì)性，說(shuō)明空間依賴(lài)是如何隨位置變化的。 局部空間自相關(guān)分析方法包括3種: 空間聯(lián)系的局部指標(biāo)(LISA)； G統(tǒng)計(jì)量； Moran散點(diǎn)圖第17頁(yè)，共93頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期六空間聯(lián)系的局部指標(biāo)(LISA) 空間聯(lián)系的局部指標(biāo)（local indicators of spatial assoc

10、iation ，縮寫(xiě)為L(zhǎng)ISA）滿(mǎn)足下列兩個(gè)條件： （1）每個(gè)區(qū)域單元的LISA，是描述該區(qū)域單元周?chē)@著的相似值區(qū)域單元之間空間集聚程度的指標(biāo)； （2）所有區(qū)域單元LISA的總和與全局的空間聯(lián)系指標(biāo)成比例。第18頁(yè)，共93頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期六 LISA包括局部Moran指數(shù)（local Moran index）和局部Geary指數(shù)（local Geary index），下面重點(diǎn)介紹和討論局部Moran指數(shù)。第19頁(yè)，共93頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期六局部Moran指數(shù)被定義為可進(jìn)一步寫(xiě)成 式中： 和 是經(jīng)過(guò)標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)化的觀測(cè)值。局部Moran指數(shù)檢

11、驗(yàn)的標(biāo)準(zhǔn)化統(tǒng)計(jì)量為 第20頁(yè)，共93頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期六 G統(tǒng)計(jì)量 全局G統(tǒng)計(jì)量的計(jì)算公式為對(duì)每一個(gè)區(qū)域單元的統(tǒng)計(jì)量為 探測(cè)區(qū)域單元是屬于高值集聚還是低值集聚的空間分布模式.第21頁(yè)，共93頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期六 對(duì)統(tǒng)計(jì)量的檢驗(yàn)與局部Moran指數(shù)相似，其檢驗(yàn)值為 顯著的正值表示在該區(qū)域單元周?chē)哂^測(cè)值的區(qū)域單元趨于空間集聚，而顯著的負(fù)值表示低觀測(cè)值的區(qū)域單元趨于空間集聚,與Moran指數(shù)只能發(fā)現(xiàn)相似值(正關(guān)聯(lián))或非相似性觀測(cè)值(負(fù)關(guān)聯(lián))的空間集聚模式相比，具有能夠探測(cè)出區(qū)域單元屬于高值集聚還是低值集聚的空間分布模式。第22頁(yè)，共93頁(yè)，20

12、22年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期六 Moran散點(diǎn)圖 以（Wz，z）為坐標(biāo)點(diǎn)的Moran散點(diǎn)圖，常來(lái)研究局部的空間不穩(wěn)定性，它對(duì)空間滯后因子Wz和z數(shù)據(jù)對(duì)進(jìn)行了可視化的二維圖示。 全局Moran指數(shù)，可以看作是Wz對(duì)于z的線(xiàn)性回歸系數(shù)，對(duì)界外值以及對(duì)Moran指數(shù)具有強(qiáng)烈影響的區(qū)域單元，可通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)回歸來(lái)診斷出。 由于數(shù)據(jù)對(duì)（Wz，z）經(jīng)過(guò)了標(biāo)準(zhǔn)化，因此界外值可易由2sigma規(guī)則可視化地識(shí)別出來(lái)。第23頁(yè)，共93頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期六 Moran散點(diǎn)圖的4個(gè)象限，分別對(duì)應(yīng)于區(qū)域單元與其鄰居之間4種類(lèi)型的局部空間聯(lián)系形式： 第1象限代表了高觀測(cè)值的區(qū)域單元被高值的區(qū)域

13、所包圍的空間聯(lián)系形式； 第2象限代表了低觀測(cè)值的區(qū)域單元被高值的區(qū)域所包圍的空間聯(lián)系形式；第24頁(yè)，共93頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期六 第3象限代表了低觀測(cè)值的區(qū)域單元被低值的區(qū)域所包圍的空間聯(lián)系形式； 第4象限代表了高觀測(cè)值的區(qū)域單元被低值的區(qū)域所包圍的空間聯(lián)系形式。第25頁(yè)，共93頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期六2. 應(yīng)用實(shí)例 中國(guó)大陸30個(gè)省級(jí)行政區(qū)人均GDP的空間關(guān)聯(lián)分析。根據(jù)各省（直轄市、自治區(qū)）之間的鄰接關(guān)系，采用二進(jìn)制鄰接權(quán)重矩陣，選取各?。ㄖ陛犑?、自治區(qū)）19982002年人均GDP的自然對(duì)數(shù)，依照公式計(jì)算全局Moran指數(shù)I，計(jì)算其檢驗(yàn)的標(biāo)準(zhǔn)化

14、統(tǒng)計(jì)量Z（I），結(jié)果如下表所示。年份IZP19980.50014.503 50.000 019990.506 94.555 10.000 020000.511 24.597 80.000 020010.505 94.553 20.000 020020.501 34.532 60.000 0第26頁(yè)，共93頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期六 從表中可以看出，在19982002年期間，中國(guó)大陸30個(gè)省級(jí)行政區(qū)人均GDP的全局Moran指數(shù)均為正值；在正態(tài)分布假設(shè)之上，對(duì)Moran指數(shù)檢驗(yàn)的結(jié)果也高度顯著。這就是說(shuō)，在19982002年期間，中國(guó)大陸30個(gè)省級(jí)行政區(qū)人均GDP存在著顯著的

15、、正的空間自相關(guān)，也就是說(shuō)各省級(jí)行政區(qū)人均GDP水平的空間分布表現(xiàn)出相似值之間的空間集聚，其空間聯(lián)系的特征是：較高人均GDP水平的省級(jí)行政區(qū)相對(duì)地趨于和較高人均GDP水平的省級(jí)行政區(qū)相鄰，或者較低人均GDP水平的省級(jí)行政區(qū)相對(duì)地趨于和較低人均GDP水平的省級(jí)行政區(qū)相鄰。第27頁(yè)，共93頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期六 選取2001年我國(guó)30個(gè)省級(jí)行政區(qū)人均GDP數(shù)據(jù)，計(jì)算局部Gi統(tǒng)計(jì)量和局部Gi統(tǒng)計(jì)量的檢驗(yàn)值Z(Gi)，并繪制統(tǒng)計(jì)地圖如下。第28頁(yè)，共93頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期六 檢驗(yàn)結(jié)果表明，貴州、四川、云南西部3省的Z值在0.05的顯著性水平下顯著，重慶

16、的Z值在0.1的顯著性水平下顯著，該4省市在空間上相連成片分布，而且從統(tǒng)計(jì)學(xué)意義上來(lái)說(shuō)，與該區(qū)域相鄰的省區(qū)，其人均GDP趨于為同樣是人均GDP低值的省區(qū)所包圍。由此形成人均GDP低值與低值的空間集聚，據(jù)此可認(rèn)識(shí)到西部落后省區(qū)趨于空間集聚的分布特征。 第29頁(yè)，共93頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期六 東部的江蘇、上海、浙江三省市的Z值在0.05的顯著性水平下顯著，天津的Z值在0.1的顯著性水平下顯著。而東部上海、江浙等發(fā)達(dá)省市趨于為一些相鄰經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平相對(duì)較高的省份所包圍，東部發(fā)達(dá)地區(qū)的空間集聚分布特征也顯現(xiàn)出來(lái)。第30頁(yè)，共93頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期六 以（

17、Wz,z）為坐標(biāo)，進(jìn)一步繪制Moran散點(diǎn)圖 可以發(fā)現(xiàn)，多數(shù)?。ㄖ陛犑?、自治區(qū)）位于第1和第3象限內(nèi)，為正的空間聯(lián)系，屬于低低集聚和高高集聚類(lèi)型，而且位于第3象限內(nèi)的低低集聚類(lèi)型的?。ㄖ陛犑?、自治區(qū)）比位于第1象限內(nèi)的高高集聚類(lèi)型的?。ㄖ陛犑小⒆灾螀^(qū)）更多一些。第31頁(yè)，共93頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期六第32頁(yè)，共93頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期六 上圖進(jìn)一步顯示了30個(gè)省級(jí)行政區(qū)人均GDP局部集聚的空間結(jié)構(gòu)?？梢钥闯?，從人均GDP水平相對(duì)地來(lái)看： 高值被高值包圍的高高集聚?。ㄖ陛犑校┯校罕本?、天津、河南、安徽、湖北、江西、海南、廣東、福建、浙江、山東、上海

18、、江蘇； 低值被低值包圍的低低集聚?。ㄗ灾螀^(qū)）有：黑龍江、內(nèi)蒙古、新疆、吉林、甘肅、山西、陜西、青海、西藏、四川、云南、遼寧、貴州； 被低值包圍的高值?。ㄖ陛犑校┯校褐貞c、廣西、河北；被高值包圍的低值省份只有湖南。第33頁(yè)，共93頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期六1978、1990、2001、2007年全國(guó)各省市人均GDP的LISA顯著水平圖第34頁(yè)，共93頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期六二、地統(tǒng)計(jì)分析方法地統(tǒng)計(jì)方法的基本原理 應(yīng)用實(shí)例 第35頁(yè)，共93頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期六地統(tǒng)計(jì)學(xué)(Geostatistics), 又稱(chēng)地質(zhì)統(tǒng)計(jì)學(xué)，是法國(guó)著名統(tǒng)

19、計(jì)學(xué)家G.Matheron在大量理論研究基礎(chǔ)上提出的。地統(tǒng)計(jì)學(xué)是以區(qū)域化變量理論為基礎(chǔ)，以變異函數(shù)為主要工具，研究那些在空間分布上既有隨機(jī)性又有結(jié)構(gòu)性，或空間相關(guān)和依賴(lài)性，或空間格局與變異，并對(duì)這些數(shù)據(jù)進(jìn)行最優(yōu)無(wú)偏內(nèi)插估計(jì)，或模擬這些數(shù)據(jù)的離散性、波動(dòng)性。協(xié)方差函數(shù)和變異函數(shù)是以區(qū)域化變量理論為基礎(chǔ)建立起來(lái)的地統(tǒng)計(jì)學(xué)的兩個(gè)最基本的函數(shù)。地統(tǒng)計(jì)學(xué)的主要方法之一，克立格法就是建立在變異函數(shù)理論和結(jié)構(gòu)分析基礎(chǔ)之上的。 第36頁(yè)，共93頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期六 當(dāng)一個(gè)變量呈現(xiàn)為空間分布時(shí)，就稱(chēng)之為區(qū)域化變量。這種變量常常反映某種空間現(xiàn)象的特征，用區(qū)域化變量來(lái)描述的現(xiàn)象稱(chēng)之為區(qū)域化

20、現(xiàn)象。 區(qū)域化變量，亦稱(chēng)區(qū)域化隨機(jī)變量，G. Matheron（1963）將它定義為以空間點(diǎn)x的三個(gè)直角坐標(biāo)為自變量的隨機(jī)場(chǎng) 區(qū)域化變量具有兩個(gè)最顯著，而且也是最重要的特征，即隨機(jī)性和結(jié)構(gòu)性。1. 地統(tǒng)計(jì)方法的基本原理 （一）區(qū)域化變量 第37頁(yè)，共93頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期六區(qū)域化變量的功能：由于區(qū)域化變量是一種隨機(jī)函數(shù)，因而能同時(shí)反映空間變量的結(jié)構(gòu)性和隨機(jī)性。一方面，當(dāng)空間點(diǎn) x 固定后，Z(x)就是一個(gè)隨機(jī)變量，這體現(xiàn)了其隨機(jī)性。另一方面，在空間兩個(gè)不同點(diǎn) x 與 x+h 處的區(qū)域化變量值具有某種程度的相關(guān)性，這體現(xiàn)了其結(jié)構(gòu)性。第38頁(yè)，共93頁(yè)，2022年，5月2

21、0日，2點(diǎn)17分，星期六區(qū)域化變量的組成部分 數(shù)據(jù)點(diǎn)結(jié)構(gòu)性 可以用均值和常數(shù)趨勢(shì)表示空間相關(guān) 數(shù)據(jù)通常呈現(xiàn)正空間相關(guān)性 隨機(jī)性 測(cè)量誤差，其他誤差 第39頁(yè)，共93頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期六distance elevation結(jié)構(gòu)性隨機(jī)性實(shí)際值第40頁(yè)，共93頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期六（二）協(xié)方差函數(shù) 協(xié)方差函數(shù)的概念 區(qū)域化隨機(jī)變量之間的差異，可以用空間協(xié)方差來(lái)表示。 在概率論中,隨機(jī)向量X與Y的協(xié)方差被定義為 區(qū)域化變量 在空間點(diǎn)x和x+h處的兩個(gè)隨機(jī)變量和的二階混合中心矩定義為Z(x)的自協(xié)方差函數(shù)，即（4.2.2）(4.2.1)第41頁(yè)，共93頁(yè)

22、，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期六協(xié)方差函數(shù)的計(jì)算公式 式中：h為兩樣本點(diǎn)空間分隔距離或距離滯后； 為 在空間位置 處的實(shí)測(cè)值； 是 在 處距離偏離h的實(shí)測(cè)值i=1，2， ， 是分隔距離為h時(shí)的樣本點(diǎn)對(duì)（paris）總數(shù)， 和 分別為 和 的樣本平均數(shù),即 (4.2.3)(4.2.4)(4.2.5)第42頁(yè)，共93頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期六 若 = =m（常數(shù)），則上式可以改寫(xiě)為 式中：m為樣本平均數(shù)，可由一般算術(shù)平均數(shù)公式求得，即 (4.2.6)第43頁(yè)，共93頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期六（三）變異函數(shù) 變異函數(shù)的概念 變異函數(shù)(variogr

23、ams)，又稱(chēng)變差函數(shù)、變異矩，是地統(tǒng)計(jì)分析所特有的基本工具。 在一維條件下變異函數(shù)定義為，當(dāng)空間點(diǎn)x在一維x軸上變化時(shí)，區(qū)域化變量Z(x)在點(diǎn)x和x+h處的值Z(x)與Z(x+h)差的方差的一半為區(qū)域化變量Z(x)在x軸方向上的變異函數(shù)，記為(h)，即 (4.2.7)第44頁(yè)，共93頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期六 在二階平穩(wěn)假設(shè)條件下，對(duì)任意的h有 因此，公式可以改寫(xiě)為 從上式可知，變異函數(shù)依賴(lài)于兩個(gè)自變量 x和h，當(dāng)變異函數(shù) 僅僅依賴(lài)于距離h而與位置x無(wú)關(guān)時(shí)， 可改寫(xiě)成 ，即 (4.2.9)(4.2.8)第45頁(yè)，共93頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期六變異函數(shù)

24、的性質(zhì) 設(shè)Z(x)是區(qū)域化變量，在滿(mǎn)足二階平穩(wěn)假設(shè)條件下，變異函數(shù)式具有如下性質(zhì)： (1) =0，即在h=0處，變異函數(shù)為0； (2) = ，即 關(guān)于直線(xiàn)h=0是對(duì)稱(chēng)的，它是一個(gè)偶函數(shù)； (3) 0，即 只能大于或等于0；第46頁(yè)，共93頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期六變異函數(shù)的計(jì)算公式 設(shè) 是系統(tǒng)某屬性Z在空間位置x處的值， 為一區(qū)域化隨機(jī)變量，并滿(mǎn)足二階平穩(wěn)假設(shè)，h為兩樣本點(diǎn)空間分隔距離， 和 分別是區(qū)域化變量 在空間位置 和 處的實(shí)測(cè)值i=1,2,N(h)，那么，變異函數(shù) 的離散計(jì)算公式為(4.2.10)第47頁(yè)，共93頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期六 這樣對(duì)

25、不同的空間分隔距離h，計(jì)算出相應(yīng)的 和 值。如果分別以h為橫坐標(biāo)， 或 為縱坐標(biāo)，畫(huà)出協(xié)方差函數(shù)和變異函數(shù)曲線(xiàn)圖，就可以直接展示區(qū)域化變量Z(x)的空間變異特點(diǎn)?？梢?jiàn)，變異函數(shù)能同時(shí)描述區(qū)域化變量的隨機(jī)性和結(jié)構(gòu)性，從而在數(shù)學(xué)上對(duì)區(qū)域化變量進(jìn)行嚴(yán)格分析，是空間變異規(guī)律分析和空間結(jié)構(gòu)分析的有效工具。第48頁(yè)，共93頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期六第49頁(yè)，共93頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期六例如：假設(shè)某地區(qū)降水量Z(x)（單位：mm）是二維區(qū)域化隨機(jī)變量，滿(mǎn)足二階平穩(wěn)假設(shè)，其觀測(cè)值的空間正方形網(wǎng)格數(shù)據(jù)如圖所示（點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離為h=1 km）。試計(jì)算其南北方向及西北和

26、東南方向的變異函數(shù)。第50頁(yè)，共93頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期六圖4.2.1 空間正方形網(wǎng)格數(shù)據(jù)（點(diǎn)間距h=1 km） 從圖可以看出，空間上有些點(diǎn)，由于某種原因沒(méi)有采集到。如果沒(méi)有缺失值，可直接對(duì)正方形網(wǎng)格數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)計(jì)算變異函數(shù)；在有缺失值的情況下，也可以計(jì)算變異函數(shù)。只要“跳過(guò)”缺失點(diǎn)位置即可（圖）。第51頁(yè)，共93頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期六圖4.2.2 缺失值情況下樣本數(shù)對(duì)的組成和計(jì)算過(guò)程為缺失值 第52頁(yè)，共93頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期六圖1 空間正方形網(wǎng)格數(shù)據(jù)（點(diǎn)間距h=1km） 第53頁(yè)，共93頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)1

27、7分，星期六圖2 空間正方形網(wǎng)格數(shù)據(jù)（點(diǎn)間距h=2km） 第54頁(yè)，共93頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期六 首先計(jì)算南北方向上的變異函數(shù)值，由變異函數(shù)的計(jì)算公式可得 =385/72=5.35 圖4.2.2 缺失值情況下樣本數(shù)對(duì)的組成和計(jì)算過(guò)程為缺失值 第55頁(yè)，共93頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期六 同樣計(jì)算出 最后，得到南北方向和西北東南方向上的變異函數(shù)計(jì)算結(jié)果見(jiàn)下表。同樣可以計(jì)算東西方向上的變異函數(shù)。 方向 南北 方向 西北東南 h12345h1.412.824.245.657.07N(h) 36 27 21 13 5 N(h) 322113825.359.26

28、17.5525.6922.907.0612.9530.8558.1350.00第56頁(yè)，共93頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期六變異函數(shù)的參數(shù) 變異函數(shù)有4個(gè)非常重要的參數(shù)，即基臺(tái)值（sill）、變程（range）或稱(chēng)空間依賴(lài)范圍（range of spatial dependence）、塊金值（nugget）或稱(chēng)區(qū)域不連續(xù)性值（localized discontinuity）和分維數(shù)（fractal dimension）。 前3個(gè)參數(shù)可以直接從變異函數(shù)圖中得到。它們決定變異函數(shù)的形狀與結(jié)構(gòu)。 變異函數(shù)的形狀反映自然現(xiàn)象空間分布結(jié)構(gòu)或空間相關(guān)的類(lèi)型，同時(shí)還能給出這種空間相關(guān)的范圍。

29、第57頁(yè)，共93頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期六 當(dāng)變異函數(shù)隨著間隔距離h的增大，從非零值達(dá)到一個(gè)相對(duì)穩(wěn)定的常數(shù)時(shí)，該常數(shù)稱(chēng)為基臺(tái)值C0+C。 當(dāng)間隔距離h=0時(shí)，(0)= C0，該值稱(chēng)為塊金值或塊金方差（nugget variance）。 基臺(tái)值是系統(tǒng)或系統(tǒng)屬性中最大的變異，變異函數(shù)達(dá)到基臺(tái)值時(shí)的間隔距離a稱(chēng)為變程。變程表示在ha以后，區(qū)域化變量Z(x)空間相關(guān)性消失。第58頁(yè)，共93頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期六 第4個(gè)參數(shù)，即分維數(shù)用于表示變異函數(shù)的特性，由變異函數(shù) 和間隔距離h之間的關(guān)系確定 其中，分維數(shù)D為雙對(duì)數(shù)直線(xiàn)回歸方程中的斜率，它是一個(gè)無(wú)量綱數(shù)。分

30、維數(shù)D的大小，表示變異函數(shù)曲線(xiàn)的曲率，可以作為隨機(jī)變異的量度。第59頁(yè)，共93頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期六理論變異函數(shù)模型實(shí)踐中，常用的是變異函數(shù)圖：偏基臺(tái)值:C(partial sill)塊金值:C0(nugget)變程: a(range)h基臺(tái)值(sill)not related anymore變程范圍內(nèi)才有結(jié)構(gòu)性變化（有規(guī)律的變化）反映隨機(jī)性大?。褐饕獊?lái)源于區(qū)域化變量Z(x)在小于抽樣尺度h時(shí)所具有的內(nèi)部變異；另外還有抽樣分析誤差。變異函數(shù)是一個(gè)單調(diào)不減函數(shù)。當(dāng)h超過(guò)某一個(gè)范圍，例如變程，變異函數(shù)不再增大，而是趨于一個(gè)極限值，即為基臺(tái)值。實(shí)際上等于區(qū)域化變量的先驗(yàn)方差。

31、即，即基臺(tái)值與塊金值之差，表示數(shù)據(jù)中存在空間相關(guān)性引起的方差變化范圍。第60頁(yè)，共93頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期六變異函數(shù)的理論模型 地統(tǒng)計(jì)學(xué)將變異函數(shù)理論模型分為3大類(lèi)： 第1類(lèi)是有基臺(tái)值模型，包括球狀模型、指數(shù)模型、高斯模型、線(xiàn)性有基臺(tái)值模型和純塊金效應(yīng)模型； 第2類(lèi)是無(wú)基臺(tái)值模型，包括冪函數(shù)模型、線(xiàn)性無(wú)基臺(tái)值模型、拋物線(xiàn)模型； 第3類(lèi)是孔穴效應(yīng)模型。 下面有代表性地介紹幾種常見(jiàn)的變異函數(shù)理論模型。 第61頁(yè)，共93頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期六純塊金效應(yīng)模型:其一般公式為 式中：c00，為先驗(yàn)方差。該模型相當(dāng)于區(qū)域化變量為隨機(jī)分布，樣本點(diǎn)間的協(xié)方差函數(shù)對(duì)

32、于所有距離h均等于0，變量的空間相關(guān)不存在。 (4.2.11)第62頁(yè)，共93頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期六 球狀模型:其一般公式為 式中：c0為塊金（效應(yīng)）常數(shù);c為拱高;c0+c為基臺(tái)值;a為變程。當(dāng)c0=0，c=1時(shí)，稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)球狀模型。球狀模型是地統(tǒng)計(jì)分析中應(yīng)用最廣泛的理論模型，許多區(qū)域化變量的理論模型都可以用該模型去擬合。 (4.2.12)第63頁(yè)，共93頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期六 指數(shù)模型:其一般公式為 式中：c0和c意義與前相同，但a不是變程。當(dāng)h=3時(shí)， ，即 ，從而指數(shù)模型的變程 約為 約為3a。當(dāng)c0=0，c=1時(shí)，稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)指數(shù)模型。(4.

33、2.13)第64頁(yè)，共93頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期六 高斯模型:其一般公式為 式中：c0和c意義與前相同，a也不是變程。當(dāng) 時(shí)， ，即 ，因此高斯模型的變程 約為 。當(dāng) 時(shí)，稱(chēng)為標(biāo)準(zhǔn)高斯函數(shù)模型。(4.2.14)第65頁(yè)，共93頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期六冪函數(shù)模型:其一般公式為 式中：為冪指數(shù)。當(dāng)變化時(shí)，這種模型可以反映在原點(diǎn)附近的各種性狀。但是必須小于2，若 ，則函數(shù) 就不再是一個(gè)條件非負(fù)定函數(shù)了，也就是說(shuō)它已經(jīng)不能成為變異函數(shù)了。 (4.2.15)第66頁(yè)，共93頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期六 對(duì)數(shù)模型:其一般公式為 顯然，當(dāng) ，這與

34、變異函數(shù)的性質(zhì) 不符 。因此，對(duì)數(shù)模型不能描述點(diǎn)支撐上的區(qū)域化變量的結(jié)構(gòu)。(4.2.16)第67頁(yè)，共93頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期六 線(xiàn)性有基臺(tái)值模型:其一般公式為 式中:該模型的變程為a，基臺(tái)值為 。 線(xiàn)性無(wú)基臺(tái)值模型:其一般公式為 從式中可以看出，該模型沒(méi)有基臺(tái)值，也沒(méi)有變程。 (4.2.18)(4.2.17)第68頁(yè)，共93頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期六第69頁(yè)，共93頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期六例如:某地區(qū)降水量是一個(gè)區(qū)域化變量，其變異函數(shù) 的實(shí)測(cè)值及距離h的關(guān)系見(jiàn)下表，下面我們?cè)囉没貧w分析方法建立其球狀變異函數(shù)模型。實(shí)測(cè)值(h)距

35、離h實(shí)測(cè)值(h)距離h2.10.69.24.94.31.110.35.15.72.210.56.26.52.510.97.57.83.111.29.58.83.812.49.8第70頁(yè)，共93頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期六 從上面的介紹和討論，我們知道，球狀變異函數(shù)的一般形式為 當(dāng) 時(shí)，有第71頁(yè)，共93頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期六 如果記 ，則可以得到線(xiàn)性模型 根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，對(duì)上式進(jìn)行最小二乘擬合，得到 (4.2.20) 計(jì)算可知，上式的顯著性檢驗(yàn)參數(shù)F=114.054，R2=0.962，可見(jiàn)模型的擬合效果是很好的。(4.2.19)第72頁(yè)，共93頁(yè)，20

36、22年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期六 比較(4.2.20)式與(4.2.19)式，并做簡(jiǎn)單計(jì)算可知：c0=2.048，c=1.154，a=8.353，所以，球狀變異函數(shù)模型為(4.2.21)第73頁(yè)，共93頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期六 (四)克立格插值方法 克立格（Kriging）插值法，又稱(chēng)空間局部估計(jì)或空間局部插值法。它建立在變異函數(shù)理論及結(jié)構(gòu)分析基礎(chǔ)之上的，在有限區(qū)域內(nèi)對(duì)區(qū)域化變量的取值進(jìn)行無(wú)偏最優(yōu)估計(jì)的一種方法。 克立格法適用的條件是，如果變異函數(shù)和相關(guān)分析的結(jié)果表明區(qū)域化變量存在空間相關(guān)性。 其實(shí)質(zhì)是利用區(qū)域化變量的原始數(shù)據(jù)和變異函數(shù)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，對(duì)未采樣點(diǎn)的區(qū)域化

37、變量的取值進(jìn)行線(xiàn)性無(wú)偏、最優(yōu)估計(jì)。具體來(lái)說(shuō)，它是根據(jù)待估樣點(diǎn)(或待估塊段)有限鄰域內(nèi)若干已測(cè)定的樣點(diǎn)數(shù)據(jù)，在認(rèn)真考慮樣點(diǎn)的形狀、大小和空間相互位置關(guān)系，它們與待估樣點(diǎn)相互空間位置關(guān)系，以及變異函數(shù)提供的結(jié)構(gòu)信息之后，對(duì)該待估樣點(diǎn)值進(jìn)行的一種線(xiàn)性無(wú)偏最優(yōu)估計(jì)。第74頁(yè)，共93頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期六 克立格插值（kriging interpolation)是根據(jù)變異函數(shù)模型而發(fā)展起來(lái)的一系列地統(tǒng)計(jì)的空間插值方法，包括： 普通克立格法（ordinary kriging）; 泛克立格法（universal kriging）; 指示克立格法（indicator kriging）;

38、 析取克立格法（disjunctive kriging）; 協(xié)同克立格法（cokriging）等。 下面僅對(duì)普通克立格法作一些簡(jiǎn)單介紹。 第75頁(yè)，共93頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期六 首先假設(shè)區(qū)域化變量 滿(mǎn)足二階平穩(wěn)假設(shè)和本征假設(shè)，其數(shù)學(xué)期望為m，協(xié)方差函數(shù) 及變異函數(shù) 存在。即 假設(shè)在待估計(jì)點(diǎn)（x）的臨域內(nèi)共有n個(gè)實(shí)測(cè)點(diǎn)，即x1，x2，xn，其樣本值為 。那么，普通克里格法的插值公式為 (4.2.22)第76頁(yè)，共93頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期六 其中 為權(quán)重系數(shù)，表示各空間樣本點(diǎn) 處的觀測(cè)值 對(duì)估計(jì)值 的貢獻(xiàn)程度。 可見(jiàn)，克立格插值的關(guān)鍵就是計(jì)算權(quán)重系數(shù)

39、 。顯然，權(quán)重系數(shù)的求取必須滿(mǎn)足兩個(gè)條件： 一是使 的估計(jì)是無(wú)偏的，即偏差的數(shù)學(xué)期望為零； 二是最優(yōu)的，即使估計(jì)值 和實(shí)際值 之差的平方和最小。 為此，需要滿(mǎn)足以下兩個(gè)條件：第77頁(yè)，共93頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期六 (1)無(wú)偏性。要使 成為 的無(wú)偏估計(jì)量，即 。 當(dāng) 時(shí)，也就是當(dāng) 時(shí)，則有 這時(shí)， 為 的無(wú)偏估計(jì)量。 （2）最優(yōu)性。在滿(mǎn)足無(wú)偏性條件下，估計(jì)方差為(4.2.23)第78頁(yè)，共93頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期六2. 應(yīng)用實(shí)例 年降水量和蒸發(fā)量，既服從地帶性規(guī)律，同時(shí)又受隨機(jī)性因素的影響，因此它們是典型的區(qū)域化變量。我們以甘肅省53個(gè)氣象臺(tái)站多年平均降水量和蒸發(fā)量數(shù)據(jù)為實(shí)測(cè)值，擬合了年降水量和蒸發(fā)量的半變異函數(shù)理論模型，并采用普通克立格法和雙變量協(xié)同克里格法，做了空間插值計(jì)算，結(jié)論如下。 第79頁(yè)，共93頁(yè)，2022年，5月20日，2點(diǎn)17分，星期六 （一）半變異函數(shù) 半變異函數(shù)模型，是克立格空間插值的前提條件，同時(shí)它也決定著空間插值的精度。一般情況下，