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1、空間點(diǎn)直線和平面的投影分析第1頁(yè),共89頁(yè),2022年,5月20日,2點(diǎn)16分,星期六 教學(xué)提示: 空間點(diǎn)、直線和平面是組成一個(gè)三維立體的最基本的三個(gè)幾何要素。本章將重點(diǎn)介紹點(diǎn)、直線和平面在三投影面體系中的投影及其投影特性,兩兩幾何要素之間的相對(duì)位置關(guān)系及其投影特性;本章還將闡述常用的幾種空間幾何問(wèn)題的圖解方法及其應(yīng)用,如用直角三角形法求一般位置直線的實(shí)長(zhǎng)和對(duì)投影面的傾角、一邊平行于投影面的直角的投影原理,等等。主要是學(xué)習(xí)如何將點(diǎn)、直線和平面等空間幾何要素用投影表達(dá),并反過(guò)來(lái)又如何用其投影來(lái)分析和解決空間幾何問(wèn)題。 教學(xué)要求: 本章是工程制圖最為基礎(chǔ)的部分,學(xué)生必須熟練掌握各種位置點(diǎn)、直線和平
2、面的投影及特性,進(jìn)一步建立投影法的基本概念和思維方法。在此基礎(chǔ)上,學(xué)會(huì)應(yīng)用點(diǎn)、直線和平面的相對(duì)位置關(guān)系的投影特性,與直角三角形法、直角投影定理配合解決簡(jiǎn)單的空間幾何問(wèn)題,為立體的投影分析和表達(dá)打下基礎(chǔ)。第2頁(yè),共89頁(yè),2022年,5月20日,2點(diǎn)16分,星期六 3.1 空間點(diǎn)的投影分析 3.2 空間直線的投影分析 3.3 空間平面的投影分析本章內(nèi)容第3頁(yè),共89頁(yè),2022年,5月20日,2點(diǎn)16分,星期六3.1 空間點(diǎn)的投影分析 由初等幾何可知,空間兩點(diǎn)可確定一條直線,空間不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)可確定一個(gè)平面。因此,要研究空間基本幾何要素及其投影關(guān)系,首先要建立空間點(diǎn)的投影概念。第4頁(yè),共
3、89頁(yè),2022年,5月20日,2點(diǎn)16分,星期六3.1.1 點(diǎn)的三面投影及其投影特征點(diǎn)的投影仍為一個(gè)點(diǎn),且空間點(diǎn)在一個(gè)投影面上只有唯一的投影。但當(dāng)已知點(diǎn)在一個(gè)投影面上的一個(gè)投影時(shí),都不能確定點(diǎn)在空間的唯一位置。將點(diǎn)A放在三投影面體系中分別向三個(gè)投影面V面、H面、W面作正投影,得到點(diǎn)A的水平投影a、正面投影 、側(cè)面投影 。(關(guān)于空間點(diǎn)及其投影的標(biāo)記規(guī)定為:空間點(diǎn)用大寫字母A、B、C表示,水平投影相應(yīng)用小寫字母a、b、c表示,正面投影相應(yīng)用小寫字母 、 、 表示,側(cè)面投影相應(yīng)用小寫字母 、 、 表示。)將投影面體系展開(kāi),去掉投影面的邊框,保留投影軸,便得到點(diǎn)A的三面投影圖,如圖3.1所示。3.1
4、 空間點(diǎn)的投影分析第5頁(yè),共89頁(yè),2022年,5月20日,2點(diǎn)16分,星期六由此可以得出點(diǎn)在三投影面體系的投影特性是:(1) 點(diǎn)A的V面投影和H面投影的連線垂直于OX軸,即aaOX(長(zhǎng)對(duì)正)。(2) 點(diǎn)A的V面投影和W面投影的連線垂直于OZ軸,即aaOZ(高平齊)。(3) 點(diǎn)A的H面投影到OX軸的距離等于點(diǎn)A的W面投影到OZ軸的距離,即aax= aaz (寬相等),作圖時(shí)可以用圓弧或45線來(lái)反映該關(guān)系。在三面體系中引入笛卡兒坐標(biāo)體系,以H、V、W三個(gè)投影面為坐標(biāo)面,以三根投影軸OX、OY、OZ為坐標(biāo)軸,點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)。于是空間點(diǎn)A便可用三個(gè)坐標(biāo)值,即點(diǎn)分別到W、V、H三個(gè)投影面的距離x、y、
5、z來(lái)確定,由此:點(diǎn)到W面的距離 Aa= aaz = aay =oax = x ; 點(diǎn)到V面的距離 Aa= aax = aaz = oay = y ; 點(diǎn)到H面的距離 Aa = aax = aay = oaz = z 。 3.1 空間點(diǎn)的投影分析第6頁(yè),共89頁(yè),2022年,5月20日,2點(diǎn)16分,星期六水平投影由X與Y坐標(biāo)確定(Z=0);正面投影由X與Z坐標(biāo)確定(Y=0);側(cè)面投影由Y與Z坐標(biāo)確定(X=0)。點(diǎn)的任何兩個(gè)投影可反映點(diǎn)的三個(gè)坐標(biāo),即確定該點(diǎn)的空間位置??臻g點(diǎn)在三面投影體系中有唯一確定的一組投影。(a) (b) (c)圖3.1 點(diǎn)的投影及其投影規(guī)律 3.1 空間點(diǎn)的投影分析第7頁(yè),
6、共89頁(yè),2022年,5月20日,2點(diǎn)16分,星期六設(shè)空間點(diǎn)A、B、D分別位于V、H面和OX軸上,如圖3.2(a)所示,則它們的三面投影如圖3.2(b)所示。由此可知,投影面和投影軸上的點(diǎn)的坐標(biāo)和投影有如下特性: (1) 投影面上的點(diǎn)有一個(gè)坐標(biāo)值為0;在該投影面上投影與該點(diǎn)重合,在相鄰?fù)队懊嫔系耐队胺謩e在相應(yīng)的投影軸上。(2) 投影軸上的點(diǎn)有兩個(gè)坐標(biāo)值為0;在包含這條軸的兩個(gè)投影面上的投影都與該點(diǎn)重合,在另一投影面上的投影則與原點(diǎn)O重合。3.1.2 投影面上的點(diǎn)與投影軸上的點(diǎn)3.1 空間點(diǎn)的投影分析第8頁(yè),共89頁(yè),2022年,5月20日,2點(diǎn)16分,星期六(a) (b)圖3.2 投影面上的點(diǎn)
7、與投影軸上的點(diǎn)3.1 空間點(diǎn)的投影分析第9頁(yè),共89頁(yè),2022年,5月20日,2點(diǎn)16分,星期六3.1.3 兩點(diǎn)的相對(duì)位置及重影點(diǎn)的投影分析 1. 空間兩點(diǎn)相對(duì)位置的投影分析在投影圖上判斷空間兩個(gè)點(diǎn)的相對(duì)位置,就是分析兩點(diǎn)之間上、下、左、右、前、后的關(guān)系,如圖3.3(a)所示。由正面投影或側(cè)面投影可判斷兩點(diǎn)間的上、下關(guān)系(Z坐標(biāo)差);由正面投影或水平投影可判斷兩點(diǎn)間的左、右關(guān)系(X坐標(biāo)差);由水平投影或側(cè)面投影可判斷兩點(diǎn)間的前、后關(guān)系(Y坐標(biāo)差),如圖3.3(b)所示。3.1 空間點(diǎn)的投影分析第10頁(yè),共89頁(yè),2022年,5月20日,2點(diǎn)16分,星期六(a) (b)圖3.3 兩點(diǎn)的相對(duì)位置
8、3.1 空間點(diǎn)的投影分析第11頁(yè),共89頁(yè),2022年,5月20日,2點(diǎn)16分,星期六 2. 重影點(diǎn)的投影分析當(dāng)空間兩點(diǎn)位于對(duì)某一投影面的同一條投射線上時(shí),則此兩點(diǎn)在該投影面上的投影重合為一點(diǎn),此兩點(diǎn)稱為對(duì)該投影面的重影點(diǎn)。為區(qū)分重影點(diǎn)的可見(jiàn)性,規(guī)定觀察方向與投影面的投射方向一致,即對(duì)V面由前向后,對(duì)H面由上向下,對(duì)W面由左向右。因此,距觀察者近之點(diǎn)的投影為可見(jiàn),反之為不可見(jiàn)。從空間幾何關(guān)系分析,重影點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系中有兩對(duì)坐標(biāo)值分別相等,其可見(jiàn)性則由它們的另一對(duì)不等的坐標(biāo)值來(lái)確定,坐標(biāo)值大者為可見(jiàn),值小者為不可見(jiàn)。畫投影圖時(shí)應(yīng)在不可見(jiàn)點(diǎn)的投影標(biāo)記兩側(cè)注寫括號(hào),如圖3.4所示。3.1 空間點(diǎn)
9、的投影分析第12頁(yè),共89頁(yè),2022年,5月20日,2點(diǎn)16分,星期六 (a) (b) 圖3.4 重影點(diǎn)投影分析 3.1 空間點(diǎn)的投影分析第13頁(yè),共89頁(yè),2022年,5月20日,2點(diǎn)16分,星期六3.2 空間直線的投影分析 由幾何學(xué)知識(shí)可知,空間兩點(diǎn)可確定一直線。因此要用投影來(lái)表達(dá)空間直線,只需作出直線上任意兩點(diǎn)的投影,再連接該兩點(diǎn)在同一投影面上的投影即可。第14頁(yè),共89頁(yè),2022年,5月20日,2點(diǎn)16分,星期六3.2.1 直線的表示法如已知兩點(diǎn)A(xA,yA,zA)和B(xB,yB,zB)的空間位置,可首先繪出該兩點(diǎn)的三面投影,如圖3.5(a)所示,然后將兩點(diǎn)的同面投影相連,即可
10、得直線的三面投影,如圖3.5(b)所示。由此也可得出結(jié)論:在一般情況下,直線的投影仍是直線(不變性)。而當(dāng)直線上兩點(diǎn)為某一投影面上的重影點(diǎn)時(shí),直線即垂直于該投影面,直線在該投影面上會(huì)積聚為一點(diǎn)(積聚性)。 3.2 空間直線的投影分析 第15頁(yè),共89頁(yè),2022年,5月20日,2點(diǎn)16分,星期六(a) (b) 圖3.5 直線的投影 3.2 空間直線的投影分析 第16頁(yè),共89頁(yè),2022年,5月20日,2點(diǎn)16分,星期六直線與投影面的相對(duì)位置有3種:投影面平行線、投影面垂直線和一般位置直線。前兩種直線又統(tǒng)稱為特殊位置直線。直線和它在投影平面上的正投影之間所成的銳角稱為此直線對(duì)該平面的傾角。本書(shū)
11、約定:直線與H、V、W三投影面所成的角分別用,表示,如圖3.6(a)所示。當(dāng)直線平行于投影面時(shí),傾角為0;垂直于投影面時(shí)為90;傾斜于投影面時(shí),則傾角在0和90之間。1. 一般位置直線一般位置直線對(duì)投影面V、H、W均為傾斜,兩端點(diǎn)的坐標(biāo)差都不等于零。如圖3.6(a)所示的直線AB,由此可得一般位置直線的投影特性。3.2.2 直線相對(duì)于投影面的位置及其投影特性3.2 空間直線的投影分析 第17頁(yè),共89頁(yè),2022年,5月20日,2點(diǎn)16分,星期六 1) 一般位置直線的三個(gè)投影與其實(shí)際長(zhǎng)度的關(guān)系為:ab=ABcos;ab=ABcos;ab= ABcos由于,均不為0,故一般位置直線的3個(gè)投影之長(zhǎng)
12、均小于其實(shí)際長(zhǎng)度。(2) 三面投影均傾斜于投影軸,且它們與投影軸的夾角不反映該直線與投影面的傾角。(a) (b)圖3.6 一般位置直線 3.2 空間直線的投影分析 第18頁(yè),共89頁(yè),2022年,5月20日,2點(diǎn)16分,星期六 2. 投影面平行線在三面體系中,平行于一個(gè)投影面且與其他兩投影面傾斜的直線稱為投影面平行線。根據(jù)該直線平行于哪一個(gè)投影面又分為3種:正平線:直線平行于V面(=0),對(duì)H、W面傾斜。水平線:直線平行于H面(=0),對(duì)V、W面傾斜。側(cè)平線:直線平行于W面(=0),對(duì)H、V面傾斜。投影面平行線的三線投影及投影特性如表3-1所示。且由表3-1可得出投影平行線的投影特性為:投影面
13、平行線在所平行的平面上為一條傾斜于軸線的直線并反映實(shí)長(zhǎng),與相應(yīng)投影軸的夾角反映直線對(duì)另外兩個(gè)投影面的傾角的真實(shí)大小;直線的另外兩個(gè)投影面的投影平行線平行于該投影面,并傾斜于相應(yīng)的投影軸。3.2 空間直線的投影分析 第19頁(yè),共89頁(yè),2022年,5月20日,2點(diǎn)16分,星期六表3-1 投影面平行線的投影及其投影特性 3.2 空間直線的投影分析 第20頁(yè),共89頁(yè),2022年,5月20日,2點(diǎn)16分,星期六 3. 投影面垂直線在三面體系中,垂直于一個(gè)投影面且必平行于另兩個(gè)投影面的直線稱為投影面垂直線。根據(jù)該直線垂直于不同的投影面又分為3種:正垂線:直線垂直于V面,=90,=0。鉛垂線:直線垂直于
14、H面,=90,=0。側(cè)垂線:直線垂直于W面,=90,=0。3.2 空間直線的投影分析 第21頁(yè),共89頁(yè),2022年,5月20日,2點(diǎn)16分,星期六投影面平行面的三面投影及投影特性見(jiàn)表3-2。且由表3-2可得出投影垂直線的投影特性為:投影面垂直線在所垂直的平面上積聚為一點(diǎn),直線的另外兩個(gè)投影分別為垂直于相應(yīng)的投影軸并反映實(shí)長(zhǎng);直線對(duì)投影面的傾角均為已知,即為0或90 3.2 空間直線的投影分析 第22頁(yè),共89頁(yè),2022年,5月20日,2點(diǎn)16分,星期六3.2 空間直線的投影分析 表3-2 投影面垂直線的投影及其投影特性 第23頁(yè),共89頁(yè),2022年,5月20日,2點(diǎn)16分,星期六 由此,
15、我們可得出這樣的結(jié)論:從特殊位置直線的三個(gè)投影,可直接獲得直線的實(shí)長(zhǎng)和對(duì)投影面的傾角的真實(shí)大小,而對(duì)于一般位置直線,則要通過(guò)一定的圖解方法來(lái)求解其實(shí)長(zhǎng)和傾角。3.2 空間直線的投影分析 第24頁(yè),共89頁(yè),2022年,5月20日,2點(diǎn)16分,星期六特殊位置直線在三面投影圖中可直接顯示實(shí)長(zhǎng)及對(duì)投影面的傾角,有著良好的投影特性。而一般位置直線的3個(gè)投影均不能直接反映直線的實(shí)長(zhǎng)和對(duì)投影面的傾角,必須通過(guò)一定的圖解方法來(lái)求解。首先,分析如圖3.7所示的空間直線AB與其投影之間的幾何關(guān)系:在投射線組成的平面ABba內(nèi),過(guò)點(diǎn)A作AK/ab,交Bb于點(diǎn)K,得RtABK。其中:直角邊AK=ab(水平投影的長(zhǎng)度
16、),BK=BbKb=ZBZA=Z(A、B兩點(diǎn)間的Z坐標(biāo)差),斜邊AB即為實(shí)長(zhǎng),而AB與AK的夾角(即斜邊與水平投影的夾角)為該直線對(duì)H面的傾角。顯然,在這個(gè)直角三角形的三條邊和一個(gè)夾角中3.2.3 直角三角形法求解一般位置直線的實(shí)長(zhǎng)和對(duì)投影面的傾角 3.2 空間直線的投影分析 第25頁(yè),共89頁(yè),2022年,5月20日,2點(diǎn)16分,星期六只要知道其中兩個(gè)要素,就可畫出該直角三角形,其他兩個(gè)要素也就隨即獲得。如圖3.7(b)所示,線段AB的水平投影ab和兩端點(diǎn)的Z坐標(biāo)差均為已知,故可畫出此直角三角形,問(wèn)題便獲解決。這種方法稱為直角三角形法。直角三角形法中所用的直角三角形是從上述空間幾何分析中推理
17、而抽象出來(lái)的,圖解時(shí)可直接作在投影圖中,也可作在投影圖形之外,如圖3.7(c)所示。在如圖3.7(b)所示的作圖過(guò)程中,就分別用了兩個(gè)位置來(lái)畫直角三角形:一是畫在水平投影中,直接利用水平投影ab為一直角邊,而另一直角邊Ab為坐標(biāo)差Z;二是畫在正面投影中,利用反映Z坐標(biāo)差的正面投影ba1為一直角邊,而另一直角邊a1B就等于其水平投影ab。注意兩種作法都有同一結(jié)果,即斜邊為實(shí)長(zhǎng),斜邊與水平投影的夾角為直線對(duì)水平投影面的傾角。 3.2 空間直線的投影分析 第26頁(yè),共89頁(yè),2022年,5月20日,2點(diǎn)16分,星期六圖3.7 求線段的實(shí)長(zhǎng)及對(duì)投影面的傾角(a) (b) (c)3.2 空間直線的投影分
18、析 第27頁(yè),共89頁(yè),2022年,5月20日,2點(diǎn)16分,星期六同理,利用線段的正面投影ab或側(cè)面投影ab,可與線段AB的實(shí)長(zhǎng)及和角分別組成另外兩個(gè)直角三角形,如圖3.8所示。這3個(gè)直角三角形的組成情況如下:(1) 兩直角邊分別為直線的水平投影和Z坐標(biāo)差,斜邊為實(shí)長(zhǎng),水平投影和實(shí)長(zhǎng)的夾角為,如圖3.8(a)所示。(2) 兩直角邊分別為直線的正面投影和Y坐標(biāo)差,斜邊為實(shí)長(zhǎng),正面投影和實(shí)長(zhǎng)的夾角為,如圖3.8(b)所示。(3) 兩直角邊分別為直線的側(cè)面投影和X坐標(biāo)差,斜邊為實(shí)長(zhǎng),側(cè)面投影和實(shí)長(zhǎng)夾角為,如圖3.8(c)所示。用直角三角形法解題時(shí)要注意以下幾點(diǎn):3.2 空間直線的投影分析 第28頁(yè),
19、共89頁(yè),2022年,5月20日,2點(diǎn)16分,星期六 (1) 對(duì)照?qǐng)D3.8所示的3個(gè)直角三角形可知,對(duì)于同一段直線,用其中任意一個(gè)直角三角形,都可求得該直線的實(shí)長(zhǎng)。但對(duì)投影面的傾角的問(wèn)題,則要用不同的直角三角形來(lái)求解。如一定是實(shí)長(zhǎng)與水平投影的夾角,一定是實(shí)長(zhǎng)與正面投影的夾角,而一定則是實(shí)長(zhǎng)與側(cè)面投影的夾角。(2) 獲得直角三角形的投影體系一般是兩投影面體系,不同的投影體系所對(duì)應(yīng)的直角三角形也不同。求解的直角三角形從V/H體系中獲得,求解的直角三角形從V/H或V/W體系中獲得,求解的直角三角形從V/W體系中獲得。(3) 從圖中得知,每個(gè)直角三角形含有4個(gè)要素,若知其中任意兩個(gè),則此直角三角形便完
20、全確定,由此可求出另2個(gè)要素。凡遇到此4要素的問(wèn)題均可用此法來(lái)求解。3.2 空間直線的投影分析 第29頁(yè),共89頁(yè),2022年,5月20日,2點(diǎn)16分,星期六(a) (b) (c)圖3.8 直角三角形法中的邊和角與投影的關(guān)系 3.2 空間直線的投影分析 第30頁(yè),共89頁(yè),2022年,5月20日,2點(diǎn)16分,星期六 【例3.1】 已知線段AB的實(shí)長(zhǎng)為60mm,求出AB的水平投影ab,如圖3.9(a)所示。分析:要求解直線的水平投影ab,則應(yīng)利用含有水平投影的那個(gè)直角三角形來(lái)作圖。而在該直角三角形的3條邊和一個(gè)角中,已知AB的Z坐標(biāo)差(從正面投影而知)和實(shí)長(zhǎng)兩個(gè)要素,因此AB的水平投影ab由此可
21、求(可得兩解)。作圖步驟:(1) 過(guò)b 作aa的垂線bB0,以a 為圓心60mm為半徑畫弧與bB0交于B0,則得出水平投影ab的長(zhǎng)度,如圖3.9(b)所示。3.2 空間直線的投影分析 第31頁(yè),共89頁(yè),2022年,5月20日,2點(diǎn)16分,星期六(a) (b)圖3.9 作AB的水平投影 3.2 空間直線的投影分析 第32頁(yè),共89頁(yè),2022年,5月20日,2點(diǎn)16分,星期六 (2) 過(guò)b 作投影連線bb垂直于OX軸。 (3) 以a為圓心、ab為半徑畫弧交bb于b。 (4) 連 ab即為所求(兩解)。3.2 空間直線的投影分析 第33頁(yè),共89頁(yè),2022年,5月20日,2點(diǎn)16分,星期六空間
22、點(diǎn)與直線的相對(duì)位置有兩種情況:點(diǎn)在直線上、點(diǎn)不在直線上。根據(jù)平行投影法中從屬性和等比性的基本性質(zhì)可知:點(diǎn)在直線上,其投影必在該直線的同面投影上;且點(diǎn)分線段之比,其投影后保持不變。如圖3.10所示,已知點(diǎn)C在AB上,則點(diǎn)C的3個(gè)投影必在AB相應(yīng)的同面投影上,且有:ACCB = accb = a ccb = accb。而如圖3.10(b)所示點(diǎn)D的水平投影雖然在直線AB的水平投影上,但其正面投影和側(cè)面投影都不在直線AB的同面投影上,故點(diǎn)D不在直線AB上,如圖3.10(a)所示。3.2.4 點(diǎn)與直線的相對(duì)位置3.2 空間直線的投影分析 第34頁(yè),共89頁(yè),2022年,5月20日,2點(diǎn)16分,星期六(
23、a) (b)圖3.10 點(diǎn)與直線的相對(duì)位置 3.2 空間直線的投影分析 第35頁(yè),共89頁(yè),2022年,5月20日,2點(diǎn)16分,星期六根據(jù)上述性質(zhì)即可判別點(diǎn)是否在直線上以及解決在直線上取點(diǎn)的作圖問(wèn)題。要從投影上判斷點(diǎn)是否在直線上,對(duì)于一般位置直線而言,只需從其中兩組投影就可加以判斷。如在圖3.10中,點(diǎn)C的兩個(gè)投影在AB的同面投影上,點(diǎn)D只有一個(gè)投影在直線AB的同面投影上。因此點(diǎn)C在直線AB上,點(diǎn)D不在直線AB上。而對(duì)于特殊位置直線而言,則必須從其三組投影或利用點(diǎn)分線段之等比性來(lái)進(jìn)行判斷。如圖3.11(a)所示,因?yàn)樗o直線AB及點(diǎn)D位于平行于側(cè)面的同一平面內(nèi),不管點(diǎn)D是否在AB上,都有dab
24、,dab 的關(guān)系。為此,必須根據(jù)第3投影或利用點(diǎn)分線段之等比性質(zhì)來(lái)判別。圖3.11(b)、圖3.11(c)列出了這兩種判別方法。由作圖可知,點(diǎn)D不在AB上。3.2 空間直線的投影分析 第36頁(yè),共89頁(yè),2022年,5月20日,2點(diǎn)16分,星期六(a) (b) (c) 圖3.11 點(diǎn)與直線相對(duì)位置的判別 3.2 空間直線的投影分析 第37頁(yè),共89頁(yè),2022年,5月20日,2點(diǎn)16分,星期六空間兩直線的相對(duì)位置有3種情況,即平行、相交和交叉(即異面直線) 1. 平行兩直線空間兩直線平行,則其3組同面投影必平行。反之,若有兩直線的三組同面投影都平行,則該兩直線在空間相互平行。如圖3.12所示,
25、已知空間兩直線ABEF。過(guò)AB、EF上的各點(diǎn)向投影面作投射線,所形成的兩個(gè)平行平面與投影面的交線也相互平行。即abef,abef,abef。其投影圖如圖3.12(b)所示。從而不難得出AB / EF= ab / ef = ab / ef = ab/ ef。由此可得其同面投影必平行,且兩平行線段長(zhǎng)度之比等于其投影長(zhǎng)度之比。3.2.5 兩直線的相對(duì)位置3.2 空間直線的投影分析 第38頁(yè),共89頁(yè),2022年,5月20日,2點(diǎn)16分,星期六(a) (b)圖3.12 平行兩直線3.2 空間直線的投影分析 第39頁(yè),共89頁(yè),2022年,5月20日,2點(diǎn)16分,星期六表2-6(要判別兩條一般位置直線是
26、否平行,只需看它們的任意兩面投影即可。但對(duì)于特殊位置直線而言,則必須同時(shí)檢查它們的3組同面投影。如圖3.13所示的兩直線AB和CD均為側(cè)平線,雖然它們的H、V面投影:abcd,abcd,但abcdabcd,其側(cè)面投影ab不平行于cd,故直線AB不平行于CD。3.2 空間直線的投影分析 第40頁(yè),共89頁(yè),2022年,5月20日,2點(diǎn)16分,星期六圖3.13 兩直線是否平行的判斷3.2 空間直線的投影分析 第41頁(yè),共89頁(yè),2022年,5月20日,2點(diǎn)16分,星期六2. 相交兩直線空間兩直線相交,其各組同面投影必相交,且交點(diǎn)的投影符合點(diǎn)的投影規(guī)律。反之亦然。如圖3.14(a)所示,空間兩直線A
27、B與CD相交于點(diǎn)K,則交點(diǎn)K為兩條直線所共有,根據(jù)從屬性不變的性質(zhì),兩直線的同面投影必定相交,且交點(diǎn)符合點(diǎn)的投影規(guī)律,即kkOX(kkOZ),如圖3.14(b)所示。因此,對(duì)于一對(duì)一般位置直線,要判別它們是否相交,只需檢查任意兩面投影的交點(diǎn)的投影連線是否垂直于投影軸即可。否則,要同時(shí)從3組同面投影、或者從交點(diǎn)的從屬性及交點(diǎn)分割線段的等比性來(lái)判斷。3.2 空間直線的投影分析 第42頁(yè),共89頁(yè),2022年,5月20日,2點(diǎn)16分,星期六(a) (b) 圖3.14 相交兩直線 3.2 空間直線的投影分析 第43頁(yè),共89頁(yè),2022年,5月20日,2點(diǎn)16分,星期六如圖3.15(a)所示的兩直線A
28、B和EF,雖然其兩面投影均相交,其實(shí)在空間并不相交。因?yàn)閺膱D3.15(b)的判別可看出:ekkfekkf,所以點(diǎn)K不在EF上,即兩直線不相交。同樣,還可通過(guò)作出其側(cè)面投影來(lái)判斷。(a) (b)圖3.15 兩直線是否相交的判斷 3.2 空間直線的投影分析 第44頁(yè),共89頁(yè),2022年,5月20日,2點(diǎn)16分,星期六3. 交叉兩直線在空間既不平行又不相交的兩直線稱為交叉兩直線。如圖3.13和圖3.15所示的兩直線均為交叉兩直線。交叉兩直線的3組同面投影不一定都相交,即使都相交,其交點(diǎn)也不符合點(diǎn)的投影規(guī)律。我們?cè)诮徊鎯芍本€的同面投影上看到的交點(diǎn),實(shí)際上是分別在兩直線上的兩點(diǎn)在該投影面上的重影點(diǎn)。利
29、用重影點(diǎn)的投影特性,可判斷兩直線的相對(duì)位置。如圖3.16所示,交叉兩直線AB,CD上分別有兩個(gè)點(diǎn)、(點(diǎn)AB,點(diǎn)CD),它們?cè)贖面的重影點(diǎn)為(3)4,由3.16(b)中的投影可知Z Z,故點(diǎn)在點(diǎn)的正上方,點(diǎn)的水平投影3為不可見(jiàn),用(3)表示。同理,在V面上另一對(duì)重影點(diǎn)I、II中,點(diǎn)II的正面投影2 不可見(jiàn),用(2 )表示。3.2 空間直線的投影分析 第45頁(yè),共89頁(yè),2022年,5月20日,2點(diǎn)16分,星期六(a) (b) 圖3.16 交叉兩直線的重影點(diǎn)3.2 空間直線的投影分析 第46頁(yè),共89頁(yè),2022年,5月20日,2點(diǎn)16分,星期六【例3.2】 試判別已知直線AB,CD,AE兩兩之間
30、的相對(duì)位置,如圖3.17(a)所示。分析:從圖中直接觀察可得出:AB與AE相交,因?yàn)樗鼈冇泄颤c(diǎn)A。對(duì)于AB與CD兩直線,由于它們均為側(cè)平線,雖然其正面投影和水平投影均分別平行,但不能憑觀察直接定出。判別方法有兩種,一種方法是作出它們的側(cè)面投影,另一種方法是通過(guò)檢查A,B,C,D 4點(diǎn)是否共面。即分別連接AC與BD的正面投影和水平投影,使它們形成AC與BD兩條直線。由AC與BD兩直線的不共面,即可推斷出A,B,C,D 4點(diǎn)不共面。所以AB與CD為兩交叉直線,如圖3.17(b)所示。而AE與CD是一對(duì)交叉直線,其判別方法可用圖3.17(c)所示的等比性定理,讀者可自行分析判斷。3.2 空間直線的
31、投影分析 第47頁(yè),共89頁(yè),2022年,5月20日,2點(diǎn)16分,星期六(a) (b) 圖3.17 判別兩直線間的相對(duì)位置 3.2 空間直線的投影分析 第48頁(yè),共89頁(yè),2022年,5月20日,2點(diǎn)16分,星期六 【例3.3】 求作直線ST,使其與已知直線AB,CD相交且平行于已知直線EF,如圖3.18(a)所示。分析與作圖:從圖3.18(a)可知,直線CD的水平投影積聚為一點(diǎn)c(d),故CD為鉛垂線。由于所求直線ST與CD相交,故其交點(diǎn)T的水平投影也必積聚于點(diǎn)c(d)。又由于所求直線STEF,且與AB相交。故可過(guò)點(diǎn)c(d)作stef交ab于s,由s找到s,過(guò)s作stef交于 t,則st和
32、st為所求直線ST的兩面投影。作圖步驟如圖3.18(b)所示。3.2 空間直線的投影分析 第49頁(yè),共89頁(yè),2022年,5月20日,2點(diǎn)16分,星期六(a) (b)圖3.18 直線平行與相交的綜合題舉例3.2 空間直線的投影分析 第50頁(yè),共89頁(yè),2022年,5月20日,2點(diǎn)16分,星期六空間垂直的兩直線(相交或交叉),若其中的一直線平行于某投影面時(shí),則兩直線在該投影面上的投影仍為直角。直角的這一投影特性稱為直角投影定理。反之,若兩直線在某投影面上的投影為直角,且其中有一直線平行于該投影面時(shí),則該兩直線在空間必互相垂直。證明如下:如圖3.19(a)所示,設(shè)相交兩直線ABBC,且ABH面。A
33、BBC,ABBbAB平面BCcb。又ABH面abAB。因此:ab平面BCcb,得abbc,即abc=90,如圖3.19(b)所示。3.2.6 一邊平行于投影面的直角的投影(a) (b)圖3.19 直角的投影3.2 空間直線的投影分析 第51頁(yè),共89頁(yè),2022年,5月20日,2點(diǎn)16分,星期六應(yīng)用直角投影定理可以解決許多空間定形和定位的幾何問(wèn)題,如求作直角三角形、等腰三角形、長(zhǎng)方形、正方形、菱形等的投影作圖問(wèn)題,以及求解點(diǎn)與直線間、兩直線間及直線與平面間的距離問(wèn)題等等。直角投影定理同樣適合于兩直線交叉垂直的情況。讀者可自行證明。如圖3.20所示的兩直線就是交叉垂直的情況。因?yàn)橹本€AB是一條水
34、平線,且AB與CD的水平投影又相互垂直,因此由上述直角定理可知,這兩條直線在空間垂直。又因?yàn)閮芍本€的正面投影不相交,且兩直線的兩面投影也不平行,因此它們是一對(duì)交叉直線。3.2 空間直線的投影分析 第52頁(yè),共89頁(yè),2022年,5月20日,2點(diǎn)16分,星期六 【例3.4】 試求點(diǎn)A到直線BC的距離,如圖3.21(a)所示。分析:求空間一點(diǎn)到直線的距離的問(wèn)題,也是過(guò)點(diǎn)向直線作垂線、并求出該垂線的實(shí)長(zhǎng)的問(wèn)題。在本例中,應(yīng)從已知點(diǎn)A向直線BC 圖3.20 兩直線交叉垂直3.2 空間直線的投影分析 第53頁(yè),共89頁(yè),2022年,5月20日,2點(diǎn)16分,星期六作垂線AK,得垂足為K。由于所給直線BC為
35、正平線,故由直角投影定理,應(yīng)使其正面投影akbc;然后利用直角三角形法求出AK的實(shí)長(zhǎng),即為所求的距離。作圖步驟:(1) 過(guò) a 作akbc,交bc 于k,由k 找出k,連接ak,得AK的投影(ak,ak);(2) 用直角三角形法求出AK的實(shí)長(zhǎng),即a k0為所求,如圖3.21(b)所示。 (a) (b)圖3.21 求點(diǎn)到直線的距離3.2 空間直線的投影分析 第54頁(yè),共89頁(yè),2022年,5月20日,2點(diǎn)16分,星期六【例3.5】 試作出交叉兩直線AB、MN的公垂線EF,并求AB與MN之間的最短距離,如圖3.22(a)所示。分析:如圖3.22(b)所示,公垂線EF是與AB,MN都垂直相交的直線,
36、EF的實(shí)長(zhǎng)就是所求交叉兩直線的距離。由于ABH面(AB為鉛垂線),又EFAB,所以應(yīng)有EFH面,其垂足E的水平投影e必積聚在AB的水平投影ab處。又由于EFH,同時(shí)EFMN,根據(jù)直角投影定理必有efmn。顯然,因?yàn)镋F為水平線,其水平投影ef反映公垂線EF的實(shí)長(zhǎng),這就是所求AB與MN之間的距離。作圖步驟:如圖3.22(c)所示。(1) 在水平投影面上過(guò)a(b)點(diǎn)作efmn。(2) 由ef及水平線EF的投影特性,定出其正面投影ef。則ef 和ef 即為所求公垂線EF的兩面投影,同時(shí),ef也是所給交叉兩直線的最短距離。 3.2 空間直線的投影分析 第55頁(yè),共89頁(yè),2022年,5月20日,2點(diǎn)1
37、6分,星期六圖3.22 作交叉兩直線的公垂線并求其距離3.2 空間直線的投影分析 第56頁(yè),共89頁(yè),2022年,5月20日,2點(diǎn)16分,星期六平面的投影概念可建立在點(diǎn)和直線投影分析的概念之上。3.3 空間平面的投影分析 第57頁(yè),共89頁(yè),2022年,5月20日,2點(diǎn)16分,星期六1. 用幾何元素表示平面由幾何學(xué)可知,空間平面可由下列幾何元素確定:不在同一條直線上的3點(diǎn);一直線及直線外一點(diǎn);兩相交直線;兩平行直線;任意的平面圖形,如圖3.23所示。從圖中可以看出,以上各組元素可以互相轉(zhuǎn)化。同一平面無(wú)論采用何種形式表示,其空間位置始終不變。(a) 不在同一直線上的三點(diǎn) (b) 直線及直線外的一
38、點(diǎn) (c) 相交兩直線3.3.1 平面的表示法3.3 空間平面的投影分析 第58頁(yè),共89頁(yè),2022年,5月20日,2點(diǎn)16分,星期六(d) 平行兩直線 (e) 平面圖形圖3.23 用幾何元素表示平面2. 用平面的跡線表示平面 在畫法幾何中,空間平面還可用跡線來(lái)表示??臻g平面與投影面的交線稱為投影面的跡線。如圖3.24(a)所示。平面P與H、V、W面的交線分別稱為水平跡線(用PH表示)、正面跡線(用PV表示)和側(cè)面跡線(用PW表示)。PH、PV、PW與投影軸X、Y、Z的交點(diǎn)PX、PY、PZ稱為跡線集合點(diǎn)。3.3 空間平面的投影分析 第59頁(yè),共89頁(yè),2022年,5月20日,2點(diǎn)16分,星期
39、六 由于跡線是投影面上的直線,所以它的一個(gè)投影與跡線本身重合,另一個(gè)投影則落在投影軸上。在投影圖中,PH、PV、PW直接表示跡線本身在空間的位置,而處在投影軸上的那個(gè)投影則省略不畫,如圖3.24(b)所示。(a) (b)圖3.24 用跡線表示平面3.3 空間平面的投影分析 第60頁(yè),共89頁(yè),2022年,5月20日,2點(diǎn)16分,星期六顯然,用跡線表示的平面,其直觀性強(qiáng),它形象地表明了平面在空間的位置。用跡線表示的平面稱為跡線平面。3.3 空間平面的投影分析 第61頁(yè),共89頁(yè),2022年,5月20日,2點(diǎn)16分,星期六3.3.2 平面相對(duì)于投影面的位置及其投影特性在3面體系中,平面對(duì)投影面的位
40、置有3種:一般位置平面、投影面垂直面和投影面平行面。后兩種稱為特殊位置平面。平面分別與H、V、W面所構(gòu)成的兩面角稱為該平面對(duì)H、V、W面的傾角,。顯然,當(dāng)平面平行于投影面時(shí),其傾角為0;垂直于投影面時(shí),其傾角為90;傾斜于投影面時(shí),其傾角在0,90。1. 一般位置平面既不平行也不垂直于投影面的平面稱為一般位置平面。如圖3.25所示可直接觀察分析得到一般位置平面的投影特性:由于平面傾斜于投影面,所以它的三面投影的形狀均為空間平面的類似形線框,其面積均小于空間平面的實(shí)形面積,不反映實(shí)形的真實(shí)大小;3個(gè)投影均不能反映平面與3個(gè)投影面的傾角的真實(shí)大小。3.3 空間平面的投影分析 第62頁(yè),共89頁(yè),2
41、022年,5月20日,2點(diǎn)16分,星期六 (a) (b)圖3.25 一般位置平面的投影3.3 空間平面的投影分析 第63頁(yè),共89頁(yè),2022年,5月20日,2點(diǎn)16分,星期六 2. 投影面垂直面在三面體系中垂直于任意投影面,而與另兩投影面傾斜的平面,稱為投影面的垂直面。投影面垂直面可分為3種:(1) 垂直于V面、且傾斜于另兩投影面的平面稱為正垂面。(2) 垂直于H面、且傾斜于另兩投影面的平面稱為鉛垂面。(3) 垂直于W面、且傾斜于另兩投影面的平面稱為側(cè)垂面。3種投影面垂直面的投影及投影特性見(jiàn)表3-3。由此可得出投影面垂直面的投影特性:在所垂直的投影面上的投影積聚為一條斜線,該斜線與相應(yīng)投影軸
42、的夾角反映出該平面與其他兩個(gè)投影面的傾角的真實(shí)大??;其他兩個(gè)投影面互為類似形線框。3.3 空間平面的投影分析 第64頁(yè),共89頁(yè),2022年,5月20日,2點(diǎn)16分,星期六表3-3 投影面垂直面的三面投影及其投影特性3.3 空間平面的投影分析 第65頁(yè),共89頁(yè),2022年,5月20日,2點(diǎn)16分,星期六 3. 投影面平行面 平行于一個(gè)投影面且必垂直于另兩個(gè)投影面的平面稱為投影面平行面。投影面平行面又可分為3種:(1) 平行于H面的平面稱為水平面。(2) 平行于V面的平面稱為正平面。(3) 平行于W面的平面稱為側(cè)平面。投影面平行面的投影及投影特性見(jiàn)表3-4。由此可得出投影面平行面的投影特性為:
43、在所平行的投影面上的投影反映實(shí)形,其他兩個(gè)投影都積聚為直線且平行于相應(yīng)的投影軸。三個(gè)傾角分別為0或90。3.3 空間平面的投影分析 第66頁(yè),共89頁(yè),2022年,5月20日,2點(diǎn)16分,星期六表3-4 投影面平行面的三面投影及其投影特性 3.3 空間平面的投影分析 第67頁(yè),共89頁(yè),2022年,5月20日,2點(diǎn)16分,星期六由此,我們可以得出這樣的結(jié)論:從投影面垂直面的3個(gè)投影,可直接獲得該平面對(duì)投影面的傾角的真實(shí)大小(其中一個(gè)傾角為已知,即90),但不能直接得到其實(shí)形;而從投影面平行面的投影,則可直接獲得平面的實(shí)形(對(duì)投影面的傾角為已知)。對(duì)于一般位置平面,則要通過(guò)圖解方法求解其實(shí)形和對(duì)
44、投影面傾角的真實(shí)大小。3.3 空間平面的投影分析 第68頁(yè),共89頁(yè),2022年,5月20日,2點(diǎn)16分,星期六由初等幾何可知: 點(diǎn)在平面上,則該點(diǎn)必在此平面的一條直線上。 直線在平面上,則該直線必通過(guò)平面上的兩點(diǎn)、或通過(guò)平面內(nèi)的一點(diǎn)且平行于平面上的另一直線。將上述兩個(gè)條件應(yīng)用于投影法,即可解決在平面上的取點(diǎn)、取直線的問(wèn)題。如圖3.26所示,點(diǎn)K、直線KT和KM均位于由相交兩直線AB、BC所確定的平面上。3.3.3 平面上的點(diǎn)和直線 3.3 空間平面的投影分析 第69頁(yè),共89頁(yè),2022年,5月20日,2點(diǎn)16分,星期六 【例3.6】 (1) 在ABC平面上過(guò)點(diǎn)C作正平線CD;(2) 并在此
45、面上取一點(diǎn)S,使之在H面之上15mm,在V面之前25mm,如圖3.27(a)所示。分析:(1) 由正平線CD的投影特性可知:其水平投影cd平行于OX軸,正面投影傾斜于X軸。利用這一投影特性,應(yīng)用平面上取直線的幾何原理即可求解出所求的正平線CD。(2) 在平面上取定點(diǎn)S:平面上的投影面平行線是一條與所平行的投影面等距的直線。據(jù)題意,所求點(diǎn)S應(yīng)位于平面上距H面為15mm的一條水平線EF上,同時(shí),它也應(yīng)位于距V面25mm的一條正平線MN上,因此,所求點(diǎn)S應(yīng)為平面上這兩條直線的交點(diǎn)。作圖步驟:3.3 空間平面的投影分析 第70頁(yè),共89頁(yè),2022年,5月20日,2點(diǎn)16分,星期六(a) 點(diǎn)k在平面a
46、bc上(點(diǎn)k過(guò)平面上一直線)(b) 直線kf在平面abc上(直線過(guò)平面上兩已知點(diǎn))(c) 直線km在平面abc上(直線過(guò)平面上一點(diǎn)且平行平面上另一直線)圖3.26 在平面上取點(diǎn)取線 3.3 空間平面的投影分析 第71頁(yè),共89頁(yè),2022年,5月20日,2點(diǎn)16分,星期六 (1) 作正平線CD:在水平投影面上,過(guò)c作cdOX,交ab于d,由d找出d,連接cd,則CD(cd, cd)為所求,如圖3.27(b)所示。 (2) 確定S點(diǎn):首先作一條平面ABC內(nèi)的水平線EF的正面投影ef,使其與X軸相距15mm,然后再作出其水平投影ef,以及平面內(nèi)的正平線MN的水平投影mn,使其與X軸相距25mm,m
47、n與ef的交點(diǎn)即為點(diǎn)S的水平投影s,由此再定出S點(diǎn)的正面投影s,即為所求,如圖3.27(c)所示。 3.3 空間平面的投影分析 第72頁(yè),共89頁(yè),2022年,5月20日,2點(diǎn)16分,星期六(a) (b) (c)圖3.27 在平面上作投影面平行線和取定點(diǎn)3.3 空間平面的投影分析 第73頁(yè),共89頁(yè),2022年,5月20日,2點(diǎn)16分,星期六3.3.4 直線與平面、平面與平面的相對(duì)位置 直線與平面、平面與平面之間的相對(duì)位置有兩種情況,即平行和相交。包括直線與平面、平面與平面的平行和相交,相交又有垂直相交和傾斜相交兩種情況。1. 平行幾何條件: 如果一直線平行于平面上的一條直線,則直線與該平面平
48、行,如圖3.28所示。 如果一平面上的兩相交直線平行于另一平面上的兩相交直線,則該兩平面平行,如圖3.29所示。據(jù)此,即可解決其投影作圖及其相對(duì)位置的判斷等問(wèn)題。3.3 空間平面的投影分析 第74頁(yè),共89頁(yè),2022年,5月20日,2點(diǎn)16分,星期六圖3.28 直線與平面平行 圖3.29 兩平面平行3.3 空間平面的投影分析 第75頁(yè),共89頁(yè),2022年,5月20日,2點(diǎn)16分,星期六 【例3.7】 試判斷直線MN與平面ABC是否平行,如圖3.30(a)所示。分析及作圖:根據(jù)上述幾何條件,如果能在ABC平面內(nèi)作出一條平行于MN的直線,則直線MN就與平面ABC平行,否則就不平行。為此,在平面
49、上先作一條輔助線DB,使其正面投影dbmn,再由db 找出DB的水平投影db。因?yàn)樗酵队癲b不平行于mn,不符合直線與平面平行的幾何條件,故知MN不平行于ABC,如圖3.30(b)所示。3.3 空間平面的投影分析 第76頁(yè),共89頁(yè),2022年,5月20日,2點(diǎn)16分,星期六(a) (b)圖3.30 判斷直線與平面是否平行3.3 空間平面的投影分析 第77頁(yè),共89頁(yè),2022年,5月20日,2點(diǎn)16分,星期六 【例3.8】 試過(guò)點(diǎn)S作一平面平行于已知平面ABC,如圖3.31(a)所示。分析與求解:根據(jù)其幾何條件,應(yīng)過(guò)點(diǎn)S作一對(duì)相交直線,使其分別平行于已知平面ABC內(nèi)的任意兩條直線。為此,過(guò)
50、點(diǎn)S作一條直線SL1AB,按同法過(guò)點(diǎn)S再作SL2BC,則SL1與SL2所組成的平面即為所求平面,如圖3.31(b)所示。(a) (b)圖3.31 作平面平行于已知平面3.3 空間平面的投影分析 第78頁(yè),共89頁(yè),2022年,5月20日,2點(diǎn)16分,星期六 2. 相交直線與平面或平面與平面相交,就會(huì)產(chǎn)生交點(diǎn)或交線。直線與平面相交,其交點(diǎn)為直線與平面所共有,它既在直線上又在平面上,是直線與平面的共有點(diǎn),如圖3.32所示;同理,兩平面P和S相交,其交線為一條直線,它既在平面P上又在平面S上,是兩平面的公有線,如圖3.33所示。圖3.32 直線與平面相交3.3 空間平面的投影分析 第79頁(yè),共89頁(yè)
51、,2022年,5月20日,2點(diǎn)16分,星期六為討論問(wèn)題的方便和清楚起見(jiàn),本章只討論特殊情況下求交點(diǎn)或交線的問(wèn)題。有興趣的讀者,可從中找出規(guī)律,以引伸到一般位置的線面相交及面面相交問(wèn)題的求解。圖3.33 平面與平面相交3.3 空間平面的投影分析 第80頁(yè),共89頁(yè),2022年,5月20日,2點(diǎn)16分,星期六所謂特殊情況主要指以下3種:(1) 特殊位置直線與一般位置平面相交;(2) 一般位置直線與特殊位置平面相交;(3) 一般位置平面與特殊位置平面相交。在以上每一組相交的幾何要素中,至少有一個(gè)要素的某一投影具有積聚性,故可利用其積聚性直接求交點(diǎn)和交線。1) 特殊位置直線與一般位置平面相交如圖3.3
52、4(a)所示,鉛垂線MN與ABC平面相交。由圖中可以看出,由于直線垂直于H面,其水平投影積聚為一點(diǎn),因此它們的交點(diǎn)S的水平投影s必與之重合。又因?yàn)榻稽c(diǎn)S屬于ABC,故可利用面上取點(diǎn)的方法,即在ABC上過(guò)點(diǎn)S作輔助線AD求出s。直線與平面相交,存在著投影重疊部分的可見(jiàn)性判別問(wèn)題。即判斷某一同面投影中直線被平面擋住的一段,并用虛線表示。顯然,其交點(diǎn)為線段投影可見(jiàn)與不可見(jiàn)的分界點(diǎn),若在一側(cè)為可見(jiàn),則另一側(cè)必不可見(jiàn)??梢?jiàn)性的判別可利用重影點(diǎn)的投影特性。如圖3.34(b)所示,為判別直線MN的正面投影的可見(jiàn)性,可通過(guò)正面投影中ac、mn 的交點(diǎn)即重影點(diǎn)1(2)引投射線, 3.3 空間平面的投影分析 第8
53、1頁(yè),共89頁(yè),2022年,5月20日,2點(diǎn)16分,星期六分別交水平投影中mn和ac于點(diǎn)1和2,由于點(diǎn)1在2的前面,故正面投影中2 為不可見(jiàn),即點(diǎn)所在直線MN的2s 一段為可見(jiàn),用粗實(shí)線表示;而其余為不可見(jiàn),畫成虛線。(a) (b)圖3.34 特殊位置直線與平面相交3.3 空間平面的投影分析 第82頁(yè),共89頁(yè),2022年,5月20日,2點(diǎn)16分,星期六2) 一般位置直線與特殊位置平面相交如圖3.35(a)所示如求圖3.35(a)所示直線EF與鉛垂面ABC的交點(diǎn)。由于ABCH面,所以其水平投影積聚成一條直線abc,如圖3.35(b)所示。交點(diǎn)K是平面上的點(diǎn),其水平投影必積聚在此直線上。但交點(diǎn)K同時(shí)又是直線EF上的點(diǎn),因此根據(jù)平行投影的從屬性,該點(diǎn)的投影必在直線的同面投影之上。于是水平投影中兩直線投影的交點(diǎn)k就是
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