微分方程習題課64788課件

1、第十二章 習題課 一、一階微分方程求解二、二階微分方程求解第十二章 習題課 一、一階微分方程求解二、二階微分方程求解一、一階微分方程求解 1. 一階標準類型方程求解 關鍵: 辨別方程類型 , 掌握求解步驟2. 一階非標準類型方程求解 變量代換法 代換自變量代換因變量代換某組合式四個標準類型: 可分離變量方程, 齊次方程, 一階線性方程, 貝努利方程一、一階微分方程求解 1. 一階標準類型方程求解 關鍵: 二、兩類二階微分方程的解法 1. 可降階微分方程的解法 降階法令令逐次積分求解 2. 二階線性微分方程的解法 常系數(shù)情形齊次非齊次代數(shù)法二階線性微分方程解的結(jié)構定理二、兩類二階微分方程的解法

2、1. 可降階微分方程的解法 特征方程:實根 特 征 根通 解以上結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)齊次線性微分方程 .3. 二階常系數(shù)齊次線性微分方程:特征方程:實根 特 征 根通 解以4. 二階常系數(shù)線性非齊次微分方程 :其通解為：非齊次方程特解齊次方程通解求特解的方法根據(jù) f (x) 的特殊形式 ,的待定形式,代入原方程比較兩端表達式以確定待定系數(shù) . 待定系數(shù)法4. 二階常系數(shù)線性非齊次微分方程 :其通解為：非齊次方程（ 為實數(shù) ,為 m 次多項式 ）當 是特征方程的 k 重根 時,可設特解：可設特解:其中 為特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1)時, （1）（2）（ 為實數(shù) ,為 m 次多項

3、式 ）當 是特征方程的 k 例1. 求下列方程的通解提示: (1)故為分離變量方程:通解例1. 求下列方程的通解提示: (1)故為分離變量方程:通解方程兩邊同除以 x 即為齊次方程 , 令 y = u x ,化為分離變量方程.調(diào)換自變量與因變量的地位 ,用線性方程通解公式求解 .化為方程兩邊同除以 x 即為齊次方程 , 令 y = u x ,（4）代入方程得兩端積分得(一階方程)故所求通解為解:（4）代入方程得兩端積分得(一階方程)故所求通解為解:例2. 求下列方程的通解:提示: (1)令 u = x y , 得(2) 將方程改寫為(貝努利方程) (分離變量方程)原方程化為例2. 求下列方程的

4、通解:提示: (1)令 u = x y 令 y = u t(齊次方程)令 t = x 1 , 則可分離變量方程求解化方程為令 y = u t(齊次方程)令 t = x 1 , 則例3.設F(x)f (x) g(x), 其中函數(shù) f(x), g(x) 在(,+)內(nèi)滿足以下條件:(1) 求F(x) 所滿足的一階微分方程 ;(03考研) (2) 求出F(x) 的表達式 .解: (1) 所以F(x) 滿足的一階線性非齊次微分方程:例3.設F(x)f (x) g(x), 其中函數(shù) f(x)(2) 由一階線性微分方程解的公式得于是 (2) 由一階線性微分方程解的公式得于是 求微分方程 解: 特征方程為因此特解為：特解為：的一個特解。特解為：例4.求微分方程 解: 特征方程為因此特解為：特解為：的一個特解。例5. 的通解. 解: 特征方程為其根為對應齊次方程的通解為比較系數(shù), 得因此特解為代入方程:所求通解為為特征方程的單根 ,因此設非齊次方程特解為例5. 的通解. 解: 特征方程為其根為對應齊次方程的通解為例6. 的一個特解 .解: