初二數(shù)學-全等三角形經(jīng)典模型及例題詳解

1、精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)專心-專注-專業(yè)精選優(yōu)質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業(yè)輔助線模型考點分析：SASASAAASSSS典型例題全等三角形輔助線找全等三角形的方法：可以從結論出發(fā)，尋找要證明的相等的兩條線段（或兩個角）分別在哪兩個可能全等的三角形中；可以從已知條件出發(fā)，看已知條件可以確定哪兩個三角形全等；可從條件和結論綜合考慮，看它們能確定哪兩個三角形全等；若上述方法均不可行，可考慮添加輔助線，構造全等三角形。三角形中常見輔助線的作法：延長中線構造全等三角形；利用翻折，構造全等三角形；引平行線構造全等三角形；作連線構造等腰三角形。常見輔助線的作

2、法有以下幾種：（1）遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質解題， 思維模式是全等變換中的“對折”。1：如圖， ABCBAC=90，BDABCACD，CEBD，BDE。求證：BD=2CE。思路分析：1）題意分析：本題考查等腰三角形的三線合一定理的應用2）解題思路：BD=2CE，可用加倍法，延長短邊BDABC 的條件，可以和等腰三角形的三線合一定理結合起來。解答過程：證明：延長 BA，CE 交于點 F，在 BEF 和 BEC 中，1=2，BE=BE，BEF=BEC=90，BEFBEC，EF=EC，從而 CF=2CE。又1+F=3+F=90，故1=3。在 ABD 和 ACF 中，1=

3、3，AB=AC，BAD=CAF=90，ABDACF，BD=CF，BD=2CE。解題后的思考：等腰三角形“三線合一”性質的逆命題在添加輔助線中的應用不但可以提高解題的能力，而且還加強了相關知識點和不同知識領域的聯(lián)（2）造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉”。2：中，AD 的平分線，AD 邊上的中線。求證：ABC 是等腰三角形。思路分析：1）題意分析：本題考查全等三角形常見輔助線的知識。2）解題思路：在證明三角形的問題中特別要注意題目中出現(xiàn)的中點、中線、中位線等解答過程：AD AD DE=AD。邊上的中線，BD=DC又BDE=CDA BEDCAD，故 EB=AC，E=2，AD 是BAC

4、 的平分線1=2，1=E，AB=EB，從而 AB=AC，即 ABC 是等腰三角形。解題后的思考：題目中如果出現(xiàn)了三角形的中線，常加倍延長此線段，再 將端點連結，便可得到全等三角形。（3）的思維模式是三角形全等變換中的對折，所考知識點常常是角平分線的性質定理或逆定理。例 3：已知，如圖，AC 平分BAD，CD=CB，ABAD。求證：B+ADC=180思路分析：題意分析：本題考查角平分線定理的應用。解題思路：ACBADCBAD解答過程：證明：作 CEAB 于 E，CFAD 于 F。AC 平分BAD，CE=CF。在 RtCBE 和 RtCDF 中，CE=CF，CB=CD，RtCBERtCDF，B=C

5、DF，CDF+ADC=180，B+ADC=180。解題后的思考：關于角平行線的問題，常用兩種輔助線；見中點即聯(lián)想到中位線。見中點即聯(lián)想到中位線。（4）是全等變換中的“平移”或“翻轉折疊”4：ABCABACEF BCD，EB=CF。求證：DE=DF。思路分析：1）題意分析： 本題考查全等三角形常見輔助線的知識：作平行線。2解題思路FEBFCE=FE EG/CF，構造中心對稱型全等三角形，再利用等腰三角形的性質，使問題得以解決。解答過程：證明：過EEG/ACBC則EGB=ACB，又 AB=AC，B=ACB，B=EGB，EGD=DCF，EB=EG=CF，EDB=CDF， DGE DCF，DE=DF。

6、解題后的思考：此題的輔助線還可以有以下幾種作法：5：ABCBAC=60，C=40，APBACBCP，BQABC 交 AC 于 Q，求證：AB+BP=BQ+AQ。思路分析：題意分析：本題考查全等三角形常見輔助線的知識：作平行線。解題思路：AB+BP=BQ+AQ。形勢較為復雜，我們可以通過轉化的思想把左式和右式分別轉化為幾條相等線段的和即可得證?？蛇^OBCADOAQOOD=OQ，AD=AQ，BD=OD解答過程：證明：如圖（1），過 O 作 ODBC 交 AB 于 D，ADO=ABC=1806040=80，又AQO=C+QBC=80，ADO=AQO，又DAO=QAO，OA=AO，ADOAQO，OD=

7、OQ，AD=AQ，又ODBP，PBO=DOB， 又ODBP，PBO=DOB， DBO=DOB，BD=OD，又BPA=C+PAC=70，BOP=OBA+BAO=70，BOP=BPO，BP=OB，AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ。解題后的思考：AB本題利用“平行法”的解法也較多，舉例如下：如圖（2），OODBCACD，則ADOABO如圖（5），PPDBQACD，則ABPADP。FCEBCE（SAS），2=1。又ADBC，ADC+BCD=180，DCE+CDE=90，2+3=90，1+4=90，3=4。在FDE與ADE中，F(xiàn)DEADE（ASA），DF=DA，CD=DF+CF

8、，CD=AD+BC。1）對于證明有關線段和差的不等式，通常會聯(lián)系到三角形中兩線段之和大于第三邊、之差小于第三邊，故可想辦法將其放在一個三角形中證明。2）在利用三角形三邊關系證明線段不等關系時，如直接證明不出來，可連小結：三角形圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對折看， 對稱以后關系現(xiàn)。角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線， 三線合一試試看。線段垂直平分線，常向兩端把線連。線段和差及倍半， 延長縮短可試驗。線段和差不等式，移到同一三角形。三角形中兩中點， 連接則成中位線。三角形中有中線，延長中線等中線。同步練習（答題時間：90 分鐘）這幾道題一定要認真思考啊，都是要添加輔助線的，

9、開動腦筋好好想一想吧！加油！你一定行！11，ABCD中，BCAB，AD=DC，BD平分ABC。求證：BAD+BCD=180。22，1=2，PBNPDBCD，AB+BC=2BD。求證：BAP+BCP=180。33，ABC中，C2B，12。求證：AB=AC+CD。試題答案1180，DDEBAEDFBCF1-2RtADERtCDF(HL)，DAE=DCF。又BAD+DAE=180，BAD+DCF=180， 即BAD+BCD=18021180，可把它們移到一起，讓它們成為鄰補角，即證明BCP=EAP，因而此題適用“補短”進行全等三角形的構 造。PPEBAE2-2RtAPERtCPD(SAS)，PAE=

10、PCD又BAP+PAE=180。BAP+BCP=1803ACECE=CDABAF=AC證明：方法一（補短法）ACEDC=CE，則CDECED3-2AFDACD（SAS），DF=DC，AFDACD。又ACB2B，F(xiàn)DBB，F(xiàn)D=FB。AB=AF+FB=AC+FD，AB=AC+CD。4、證明：（方法一）將DE兩邊延長分別交AB、AC于M、在AMN中，AM+ANMD+DE+NE；在BDM中，MB+MDBD；在CEN中，CN+NECE；由 + 得 ： AM+AN+MB+MD+CN+NEMD+DE+NE+BD+CEAB+ACBD+DE+EC（方法二：圖 4-2）延長BD交AC于F，延長CE交BF于G，在ABF、GFC和GDE中有： AB+AFBD+DG+GFGF+FCGE+CEDG+GEDE由 + 得 ： AB+AF+GF+FC+DG+GEBD+DG+GF+GE+CE+DEAB+ACBD+DE+EC。5、分析：要證 AB+AC2AD，由圖想到：AB+BDAD，AC+CDAD，所以有AB+AC+BD+CDAD+AD=2ADBD+CD，故不能直接證出此題，而2ADACDEBD（SAS）BE=CA（全等三角形對應邊相等）在