相關(guān)分析與相關(guān)系數(shù)

1、第五講相關(guān)分析一、“相關(guān)”的意義（一）相關(guān)現(xiàn)象教育工作者常覺察，許多教育現(xiàn)象之間或教育行為之間存在著必然的彼此聯(lián)系。例如，在 學(xué)習(xí)行為上，隱約地表現(xiàn)出這么一些特點：學(xué)生的數(shù)學(xué)成績和物理成績之間關(guān)系密切，似乎許 多數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的學(xué)生在物理科目上的成績大多也是優(yōu)秀的，許多數(shù)學(xué)水平中等的學(xué)生在物理 科目上的學(xué)習(xí)水平大多數(shù)也是中等的，許多數(shù)學(xué)成績較差的學(xué)生物理科目上的學(xué)習(xí)成績大多也 是較差的。這說明數(shù)學(xué)成績和物理成績之間存在一種水漲船高、水落船低”的彼此關(guān)聯(lián)的 趨勢。固然，并非是所有事物之間都有這么一種相同的明顯的關(guān)聯(lián)趨勢。比如，數(shù)學(xué)成績與語文 成績之間或語文成績與化學(xué)成績之間，其彼此關(guān)聯(lián)的趨勢就不是

2、那么明顯可察。而另外一些教 育現(xiàn)象，例如對學(xué)習(xí)材料的溫習(xí)次數(shù)與遺忘量之間的關(guān)系，其遺忘量在必然范圍內(nèi)隨著溫習(xí)次 數(shù)的增加而減小?？梢姡袨樽兞炕颥F(xiàn)象之間存在著各種不同模式不同程度的聯(lián)系。（二）（二）相關(guān)的直觀意義散點圖分析正相關(guān)與負相關(guān)一一 若是彼此關(guān)聯(lián)著的兩變量，一個增大另一個也隨之增大，一個減 小另一個也隨之減小，轉(zhuǎn)變方向一致，就稱兩變量之間有正相關(guān)。若是彼此關(guān)聯(lián)著的兩變量， 一個增大另一個反而減小，轉(zhuǎn)變方向相反，就稱叫兩變量之間有負相關(guān)。直線性相關(guān)與曲線相關(guān)直線性相關(guān)是所有關(guān)聯(lián)模式中最簡單的一種，有關(guān)聯(lián)的兩個變 量各自以大體均等的速度轉(zhuǎn)變著。若以平面坐標散點圖來理解，直線性相關(guān)意指：兩個

3、變量的 成對觀測數(shù)據(jù)在平面直角坐標系上描點組成的散點圖散布的教點會圍繞在某一條直線周圍。直線性相關(guān)的含義，是以平面坐標散點圖來理解，咱們還可以從相關(guān)散點圖的幾何散布形 態(tài)來熟悉相關(guān)的強度與方向，若是散點圖形雜亂無章沒有顯示出向某個方向延伸的情形，則說明 相關(guān)程度很低；若是散點圖散布形成一個邊界不規(guī)則的橢圓，則說明兩個變量存在中等程度的 相關(guān)；若這里的橢圓越扁長，則相關(guān)程度越高。至于相關(guān)的方向，則可以通過散點橢圓圖形的 長軸所在直線的斜率來判斷。從左下方往右上方延伸的情形是正相關(guān)；從左上方往右下方延伸 的情形是負相關(guān)。這樣，咱們可以從散點圖的散布情況，初步判斷兩個變量之間的相關(guān)情況。二、相關(guān)的計

4、算及分析（一）.（積差）相關(guān)系Kr概念，設(shè)兩個現(xiàn)象有如下兩組觀測值為X與Y的相關(guān)系數(shù)小 （XX）（Y - Y） 蒞（XX）J（Y - Y）2 i=為X與Y的相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù)用r表示，r在-1和+1之間取值。相關(guān)系數(shù)r的絕對值大小（即,），表示兩個 變量之間的直線相關(guān)強度；相關(guān)系數(shù)r的正負號，表示相關(guān)的方向，別離是正相關(guān)和負相關(guān)；若 相關(guān)系數(shù)r=0，稱零線性相關(guān)，簡稱零相關(guān)；相關(guān)系數(shù)H=1時，表示兩個變量是完全相關(guān)， 這時，兩個變量之間的關(guān)系成了肯定性的函數(shù)關(guān)系這種情況在行為科學(xué)與社會科學(xué)中是極少存 在的。一般說來，若觀測數(shù)據(jù)的個數(shù)足夠多的話,計算出來的相關(guān)系數(shù)r就會更真實地反映客觀事 物之間的

5、本來面目。當(dāng)Hi,稱為高度相關(guān)；當(dāng)-H 刀時，稱為中等相關(guān)；當(dāng)-H Q4時，稱為低度 相關(guān)；當(dāng)H02時，稱極低相關(guān)或接近零相關(guān)。由于事物之間聯(lián)系的復(fù)雜性，在實際研究中，通過統(tǒng)計方式肯定出來的相關(guān)系數(shù)即即是高 度相關(guān)，咱們在解釋相關(guān)系數(shù)的時候，還要結(jié)合具體變量的性質(zhì)特點和有關(guān)專業(yè)知識進行。兩 個高度相關(guān)的變量它們之間可能具有明顯的因果關(guān)系；也可能只具有部份因果關(guān)系；還可能沒 有直接的因果關(guān)系，其數(shù)量上的彼此關(guān)聯(lián)，只是它們一路受到其他第三個變量所支配的結(jié)果。 除此之外，相關(guān)系數(shù)r接近零，這只是表示這兩個變量不存在明顯的直線性相關(guān)模式，但不能肯 定地說這兩個變量之間就沒有規(guī)律性的聯(lián)系。通過散點圖咱們

6、有時會發(fā)現(xiàn)，兩個變量之間存在 明顯的某種曲線性相關(guān)，但計算直線性相關(guān)系數(shù)時，其值往往接近零。對于這一點，讀者應(yīng) 該有所熟悉。在統(tǒng)計學(xué)教科書中，除非特別說明，直線性相關(guān)一般情況下就稱相關(guān)；直線性相關(guān)系數(shù)就 稱相關(guān)系數(shù)。相關(guān)系數(shù)的計算方式多種多樣，這里主要介紹：積差相關(guān)、品級相關(guān)和點雙列相 關(guān)。這些相關(guān)分析方式在行為科學(xué)研究和在教育與心理測量研究中有普遍的應(yīng)用?！纠?】練習(xí)（用統(tǒng)計計算器）算出某學(xué)多（數(shù)學(xué)）與Y（語文）成績之間的相關(guān)系 數(shù)（表1）：0576825776672462320677895929792168530777885929774467760868844624705657120974

7、80547664005920107487547675696438756837573527024563369057682577667246232067789592979216853077788592977446776086884462470565712097480547664005920107487547675696438756837573527024563369說明該系數(shù)的含義。（答:（二）、品級相關(guān)的概念及大體公式針對兩列順序變量數(shù)據(jù)之間的相關(guān)問題，英國心理學(xué)家與統(tǒng)計學(xué)家斯皮爾曼（）在皮爾遜積差相關(guān)法思想的基礎(chǔ)上，導(dǎo)出了品級相關(guān)的計算方式。品級相關(guān)是按照兩列順序變量數(shù) 據(jù)中各對品級數(shù)據(jù)的差數(shù)

8、來計算相關(guān)系數(shù)的方式。對于持續(xù)變量的數(shù)據(jù)，必要時可別離把兩列 數(shù)據(jù)按大小順序賦給名次品級，進而采用品級相關(guān)法計算相關(guān)系數(shù)。品級相關(guān)系數(shù)的大體計算6睥6睥2-11-機阿T)rR=式中：rR是品級相關(guān)的記號；n是成對觀測數(shù)據(jù)的數(shù)量；D是成對的品級數(shù)據(jù)的差數(shù)，簡 稱品級差數(shù)；是所有品級差數(shù)的平方和。（答：）【例2】表2 :品級相關(guān)系數(shù)計算示例【例3】 兩位教育專家對5篇論文進行獨自評價，各自對這5篇論文排出名次順序，其結(jié)果見表2中第2欄和第3欄有關(guān)數(shù)據(jù)。試問這兩位教育專家在評價優(yōu)秀論文時，他們評價 意見一致性如何？分析解答一般說來，要研究兩位專家的評判標準或評價意見的一致性程度，可以通過相關(guān)分析的方

9、法。由于這里的評價意見最終是以排定的名次出現(xiàn)的，故要用等級相關(guān)法。具體 計算仿照上例，其結(jié)果如表3。據(jù)此求得:可見這兩位專家對5篇論文的評價意見一致性很差。表3品級相關(guān)系數(shù)計算示例2論文編號評委甲（&）評委乙（&9D0124-240253240341390412-110535-2420關(guān)于Spearman品級相關(guān)系數(shù)計算中出現(xiàn)湘同品級”時的處置方式:把相同品級處置術(shù)平均數(shù)；或在把相同把相同品級處置對應(yīng)品級也處對應(yīng)品級也處術(shù)平均數(shù)。（三）、點雙列相關(guān)相關(guān)的概念及大體公式在研究一些教育問題時，咱們常碰到兩個變量中的一個是持續(xù)變量，另一個是二分類 的稱名變量，而且要求分析它們之間的相關(guān)連帶關(guān)系的情況

10、。【例4】 某研究人員取得14位學(xué)生參加國際中學(xué)生奧林區(qū)克數(shù)學(xué)競賽地域選拔賽的成 績,其數(shù)據(jù)如表3所示，試問性別和數(shù)學(xué)能力之間有連帶關(guān)系嗎？表4: 14名學(xué)生參加奧林區(qū)克數(shù)學(xué)選拔賽成績一覽表學(xué)生代號/BCDEFGHIJ KLM N性別男男男男男男男男男女i女女女?dāng)?shù)學(xué)成6434654634 642 3績90031785340030這里的性別變量是稱名變量是名不虛傳的二分類稱名變量而數(shù)學(xué)成績是持續(xù)變量數(shù)據(jù)。對這樣類型的兩列數(shù)據(jù)，如何研究變量之間的相關(guān)呢？顯然前面介紹的方式都不適用為此 咱們介紹一種新的相關(guān)分析法，即點雙列相關(guān)。一、點雙列相關(guān)適用范圍及大體公式點雙列相關(guān)適用于雙變量數(shù)據(jù)，例如有一列數(shù)

11、據(jù)是持續(xù)變量數(shù)據(jù)，如體重、身高和許多考 試與考試的分數(shù)；包括一列數(shù)據(jù)是二分類的稱名變量數(shù)據(jù)，如性別（分男與女）、態(tài)度（分同 意和不同意）、學(xué)習(xí)經(jīng)歷（分有與無）、考試結(jié)果（分合格與不合格）、題目解答（分答對與 答錯）等數(shù)據(jù)。點雙列相關(guān)的大體公式為：式中弓，是點雙列相關(guān)系數(shù)的符號；p是二分類數(shù)據(jù)中某類事物所占的比例；q是二分類 數(shù)據(jù)中另一類事物所占的比例2 t-p ；W 是p類事物的持續(xù)變量數(shù)據(jù)的平均數(shù)；歹q是 q類事物的持續(xù)變量數(shù)據(jù)的平均數(shù)；&是全數(shù)持續(xù)變量數(shù)據(jù)的標準差。二點雙列相關(guān)系數(shù)計算按照上述點雙列相關(guān)的大體公式，可從已知數(shù)據(jù)動身，分步進行計算?！纠?】 按照本節(jié)表4-7的有關(guān)數(shù)據(jù)，研究一

12、下數(shù)學(xué)能力與性別之間有多大的關(guān)聯(lián)。分析解答采用點雙列相關(guān)法來研究教學(xué)能力和性別之間的相關(guān)情況，可按公式，由 表中的數(shù)據(jù)資料分步計算。（1）在14名學(xué)生中有9名男生和5名女生，若用p表示男生的人數(shù)比例，4表示女 生的人數(shù)比例，則有：（2）把14名學(xué)生的數(shù)學(xué)比賽成績按男生和女生分成兩部份;第一部份即p部份是9名男 生的數(shù)學(xué)成績，第二部份即q部份是5名女生的數(shù)學(xué)成績，并別離計算這兩部份數(shù)據(jù)的平均數(shù)。男生成績：69,40，30，43,61，57,48,65,33女生成績：44,60，40，23, 3044 + 60 + 40 + 23 + 30 197 十V -39.4電=55計算14名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績

13、的標準差Sx。為此，按照第二章中標準差的公式，表中的數(shù) 據(jù)通過計算可得下列各值：643.IT，= 13.9667643.IT，= 13.9667(4)把上述各值代入公式，求得點雙列相關(guān)系數(shù)為：項=烏 F 廟=49.X56-39一4如642由0.3571 = 0.5780乩 13.9667注：這個計算結(jié)果是錯的！應(yīng)為.因此，從本研究的數(shù)據(jù)來看，奧林匹克數(shù)學(xué)競賽地域選拔賽的數(shù)學(xué)成績與學(xué)生性別之間存 在中等程度的相關(guān)。具體地講，從男生組和女生組的平均分數(shù)來比較，似乎男生的數(shù)學(xué)平均分 數(shù)較明顯地高于女生的數(shù)學(xué)平均分數(shù)。固然，計算點雙列相關(guān)第數(shù)也可以設(shè)計一張表格來完成上述各個數(shù)量的計算。同窗不 妨利用這種