課件4.1-4第四章根軌跡法

1、jCharacteristics2 jCharacteristics2 2s 2K Characteristics1,2 1 K 1 if K=0, s1=0,s2=-K1 if K=0.32, s =0.4, s =1.6K 0 K0 ifs1=1, KK ifK=1, s1=1+j, ifs =1+3j,s ifK=, s=1+j,sK 4根軌跡圖根軌跡圖直觀全面地描述了參數(shù)K 對閉環(huán)特征根分布的穩(wěn)定性：當(dāng)K從0時根軌跡不會越過虛軸進(jìn)入右s平面，因此該系統(tǒng)當(dāng)K0都是穩(wěn)定的。點為閉環(huán)極點時系統(tǒng)的速度誤差系數(shù)。動態(tài)性能：當(dāng)0K0.5時閉環(huán)極點為共軛復(fù)極點，系統(tǒng)為欠阻尼系統(tǒng)， 階躍響應(yīng)為阻尼振蕩

2、過程，且超調(diào)量將隨K 值的增大而增大，但調(diào)節(jié)時間不變。5(s) 1G(s)H1Gk1Gk (s) 若用開環(huán)傳遞函數(shù)來 ，則滿足 Gk (s) 1 的點就是閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根。也就是說滿足 Gk(s) 1的s值必定是根軌跡上的點，故稱 Gk (s) 1為根軌跡方程。若令m(s zi(s ziGk (s) Kg 則K 1 為根軌跡方程。(s pj(s pj6H由于Gk 由于Gk (s)是復(fù)數(shù)，上式可寫成|Gk (s) |Gk (s) m|(s zi)Kg 1n|(s pj)(szi)(s pj)(2k1)，k 上述兩式分別稱為滿足根軌跡方程的幅值條件和相角條其中相角條件是零點到根軌跡上的某點的向

3、量的相角之和減去極點到根軌跡上的某點的向量的相角之和等于180度的奇數(shù)倍，因此也稱滿足上述條件的根軌跡為180度等相角根軌跡。根據(jù)上述兩個條件，可以完全確定s平面上的根軌跡和根軌跡上對應(yīng)的Kg值。應(yīng)當(dāng) ，相角條件是確定s平面上的根軌跡的充分必要條件。這就是說，繪制根軌跡時，只需要使用相角條件；而當(dāng)需要確定根軌跡上各點的Kg值時，才使用幅值條件。7jj1閉環(huán)傳遞函數(shù)： (s) s2 2ss2 2s2K 特征根為： s1,2 18Ks(0.5s第二節(jié) 根軌第二節(jié) 根軌跡繪制的基本9用 法或試探法繪制根軌跡很煩瑣。下面 用 法或試探法繪制根軌跡很煩瑣。下面 的內(nèi)容通過致形狀和變化趨勢。以下的 是針對

4、參數(shù) Kg的180度根軌跡的KgKg從0m根軌跡方程為： (s zi) (s pjKg 0時為起點，Kg Kg 0spjj1n pjKg Kg 時， szi(i1m)zi是開環(huán)傳遞函數(shù)有限值的零點，有m個。故n階系統(tǒng)有m支根軌跡的終點在 在無窮遠(yuǎn)處。 由根軌跡方程知：當(dāng) s 時根軌跡方程右邊 lim Kg Kgm(s zi根軌跡方程左邊 s s (s pj(s pj5.5.n (s p K(szi(s pjsn sn1 a s sm sm1 bs(szi ，m 1 jj snm (ansnm (an1 bm1)snm1 KgConsideringonlytwoterms ofthis ,wes

5、nm (an1 bm1)snm1 Kgsnm (1an1 bm1 )operaten-mtimes evolutionon both 1 1s(1 m1 )(Kg )nmsusingBinomial(1 x)K 1 Kx K(K 1) x2 K(K 1) (K I 1) xI (1x1) Whenx1 ,(1x)Whenx1 ,(1x)K 1Kx , set x an1 bm1 , K n 1m1)(Kgnsx 1san1bm1 )n1cos(2k1)jsin(2kIf s x jy, with1cos(2k1)jsin(2k1) ,andaccordingto DeMoiveAlgebrai

6、cTheorem(cos jsin)n cos(n) jsin(n) , last equation can be written as,b 1 (2k 1)(2k1) x jy m1 K nm cos j sinn mn mn m 1 (2k 1 (2kx m1 Knm nn 1 (2k yKnm ntg(2kxan1 nnytg (2k 1) x an1 bm1 tg (2k 1) xnnnpj pj zim1 j j1nnny tg (2k 1)y tg (2k 1) x an1 bm1 tg (2k 1) xnnnpj m1 nn這是與實軸交點為，斜率為 tg (2k 1) nk 45

7、 nmnmnmnm (2k n pj n(s) s(s 1)(s起點和終點1 0,p21,p3 5,無有限值零點，所以漸近線與實軸的交點： pi zi 15 n3 (2k 1) n 60 6. 實軸6. 實軸上具有根軌跡的區(qū)間是：其右方 系統(tǒng)的零點數(shù)和極點數(shù)的總和為奇數(shù)3證明：例如在實軸上有兩個開環(huán)極點-p、-p 復(fù)平面上有一對共軛極-p3、-p4和一對共軛點-z1、-z21先看試驗點s1點2 成對出現(xiàn)的共軛極點-p 對實軸上任意3 探的兩個向量的相角之和為成對出現(xiàn)的共軛零點-z1、-z2對實軸上任意試探點 試探點左邊的極點p2對試探的向量的相角為 試探點右邊的極點p1對試探的向量的相角為所以

8、s1點滿足根軌跡相角條件，于是p2 ,p1為實軸上的根軌跡再看同樣3也不是根軌跡上的點。Kg (sKg (sGk ) s2(s1)(s5)(s 在原點有兩個極點，雙重極點用“ ”表示。7. 7. Kg A 切線切線方向和離開分離點（會合）的切線方向的夾角稱為分離角d。d 與相分離的根軌跡的支數(shù)k有關(guān)：d k 。m(sziN設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：G (s) i1 Kg(s pjGk(Gk(s) F(s)D(s)KgN(s)Kg Kgd時，特征方程有重根d ，則必同時F(d)F(d) N( ) (s)D(s)N(s)D(s) 由此得即： D(s)D(d)Kgd N (d)NsN N d D(s)D

9、(s)N(s)N(s)D(s) ds N(s)N2N(s)D(s)N(s)D(s) 求分離會合點的另一個公 求分離會合點的另一個公(szi Gk (s) Kg n(s pj jGk (s) F(s) Kg (s zi )(s pj )jdF(s) d Kg (szi (spjdsj(spj)Kg (szijd d (s pj)Kg (szijd d (s p d d (s p (sz j1(s pj (szi jdln(s pj dln(szi j dln(s pj dln(s zi j n dln(s p dln(sz jG (s) 試確定實軸上根軌跡的會合點和分離點的位 ks(s1)(s置

10、 實軸上根軌跡區(qū)間是：(,51G (s)s(s1)(s(3s2 12s5)27 Kg8. 根軌跡的8. 根軌跡的出射角和入射角圖中有四個開環(huán)極點，一個開環(huán)零如圖 p1,為共軛極點，現(xiàn)計 p1 的出射角。設(shè)為1c4 在離開 p1附近的根軌跡上取一點則s1點應(yīng)滿足相角條件2(s1 p1)(s1 p2)(s1 p3)(s1 p4)1 2 3 4 (2k當(dāng)s1 p1時，1即為離開根軌跡上p1的出射角，1 ，則1c1c(2k1) 23p2的出射角應(yīng)與 p1的出射角關(guān)于實軸對稱。同樣，進(jìn)入復(fù)zy的根軌跡入射角yr為：式中：i zy以外的開環(huán)零點到zy的矢量相i為各yr (2k1) i i(2k1) i 例

11、4-5 如圖例4-5 如圖，試確定根軌跡離開復(fù)數(shù)共軛極點的出射角p11j1,p2 1 j1,p3 0,p4 3,z解：tg1,45;90; tg 0.5, 4 2k26.61c26.6考慮到周期性2根據(jù)對稱性，可26.6請根據(jù)相角條件自行計算 相角要注意符號；逆時針為正，順時針為負(fù) 注意矢量的方向。p2 p1,z KKgp稱為臨界根軌跡增益。交點和 Kgp 在閉環(huán)特征方程中令 s j為零即可求出 和 Kgp例4-6開環(huán)傳遞函數(shù)為例4-6開環(huán)傳遞函數(shù)為G (s)s(s1)(sKgpF(s)s(s1)(s5)Kg s36s2 5sKg 將s j 代入得： F(j)j3 62 j5 gpKgp 0時

12、，0為根軌跡的起點（開環(huán)極點當(dāng) Kgp 30 時， 5 ，即根軌跡與虛軸的交點為 5 穩(wěn)定判穩(wěn)定判據(jù)確定,Kgp的值。s3 1Kg30Kg6g130Kg 0，得臨界增益為：Kgp Kg 共軛虛根為輔助方程 6s2 Kgp 0 的根6s2 300,2、令0，得s0 （開環(huán)極點）10. m10. m(s zi )sm bsm1 .bsb Gk (s) Kg Kg sn sn1.as(s pj j式中：bm1 zi,b0 zi。an1 pj,a0 pj j1j1閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為：F(s1Gk (s0 設(shè)閉環(huán)系統(tǒng)的極點為：s1s2 ,. sn， 當(dāng)n-m2時，an1 對于任意的Kg ，閉環(huán)極點之和

13、等于開環(huán)極點之和，為常數(shù)。表明：當(dāng)Kg 變化時，部分閉環(huán)極點在復(fù)平面上向右移動（變 閉環(huán)極點之積為：si a0 Kgb0 pj Kg j當(dāng)有為零的開環(huán)極點： Kgb0 Kg si pj j1三、n-m條漸近線六、根軌跡的分離點、會合點例開例開環(huán)傳遞函數(shù)為：Gk (s) s(s4)2 2.3.漸近 044j44j 8 (2k1)180 4.出射1c 18090135 45 ，2c s3 8s2 32sg將s j 代入得： j3 82 j32822 3 32Kgp 0,6.8s38s232sKg (s3 8s2 6.8s38s232sKg (s3 8s2 (3s2 16s32)s 82j 2.671.89所以將s 823 256 (52 j)為復(fù)數(shù)例開環(huán)傳遞函數(shù)為：Gk例開環(huán)傳遞函數(shù)為：Gk(s s(s4)2 1 解：1.即：p1 0，p2,3 4 2.3.漸近044j44j 8 (2k1)180 4.出射角18090(180tg11) 76 ，5.求與虛軸的交點，此時特征方程為 s3 8s2 17sg將s j代入得： j3 82 j178217 3 17Kgp 0,6.求分離會合點：由特征方s3 8s2 17sg (3s2 16s6.求分離會合點：由特征方s3 8s2 17sg (3s2 16s17) s