數(shù)列不等式的證明方法

1、數(shù)列型不等式的證明數(shù)列型不等式問題在近年逐漸成為高考熱點，數(shù)列型不等式問題常被設(shè)置為高考壓軸題，能力要求較高。因其仍然是不等式問題，可用處理不等式的方法：基本不等式法；比較法；放效的方法：數(shù)學(xué)歸納法。1、重要不等式法若數(shù)列不等式形如下式，可用均值不等式法求證。ab（1）a b 2ab(a,bR); （2） ab (a,bR )222x x x x（3） n x x x (x ,x ,x R)n123nn1212nn2、比較法比較法是證明不等式的基本方法，可以作差比較也可以作商比較，是一種易于掌握的方法。3、放縮法常用的放縮結(jié)論：1111111、 k k ,其中（ 2）k1 k(k 2 k(k

2、k 1 kk111111、;(2n2 (2 2 (2n(2 (2n2 2 (2 2)n nnnnn2212k k 1kk k 1用放縮法解題的途徑一般有兩條，一是先求和再放縮，二是先放縮再求和。一般先分析數(shù)列的通項公式，如果此數(shù)列的前 n 項和能直接求和或通過變形后可以求和，則采用先求和再放縮的方法證明不等式。數(shù)列求和的方法較多，我們在數(shù)列求和的專題中有具體的講解，主要用的有公式法、裂項法、倒序相加法、分組求和法等方法。1例 1、已知函數(shù) f(x)對任意實數(shù) p,q都滿足 f(pq) f(p) f(q)，且 f ，33 nN f(n)a nf (n)(nN )T 是其前nT .nnn411分析

3、：不難求得 f(n) ( ) ，于是a n( ) .對于T ，這是一個“差比”數(shù)列的和，可以用nn33nn3錯位相減法求出T ，然后再與 比較大小.于是有：4n1113( )31T 1( )2( )nn( ) ，23n333131111T 01( ) 2( ) 3( ) n( ) ，234n13333n21 11111兩式相減得： T ( ) ( ) ( ) ( ) n( ) ，234nn133 33333n13 32n 13化簡得T ( ) ，顯然有T .n4434nn高考數(shù)列不等式證明一般用此法的較多，對此法往往又有以下幾個具體情況。進(jìn)而進(jìn)行求和證明；或變形出能使用重要不等式法的結(jié)構(gòu)，使題

4、目便于證明。的不等關(guān)系。縮的目的。、先分組在放縮比較 例 a 滿足a a na 1,n 1,2, a 2a ,a ,a ，2n1nn1234n并由此猜想出a a 3時，證明對所有的 1，有（）a n2；nn1n1111（） .1a 21a 1a12na a (a n)1a n2可知a 2a 1，n1nnnn1n11 111從而1a 2(a 1)， ，1a2 1a1a 2n1nn1n1n111( )n11111 1 2 2211212于是 ) .11a 1a1a 1a2n1 1a1a 2112n1112說明：對于一些復(fù)雜的數(shù)列不等式，考慮將每一項進(jìn)行確當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小是一種常見的方法，11放縮。請

5、你思考一下，直接由a n2得，能證明這個問題嗎1a n3nn a 2a (1) ,n1例 a ns sn的nnnnn1 1 a a a1 7 ,a ,aam4a.8123n45m21,a 0,a 2,a 2 (1) a2nn3123n 23 n且 an41131132 23 2 23 1 (2 21n1n2n1n2a a () )，2 2 1 2 1 2 2 2 2 1 222n32n1n2n12n3n1n2n2nn111 1 a a111 1 ( ) (a a114 m )a且 maaa45m456m1m1 3 1 1 ( 2 2 2 211 3) 2 811 3 7) 2 8 8；2m22m4341 1 a a11 1 a a a11784 m