管理決策分析第三章效用函數(shù)

1、管理決策分析第三章效用函數(shù)第1頁，共57頁，2022年，5月20日，6點39分，星期二3.1理性行為公理問題：某公司擬推出一種新產(chǎn)品，經(jīng)預(yù)測該產(chǎn)品在市場看好的情況下，可以獲利10萬；在市場前景較差時，將虧損1萬元。市場看好和較差的概率分別為0.6和0.4，是否推出該新產(chǎn)品？若另有一產(chǎn)品可穩(wěn)獲利2萬元，推出哪種產(chǎn)品更好？這是一個隨機決策問題。第2頁，共57頁，2022年，5月20日，6點39分，星期二3.1理性行為公理在隨機決策中，決策系統(tǒng)（，A，F(xiàn)）中的決策方案均是在狀態(tài)空間背景中加以比較，并按照某種規(guī)則，選出決策者最滿意的行動方案。在本章中，我們用事態(tài)體表示在隨機性狀態(tài)空間中的行動方案，方案

2、的比較表示為事態(tài)體的比較，并引入效用的概念，用以衡量事態(tài)體（行動方案）的優(yōu)劣。第3頁，共57頁，2022年，5月20日，6點39分，星期二3.1理性行為公理事態(tài)體及其關(guān)系 1事態(tài)體的概念 定義3.1 具有兩種或兩種以上有限個可能結(jié)果的方案（或事情），稱為事態(tài)體。事態(tài)體中各可能結(jié)果出現(xiàn)的概率是已知的。事態(tài)體即隨機性狀態(tài)空間中的行動方案。第4頁，共57頁，2022年，5月20日，6點39分，星期二1事態(tài)體的概念設(shè)某事態(tài)體的n個可能結(jié)果為：o1, o2, , on各結(jié)果出現(xiàn)的概率是相應(yīng)為： p1, p2, , pn 則該事態(tài)體記為：T（p1, o1；p2, o2 ；pn, on）特別當(dāng)n 2時，稱

3、T為簡單事態(tài)體，此時 T（p, o1；1p, o2 ）第5頁，共57頁，2022年，5月20日，6點39分，星期二1事態(tài)體的概念事態(tài)體可以用樹形圖表示如下：Tp1p2pno1o2on當(dāng)n 2時：pT1-po1o2第6頁，共57頁，2022年，5月20日，6點39分，星期二事態(tài)體集合的性質(zhì)在凸線性組合下，是閉集。即：若T1，T2，則當(dāng)01時，有 T1 (1)T2兩個事態(tài)體的凸線性組合仍是一個事態(tài)體。T(0, o1；0, o2 ；1, oj ；0, on)稱T為退化事態(tài)體。退化事態(tài)體仍屬于事態(tài)體集合。第7頁，共57頁，2022年，5月20日，6點39分，星期二2事態(tài)體的比較定義3.2設(shè)o1，o2是

4、事態(tài)體T的任意兩個結(jié)果值，根據(jù)決策目標(biāo)和決策者偏好，o1和o2有如下關(guān)系：若偏好結(jié)果值o1，則稱o1優(yōu)于o2，記作o1o2；反之，稱o1劣于o2，記作o1 o2。若對結(jié)果值o1, o2無所偏好，則稱o1無差異于o2，記作o1 o2。若不偏好結(jié)果值o1，則稱o1不優(yōu)于o2，記作 o1o2 ；反之，稱o1不劣于o2，記作o1 o2 。第8頁，共57頁，2022年，5月20日，6點39分，星期二2事態(tài)體的比較定義 3.3 設(shè)兩個簡單事態(tài)體 T1，T2具有相同的結(jié)果值 o1，o2，即 ：T1（p1, o1；1p1, o2 ）T2（p2, o1；1p2, o2 ）并假定o1o2，則：若p1p2，稱事態(tài)體

5、T1無差異于T2，記作T1T2 。若p1p2，稱事態(tài)體T1優(yōu)于T2，記作T1T2；反之，稱事態(tài)體T1劣于T2，記作T1 T2。第9頁，共57頁，2022年，5月20日，6點39分，星期二2事態(tài)體的比較定義 3.4 設(shè)兩個簡單事態(tài)體 T1，T2僅具有一個相同結(jié)果值，另一個結(jié)果值不相同，即 ：T1（p1, o1；1p1, o0 ）T2（p2, o2；1p2, o0 ）且o2 o1 o0，若p1p2，則事態(tài)體T2優(yōu)于T1，記作T2T1 。若T1T2 ，則必有p1p2 。第10頁，共57頁，2022年，5月20日，6點39分，星期二3.1理性行為公理3.1.2理性行為公理 公理3.l（連通性，可比性）

6、 事態(tài)體集合上事態(tài)體的優(yōu)劣關(guān)系是連通的。即若T1，T2則或者T1T2 ，或者T2T1 ，或者T1T2 ，三者必居其一。表示任意兩個事態(tài)體都是可以比較其優(yōu)劣的！第11頁，共57頁，2022年，5月20日，6點39分，星期二3.1理性行為公理3.1.2理性行為公理 公理3.2（傳遞性） 事態(tài)體集合上事態(tài)體的優(yōu)劣關(guān)系是傳遞的。即若T1、T2 、T3，且T1T2 ，T2T3 ，則必有T1T3 。表示任意多個事態(tài)體的優(yōu)劣是可以排序的（若有些事態(tài)體無差異，可排在同一位置。）滿足公理3.1和公理3.2的事態(tài)體集合稱為全序集。 第12頁，共57頁，2022年，5月20日，6點39分，星期二3.1理性行為公理3

7、.1.2理性行為公理 公理3.3（復(fù)合保序性，替代性） 若T1，T2 ，Q，且0p1，則T1T2 當(dāng)且僅當(dāng) pT1 (1p)Q pT2 (1p)Q 。表示任意事態(tài)體的優(yōu)劣關(guān)系是可以復(fù)合的，復(fù)合后的事態(tài)體保持原有的優(yōu)劣關(guān)系不變。第13頁，共57頁，2022年，5月20日，6點39分，星期二3.1理性行為公理3.1.2理性行為公理 公理3.4（相對有序性，連續(xù)性，偏好的有界性） 若T1，T2 ，T3，且T1T2 T3 則存在數(shù) p，q，0pl，0q1，使得： pT1 (1p)T3 T2 qT1 (1q)T3 表示任意事態(tài)體都不是無限優(yōu)，也不是無限劣。第14頁，共57頁，2022年，5月20日，6點

8、39分，星期二3.1理性行為公理3.1.3事態(tài)體的基本性質(zhì) 性質(zhì)3.1設(shè)事態(tài)體 T1（p, o1；1p, o0 ）T2（x, o2；1x, o0 ）且 o1o0 ， o2o0 ，若o2o1 則存在x=pp使得 T1T2 稱x為可調(diào)概率值。第15頁，共57頁，2022年，5月20日，6點39分，星期二3.1理性行為公理3.1.3事態(tài)體的基本性質(zhì) 性質(zhì)3. 2（確定當(dāng)量和無差異概率）設(shè)事態(tài)體T（x, o1；1x, o2 ）且o1o2 。則對于滿足優(yōu)劣關(guān)系o1o o2的任意結(jié)果值o，必存在xp（0pl），使得T（p, o1；1p, o2 ） o稱結(jié)果值o為事態(tài)體T的確定當(dāng)量，稱p為o關(guān)于o1與o2的

9、無差異概率。第16頁，共57頁，2022年，5月20日，6點39分，星期二事態(tài)體的基本性質(zhì)性質(zhì)3. 3任一事態(tài)體無差異于一個簡單事態(tài)體。設(shè)有事態(tài)體T （p1, o1；p2, o2 ；pn, on）則必存在一個簡單事態(tài)體T（p, o*；1p, o0 ） T其中： o* maxo1, o2 , , on o0 mino1, o2 , , on 且：這里，qj(j=1, 2, , n)為oj關(guān)于o*與o0的無差異概率。第17頁，共57頁，2022年，5月20日，6點39分，星期二事態(tài)體的基本性質(zhì)根據(jù)性質(zhì)3. 3比較一般事態(tài)體之間的優(yōu)劣關(guān)系，可以轉(zhuǎn)化為比較簡單事態(tài)體之間的優(yōu)劣關(guān)系（將問題簡化）得到事態(tài)

10、體之間兩兩的優(yōu)劣或無差異關(guān)系后，再根據(jù)公理3.2（傳遞性）即可得到所討論事態(tài)體的排序。第18頁，共57頁，2022年，5月20日，6點39分，星期二3.2 效用函數(shù)的定義和構(gòu)造設(shè)有決策系統(tǒng)（，A，F(xiàn)），在離散情況下，結(jié)果值可以表示為決策矩陣：第19頁，共57頁，2022年，5月20日，6點39分，星期二3.2 效用函數(shù)的定義和構(gòu)造矩陣O的第i行表示第i個可行方案的n個可能結(jié)果值，即事態(tài)體Ti（p1, oi1；p2, oi2 ；pn, oin）(i=1, 2, , m)決策就是要對這 m個事態(tài)體進行排序。由第一節(jié)中的性質(zhì)3.3知，存在簡單事態(tài)體T，使得Ti（pi, o*；1pi, o0 ） Ti

11、問題又化為對這m個簡單事態(tài)體Ti進行排序。第20頁，共57頁，2022年，5月20日，6點39分，星期二3.2 效用函數(shù)的定義和構(gòu)造 Ti（pi, o*；1pi, o0 ） Ti注意到這m個簡單事態(tài)體Ti具有相同的結(jié)果值o*、 o0 ，根據(jù)定義3.3，其優(yōu)劣關(guān)系可以由比較pi的大小決定。根據(jù)性質(zhì)3.3qjj是結(jié)果值oij關(guān)于o*與o0的無差異概率。其中： 問題：如何測定無差異概率？o* o0 第21頁，共57頁，2022年，5月20日，6點39分，星期二3.2 效用函數(shù)的定義和構(gòu)造3.2.1 效用和效用函數(shù)的概念效用的概念定義3.5設(shè)決策問題的各可行方案有多種可能的結(jié)果值o，依據(jù)決策者的主觀愿

12、望和價值傾向，每個結(jié)果值對決策者均有不同的價值和作用。反映結(jié)果值o對決策者的價值和作用大小的量值稱為效用。第22頁，共57頁，2022年，5月20日，6點39分，星期二3.2 效用函數(shù)的定義和構(gòu)造3.2.1 效用和效用函數(shù)的概念效用函數(shù)的概念定義3.6若在事態(tài)體集合上存在實值函數(shù)u，有：(1)對任意的T1、T2，T1T2 當(dāng)且僅當(dāng)u(T1) u(T2)(2)對任意的T1、T2，且01，有uT1 (1)T2=u(T1)(1)u(T2)則稱u(T)為定義在上的效用函數(shù)。第23頁，共57頁，2022年，5月20日，6點39分，星期二3.2.1 效用和效用函數(shù)的概念估計效用函數(shù)的方法（1）標(biāo)準(zhǔn)效用測定

13、法(概率當(dāng)量法，VM法)思路：對于給定的結(jié)果值，測定其效用值。設(shè)有決策系統(tǒng)（，A，F(xiàn)），其結(jié)果值集合為： O（o1, o2 , , on）記： o* maxo1, o2 , , on o0 mino1, o2 , , on 對于每一個結(jié)果值oj都存在一個概率值pj，使得oj（pj , o*；1pj , o0） pj就可以作為結(jié)果值oj的效用值。第24頁，共57頁，2022年，5月20日，6點39分，星期二3.2.1 效用和效用函數(shù)的概念（1）標(biāo)準(zhǔn)效用測定法(概率當(dāng)量法，VM法)步驟設(shè) u(o*)=1，u(o0)= 0；建立簡單事態(tài)體（x, o*；1-x, o0 ），其中x稱為可調(diào)概率；通過反復(fù)

14、提問，不斷改變可調(diào)概率值x，讓決策者權(quán)衡比較，直至當(dāng)x= pj時 oj（pj , o*；1pj , o0）測得結(jié)果值oj的效用 u(oj)= pj = pj u(o*)(1pj )u(o0)第25頁，共57頁，2022年，5月20日，6點39分，星期二3.2.1 效用和效用函數(shù)的概念估計效用函數(shù)的方法（2）確定當(dāng)量法(修正的VM法)思路：對于給定的效用值，測定其結(jié)果值。步驟設(shè) u(o*)=1，u(o0)= 0；對于給定的效用值pj，構(gòu)造簡單事態(tài)體（pj , o*；1pj , o0）通過反復(fù)提問，不斷改變結(jié)果值o ，讓決策者權(quán)衡比較，直至當(dāng)o= oj時 oj（pj , o*；1pj , o0）得

15、效用值pj對應(yīng)的結(jié)果值為oj，即u(oj)= pj 。第26頁，共57頁，2022年，5月20日，6點39分，星期二3.2.2 效用函數(shù)的構(gòu)造介紹一種實用的效用函數(shù)的構(gòu)造方法?；舅悸穼τ跊Q策問題的結(jié)果值集合，先用確定當(dāng)量法找出一個基準(zhǔn)效用值，即效用值等于0.5的結(jié)果值，稱為確定當(dāng)量o。其余效用值不再測定，而是按比例用線性內(nèi)插的方法，用同一個標(biāo)準(zhǔn)計算得到。第27頁，共57頁，2022年，5月20日，6點39分，星期二3.2.2 效用函數(shù)的構(gòu)造方法設(shè)決策問題結(jié)果值集合為：O（o1, o2 , , on） 取o* maxo1, o2 , , on o0 mino1, o2 , , on 并令 u(

16、o*)=1，u(o0)= 0； 構(gòu)造簡單事態(tài)體（0.5, o*； 0.5, o0），用確定當(dāng)量法找到該事態(tài)體的確定當(dāng)量o，使得： o（0.5, o*； 0.5, o0）第28頁，共57頁，2022年，5月20日，6點39分，星期二3.2.2 效用函數(shù)的構(gòu)造方法 對結(jié)果值進行歸一化處理，記歸一化的結(jié)果值為x(oj) 則： x*=x(o*)=1， x0=x(o0)= 0， 0 x(oj)1 記確定當(dāng)量o的歸一化值為，也記為x0.5第29頁，共57頁，2022年，5月20日，6點39分，星期二得到經(jīng)歸一化變換后的效用曲線上的三個點：（0, 0）,（ , 0.5）,（1, 1）ux0110.5第30頁

17、，共57頁，2022年，5月20日，6點39分，星期二3.2.2 效用函數(shù)的構(gòu)造方法 在新區(qū)間0, 和, 1按同樣方法插入點（ x0.25, 0.25）和（ x0.75, 0.75），保持比例關(guān)系計算得：第31頁，共57頁，2022年，5月20日，6點39分，星期二效用曲線上新增兩個點：（ 2, 0.25）,（22, 0.75）ux0110.50.2520.7522第32頁，共57頁，2022年，5月20日，6點39分，星期二 若認(rèn)為點數(shù)太少，效用曲線不夠精確，可繼續(xù)按同樣方法在新產(chǎn)生的區(qū)間內(nèi)插入效用中點，直到產(chǎn)生足夠的點為止。若在效用區(qū)間0, 1中插入2n個分點：記相應(yīng)的歸一化的結(jié)果值為k

18、，有：第33頁，共57頁，2022年，5月20日，6點39分，星期二3.2.3 效用與風(fēng)險的關(guān)系在風(fēng)險型或不確定型決策問題中，決策者選擇方案幾乎都要承擔(dān)一定的風(fēng)險，不同的決策者對風(fēng)險的態(tài)度是有區(qū)別的。效用表示了決策者對決策方案各結(jié)果值的偏好程度，也反映了不同類型的決策者對風(fēng)險的不同態(tài)度。因此從不同類型的效用函數(shù)可以看出決策者對風(fēng)險的不同態(tài)度。第34頁，共57頁，2022年，5月20日，6點39分，星期二3.2.3 效用與風(fēng)險的關(guān)系中立型效用函數(shù)設(shè)有效用函數(shù)u=u(x)，若對xlx2，有 則稱該效用函數(shù)為中立型。其效用曲線是一條直線。中立型效用函數(shù)的效用值和結(jié)果值成正比例，因此可以用結(jié)果值直接評

19、選方案。第35頁，共57頁，2022年，5月20日，6點39分，星期二3.2.3 效用與風(fēng)險的關(guān)系保守型效用函數(shù)設(shè)有效用函數(shù)u=u(x)，若對xlx2，有 則稱該效用函數(shù)為保守型。其效用曲線是一條上凸曲線，表示效用值隨結(jié)果值的增加而增加，但增加的速度逐漸由快至慢。反映了決策者隨結(jié)果值增加越來越謹(jǐn)慎，對風(fēng)險持厭惡態(tài)度。第36頁，共57頁，2022年，5月20日，6點39分，星期二3.2.3 效用與風(fēng)險的關(guān)系冒進型效用函數(shù)設(shè)有效用函數(shù)u=u(x)，若對xlx2，有 則稱該效用函數(shù)為冒進型。其效用曲線是一條下凸曲線，表示效用值隨結(jié)果值的增加而增加，且增加的速度越來越快。反映了決策者隨結(jié)果值增加越來越

20、敢于冒險追求高額回報的態(tài)度。第37頁，共57頁，2022年，5月20日，6點39分，星期二3.2.3 效用與風(fēng)險的關(guān)系ux110中立型效用函數(shù)保守型效用函數(shù)冒進型效用函數(shù)第38頁，共57頁，2022年，5月20日，6點39分，星期二3.2.3 效用與風(fēng)險的關(guān)系混合型效用函數(shù)三種基本效用函數(shù)的混合，如：ux110混合型效用函數(shù)表示當(dāng)xx0時，即結(jié)果值不大時，決策者具有一定冒險精神；當(dāng)xx0時，即結(jié)果值較大時，決策者對風(fēng)險轉(zhuǎn)而持謹(jǐn)慎態(tài)度。x0第39頁，共57頁，2022年，5月20日，6點39分，星期二3.3 效用函數(shù)表一、效用函數(shù)表的構(gòu)造實際構(gòu)造效用函數(shù)時，取n=6定出效用曲線上的26（64）個

21、點，效用函數(shù)的精度已經(jīng)足夠。書后附表6給出了n=6對于不同的權(quán)衡指標(biāo)值(0.5)的效用函數(shù)值。0.5時，對應(yīng)的是冒進（下凸）型效用函數(shù)，效用函數(shù)值無法直接查表。第40頁，共57頁，2022年，5月20日，6點39分，星期二3.3 效用函數(shù)表一、效用函數(shù)表的構(gòu)造可以證明： 0.5的效用曲線u(x)與=1的效用曲線u(x)是關(guān)于直線u=x對稱的。因此， 0.5的效用函數(shù)值可以按下面的方法求得： u(x)1 u(1x)具體步驟見教材P62。注：查表時在給定的列若沒有對應(yīng)的x值，則找出與之相鄰的兩個值x1、x2 ，查出對應(yīng)的效用值后用線性內(nèi)插的方法確定u(x)。第41頁，共57頁，2022年，5月20

22、日，6點39分，星期二3.3 效用函數(shù)表二、效用函數(shù)表的使用例3.1某企業(yè)欲投產(chǎn)一種新產(chǎn)品，有三種方案可供選擇。已知市場存在三種狀態(tài)：暢銷、一般、滯銷，三種方案在不同的市場狀態(tài)下所獲利潤額構(gòu)成以下的決策矩陣： 決策者認(rèn)為： o4.5（0.5, 20； 0.5, 5）第42頁，共57頁，2022年，5月20日，6點39分，星期二例3.1試求該企業(yè)決策者的效用矩陣。 解： o* maxoij20，o0 minoij5u(o*)=1，u(o0)= 0將決策矩陣的結(jié)果值歸一化：得歸一化后的決策矩陣為：第43頁，共57頁，2022年，5月20日，6點39分，星期二例3.1試求該企業(yè)決策者的效用矩陣。 由

23、 o4.5（0.5, 20； 0.5, 5）得：查P369附表6， 0.38 所在列，以x220.5為例 ： 0.490621 x220.5 0.503698而u(0.490621)0.65625， u(0.503698)0.671875用線性內(nèi)插法：解得u(x22) 0.6675。第44頁，共57頁，2022年，5月20日，6點39分，星期二例3.1試求該企業(yè)決策者的效用矩陣。 同理得： u(x11) 0.7300， u(x12) 0.6091，u(x13) 0.4306， u(x31) 0.8742u(x32) 0.5596， u(x33) 0.2068且u(x21)u(o*)=1， u(

24、x23)u(o0)=0得決策者的效用矩陣為：第45頁，共57頁，2022年，5月20日，6點39分，星期二例3.2在上例中，若決策者認(rèn)為： o11.25（0.5, 20； 0.5, 5）試求該企業(yè)決策者的效用矩陣。 解： 同上例方法得歸一化后的決策矩陣為：第46頁，共57頁，2022年，5月20日，6點39分，星期二例3.2由 o11.25（0.5, 20； 0.5, 5）得：查P369附表6，1-0.65=0.35 所在列，以x320.44為例， u(x32)1u(1x32) 1 u(0.56) ： 0.53689 0.56 0.5775而u(0.53689)0.734375， u(0.57

25、75)0.75用線性內(nèi)插法解得u(0.56) 0.7433，因此： u(x32)1 u(0.56) 0.2567第47頁，共57頁，2022年，5月20日，6點39分，星期二例3.2同理得： u(x11) 0.3819， u(x12) 0.2598，u(x13) 0.1271， u(x22) 0.2920u(x31) 0.5725， u(x33) 0.0251且u(x21)u(o*)=1， u(x23)u(o0)=0得決策者的效用矩陣為：第48頁，共57頁，2022年，5月20日，6點39分，星期二3.4 效用函數(shù)的曲線擬合前面討論了針對特定的結(jié)果值，如何測定其效用，我們得到的只是一些離散的效

26、用值，要得到連續(xù)的效用函數(shù)，則需要用曲線擬合的方法。常見的擬合曲線形式線性函數(shù)型 u(x)c1a1（xc2）其中c1、a1、c2為待定參數(shù)。前面查表時用內(nèi)插法確定某些效用值，實際上就相當(dāng)于效用函數(shù)為分段線性函數(shù)。第49頁，共57頁，2022年，5月20日，6點39分，星期二3.4 效用函數(shù)的曲線擬合常見的擬合曲線形式指數(shù)函數(shù)型 其中ci、ai（i1，2，3）均為待定參數(shù)。 雙指數(shù)函數(shù)型 指數(shù)加線性函數(shù)型第50頁，共57頁，2022年，5月20日，6點39分，星期二3.4 效用函數(shù)的曲線擬合常見的擬合曲線形式冪函數(shù)型 其中c1、a1、c2 為待定參數(shù)。不論采用哪種形式的函數(shù)，一般都盡可能化為線性函數(shù)通過最小二乘法確定待定參數(shù)。