等差數(shù)列前項和的性質(zhì)

1、等差數(shù)列前項和的性質(zhì)第1頁，共29頁，2022年，5月20日，5點32分，星期二1.等差數(shù)列的遞推公式是什么？ an1an12an（n2） an an1d（n2）【問題提出】2.等差數(shù)列通項公式是什么？結(jié)構(gòu)上它有什么特征？ 在結(jié)構(gòu)上是關(guān)于n的一次函數(shù).ana1(n1)dam(nm)dpnk.第2頁，共29頁，2022年，5月20日，5點32分，星期二3.等差數(shù)列前n項和的兩個基本公式是什么？4.深入研究等差數(shù)列的概念與前n項和公式及通項公式的內(nèi)在聯(lián)系，可發(fā)掘出等差數(shù)列的一系列性質(zhì)，我們將對此作些簡單探究.第3頁，共29頁，2022年，5月20日，5點32分，星期二思考1：若數(shù)列an的前n和 那

2、么數(shù)列an是等差數(shù)列嗎？an是等差數(shù)列 【知識探究】知識探究（一）等差數(shù)列與前n項和的關(guān)系第4頁，共29頁，2022年，5月20日，5點32分，星期二思考2：將等差數(shù)列前n項和公式看作是一個關(guān)于n的函數(shù)，這個函數(shù)有什么特點？當(dāng)d0時，Sn是常數(shù)項為零的二次函數(shù).第5頁，共29頁，2022年，5月20日，5點32分，星期二思考3：一般地，若數(shù)列an的前n和SnAn2Bn，那么數(shù)列an是等差數(shù)列嗎？若SnAn2BnC 呢？（1）數(shù)列an是等差數(shù)列 SnAn2Bn（2）數(shù)列an 的前n項和是SnAn2BnC ，則：若C0，則數(shù)列an是等差數(shù)列；若C0，則數(shù)列an從第2項起是等差數(shù)列。第6頁，共29頁

3、，2022年，5月20日，5點32分，星期二思考4：若an為等差數(shù)列，那么 是什么數(shù)列？數(shù)列an是等差數(shù)列 為等差數(shù)列 即等差數(shù)列an的前n項的平均值組成的數(shù)列仍然是等差數(shù)列，且公差是數(shù)列an的公差的一半。第7頁，共29頁，2022年，5月20日，5點32分，星期二知識探究（二）等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)思考1：在等差數(shù)列an中，每連續(xù)k項的和組成的數(shù)列，即數(shù)列a1a2ak， ak+1ak+2a2k，a2k+1a2k+2a3k， 是等差數(shù)列嗎？性質(zhì)：若數(shù)列an是等差數(shù)列，那么數(shù)列Sk，S2kSk，S3kS2k , 仍然成等差數(shù)列第8頁，共29頁，2022年，5月20日，5點32分，星期二思考3：在

4、等差數(shù)列an中，設(shè)S偶a2a4a2n，S奇a1a3a2n1，則S偶S奇與 等于什么？S偶S奇nd思考2：在等差數(shù)列an中，Sn，S2n，S3n三者之間有什么關(guān)系？S3n3(S2nSn)第9頁，共29頁，2022年，5月20日，5點32分，星期二思考4：設(shè)等差數(shù)列an、bn的前n項和分別為Sn、Tn，則 等于什么？思考5：在等差數(shù)列an中，若a10， d0，則Sn是否存在最值？如何確定其最值？ 當(dāng)ak0，ak10時，Sk為最大.第10頁，共29頁，2022年，5月20日，5點32分，星期二【題型分類 深度剖析】題型1：等差數(shù)列前n項和性質(zhì)的簡單應(yīng)用例1：（1）若一個等差數(shù)列前3項的和為34，最后

5、3項的和為146，且所有項的和為390，則該數(shù)列有( )項。 A.13 B.12 C.11 D.10第11頁，共29頁，2022年，5月20日，5點32分，星期二變式探究1.已知等差數(shù)列an滿足a1+a2+a3+a101=0，則有( ) A.a1+a1010 B.a2+a1000 C.a3+a99=0 D.a51=512.等差數(shù)列an 前n項和Snan2(a1)na2， 則an .3. 等差數(shù)列an中，已知S42，S87，則S12=_；第12頁，共29頁，2022年，5月20日，5點32分，星期二4. 等差數(shù)列an的前m項的和為30，前2m項的和為100，則它的前3m項的和為 () A. 13

6、0 B. 170 C. 210 D. 2605.等差數(shù)列an中，Sn是其前n項和，a12011， ，則S2011的值為() A.0 B.2011 C.2011 D.20112011第13頁，共29頁，2022年，5月20日，5點32分，星期二題型2：等差數(shù)列最值問題例2：等差數(shù)列an中，a1第15頁，共29頁，2022年，5月20日，5點32分，星期二小結(jié)：求等差數(shù)列an前n項和Sn的最值常用方法：方法1：二次函數(shù)性質(zhì)法，即求出Sn=an2+bn， 討論二次函數(shù)的性質(zhì)方法2：討論數(shù)列an 的通項，找出正負(fù)臨界項。（1）若a10，d0，則Sn有大值，且Sn最大時的n滿足an0且an+10;（2）

7、若a10，則Sn有小值，且Sn最小時的n滿足an0且an+10;第16頁，共29頁，2022年，5月20日，5點32分，星期二變式探究1.首項為正數(shù)的等差數(shù)列an，它的前3項和與前11項和相等，則此數(shù)列前_項和最大？2.等差數(shù)列an 前n項和Sn中，以S7最大，且|a7|0的n的最大值為_3.等差數(shù)列an中，已知|a7|=| a16|=9，且a14=5，則使an0時，求n的最大值；第18頁，共29頁，2022年，5月20日，5點32分，星期二題型3：等差數(shù)列中的an與Sn的關(guān)系例3：Sn，Tn分別是等差數(shù)列an、bn的前n項的和，且 ，則 . 第19頁，共29頁，2022年，5月20日，5點3

8、2分，星期二1.已知兩個等差數(shù)列an和bn的前n項和分別為An和Bn，且 ，則使得 為整數(shù)的正整數(shù)n的個數(shù)是() A2 B3 C4 D5變式探究第20頁，共29頁，2022年，5月20日，5點32分，星期二例4：已知數(shù)列an的前n項和Sn12nn2，求數(shù)列|an|的前n項和Tn. 當(dāng)n1時，a1S1121211；當(dāng)n2時，anSnSn112nn212(n1)(n1)2132n.n1時適合上式，an的通項公式為an132n.由an132n0，得n ，即當(dāng)1n6(nN*)時，an0；當(dāng)n7時，an0.解析：題型4：求等差數(shù)列的前n項的絕對值之和 第21頁，共29頁，2022年，5月20日，5點32

9、分，星期二(1)當(dāng)1n6(nN*)時，Tn|a1|a2|an|a1a2an12nn2.(2)當(dāng)n7(nN*)時，Tn|a1|a2|an|(a1a2a6)(a7a8an)(a1a2an)2(a1a6)Sn2S6n212n72.第22頁，共29頁，2022年，5月20日，5點32分，星期二變式探究1數(shù)列an中，a18，a42，且滿足an22an1an0，nN*.(1)求數(shù)列an的通項；(2)設(shè)Sn|a1|a2|an|，求Sn. (1)由an22an1an0得，2an1anan2，所以數(shù)列an是等差數(shù)列，d 2，an2n10，nN*.解析：第23頁，共29頁，2022年，5月20日，5點32分，星期二當(dāng)n6，nN*時，第24頁，共29頁，2022年，5月20日，5點32分，星期二題型5：等差數(shù)列的綜合應(yīng)用第25頁，共29頁，2022年，5月20日，5點32分，星期二22得4anan2an122an2an1，即(anan1)(anan12)0.an0，anan10， anan12，數(shù)列an是首項為1，