高一數(shù)學(xué)函數(shù)應(yīng)用題專(zhuān)題課件

1、應(yīng)用題專(zhuān)題應(yīng)用題專(zhuān)題 數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題，就是指用數(shù)學(xué)的方法將一個(gè)表面上非數(shù)學(xué)問(wèn)題或非完全的數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成完全形式化的數(shù)學(xué)問(wèn)題。 求解數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題的思路和方法，我們可以用示意圖表示為：實(shí)際問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型 分析、聯(lián)想抽象、轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)結(jié)果實(shí)際結(jié)果反演答數(shù)學(xué)方法 數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題，就是指用數(shù)學(xué)的方法將一個(gè)表面 就是采用數(shù)學(xué)的方法，解決數(shù)學(xué)模型所表達(dá)的數(shù)學(xué)問(wèn)題。這一步可以稱(chēng)之為數(shù)學(xué)解決。就是將數(shù)學(xué)結(jié)論轉(zhuǎn)譯成實(shí)際問(wèn)題的結(jié)論。這一步可以稱(chēng)之為實(shí)際化。就是對(duì)實(shí)際問(wèn)題的結(jié)論作出回答。 應(yīng)以審題(即明確題意)開(kāi)始，通過(guò)分析和抽象找出題設(shè)與結(jié)論的數(shù)學(xué)關(guān)系，建立合理的數(shù)學(xué)模型。這一步可以稱(chēng)之為數(shù)學(xué)化。實(shí)際問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型 分

2、析、聯(lián)想抽象、轉(zhuǎn)化第步：實(shí)際結(jié)果數(shù)學(xué)結(jié)果第步：反演實(shí)際結(jié)果實(shí)際問(wèn)題第步：答第步：數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)結(jié)果數(shù)學(xué)方法 就是采用數(shù)學(xué)的方法，解決數(shù)學(xué)模型所表達(dá)這一步可 1. 某摩托車(chē)生產(chǎn)企業(yè)，上年度生產(chǎn)摩托車(chē)的投入成本為1萬(wàn)元/輛，出廠價(jià)為1.2萬(wàn)元/輛，年銷(xiāo)售量為1000輛本年度為適應(yīng)市場(chǎng)需求，計(jì)劃提高產(chǎn)品檔次，適度增加投入成本若每輛車(chē)投入成本增加的比例為x (0 x1) ，則出廠價(jià)相應(yīng)提高的比例為0.75x，同時(shí)預(yù)計(jì)年銷(xiāo)售量增加的比例為0.6x已知年利潤(rùn)=（出廠價(jià)投入成本）年銷(xiāo)售量（）寫(xiě)出本年度預(yù)計(jì)的年利潤(rùn)y與投入成本增 加的比例x 的關(guān)系式；（）為使本年度的年利潤(rùn)比上年有所增加，問(wèn)投入成本增加的比例x

3、應(yīng)在什么范圍內(nèi)？解：（）由題意得， 1. 某摩托車(chē)生產(chǎn)企業(yè)，上年度生產(chǎn)摩托車(chē)的投入解：（）整理得 ：（）要保證本年度的利潤(rùn)比上年度有所增加，必須即 解不等式得 答：為保證本年度的年利潤(rùn)比上年度有所增加，投入成本增加的比例應(yīng)滿足 0 x0.33 整理得 ：（）要保證本年度的利潤(rùn)比上年度有所增加，必須即 2. 某地區(qū)上年度電價(jià)為0.8元/kWh，年用電量為a kWh.本年度計(jì)劃將電價(jià)降到0.55元/ kWh至0.75元/ kWh之間， 而用戶(hù)期望電價(jià)為0.4元/ kWh.經(jīng)測(cè)算，下調(diào)電價(jià)后新增的用電量與實(shí)際電價(jià)和用戶(hù)期望電價(jià)的差成反比（比例系數(shù)為k）。該地區(qū)電力的成本價(jià)為0.3元/ kWh。 ()

4、寫(xiě)出本年度電價(jià)下調(diào)后，電力部門(mén)的收益y與實(shí)際電價(jià)x的函數(shù)關(guān)系式；()設(shè)k=0.2a,當(dāng)電價(jià)最低定為多少時(shí)仍可保證電力部門(mén)的收益比上年至少增 長(zhǎng)20%?（注：收益=實(shí)際用電量(實(shí)際電價(jià)成本價(jià))）解：() 設(shè)下調(diào)電價(jià)為 x 元k wh ,則新的用電量為 +a .kX 0.4 2. 某地區(qū)上年度電價(jià)為0.8元/kWh，年用電量解 y=( a)(x0.3) ( 0.55 x 0.75 )kx0.4() 由題意知( a)(x0.3) a( 0.80.3 )(120 ) kx0.4即 x 1.1x0.3 0 x0.5 或 x0.6又 0.55 x 0.75 0.6x0.75當(dāng)電價(jià)最低定為 0.6元kwh

5、時(shí)，仍可保證電力部門(mén)的收益比上年至少增長(zhǎng) 20 . y=( a)(x0.3) ( 0 3. 某蔬菜基地種植西紅柿，由歷年市場(chǎng)行情得知，從二月一日起的300天內(nèi)，西紅柿場(chǎng)售價(jià)與上市時(shí)間的關(guān)系用圖一的一條折線表示；西紅柿的種植成本與上市時(shí)間的關(guān)系用圖二的拋物線段表示。（）寫(xiě)出圖一表示的市場(chǎng)售價(jià)與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式 ;寫(xiě)出圖二表示的種植成本與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式 ；（）認(rèn)定市場(chǎng)售價(jià)減去種植成本為純收益，問(wèn)何時(shí)上市的西紅柿純收益最大？（注：市場(chǎng)售價(jià)各種植成本的單位：元/102，時(shí)間單位：天）y=atb則b=300100=200aba=1100=200ab a=2300=300ab b=300y=a(x150

6、)2100 a1200 3. 某蔬菜基地種植西紅柿，由歷年市場(chǎng)行情得知，y=a解：（）由圖一可得市場(chǎng)售價(jià)與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為由圖二可得種植成本與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為（）設(shè)時(shí)刻的純收益為h(t) , 則由題意得h(t)=f(t) g(t)即 h(t)=當(dāng) 0t200 時(shí)，配方整理得h(t)=解：（）由圖一可得市場(chǎng)售價(jià)與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為由圖二可得種植當(dāng)t=50時(shí)，h(t) 取得區(qū)間0，200上的最大值100； 當(dāng)200t300 時(shí)，配方整理得h(t)=當(dāng) t=300時(shí), 取得區(qū)間（200，300上的最大值87.5 綜上，由10087.5 可知，在區(qū)間0，300上可以取得最大值100，此時(shí) t=50 ，

7、即從二月一日開(kāi)始的第50天時(shí)，上市的西紅柿純收益最大。 當(dāng)t=50時(shí)，h(t) 取得區(qū)間0，200上的最大值1 4、我國(guó)是水資源比較貧乏的國(guó)家之一，各地采用價(jià)格調(diào)控手段來(lái)達(dá)到節(jié)約用水的目的，某市用水收收費(fèi)的方法是： 水費(fèi)=基本費(fèi)+損耗費(fèi)+超額費(fèi)若每月用水量不超過(guò)最低限量am3時(shí)，只付基本費(fèi)8元和每戶(hù)每月的定額損耗費(fèi)c元；若用水量超過(guò)am3時(shí)，除了付同上的基本費(fèi)和損耗費(fèi)外，超過(guò)部分每m3付b元的超額費(fèi)，已知每戶(hù)每月的定額損耗費(fèi)不超過(guò)5元。該市一家庭今年第一季度的用水量和支付費(fèi)用如下表所示：月 份用水量（m3）水費(fèi)（元）（1）根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，求a、b、c；（2）若用戶(hù)四月份用水量為30立方米，應(yīng)

8、交水費(fèi)多少元？月 份123用水量（m3）91522水費(fèi)（元）91933 4、我國(guó)是水資源比較貧乏的國(guó)家之一，各地采用價(jià)格調(diào)控手段解：設(shè)每月用水量為xm3，支付費(fèi)用為y元，則：0 xa （xa） y=由題意知0C5 8+C13答：a、b、c的值依次為10，2，1；四月份應(yīng)交水費(fèi)49元。（2）四月份應(yīng)交水費(fèi)為: 8+1+2(30-10)=49 (元)故a=10，b=2，c=1一月份的付款方式應(yīng)選式，由8+c=9得c=1不妨設(shè)9a，將x=9代入得 9=8+c+2（9a）2a=c+17 與矛盾 9a再分析一月份的用水量是否超過(guò)最低限量2a=c+19 由表知第二、三月份的費(fèi)用均大于13元，故用水量15m

9、3，22m3均大于最低限量am3，將x=15，x=22分別代入，得解：設(shè)每月用水量為xm3，支付費(fèi)用為y元，則：0 xa 5. 某工廠擬建一座平面圖為矩形且面積為200平方米的三級(jí)污水處理池（平面圖如下圖），由于地形限制，長(zhǎng)、寬都不能超過(guò)16米。如果池四周?chē)诮ㄔ靻蝺r(jià)為每米長(zhǎng)400元，中間兩道隔墻建造單價(jià)為每米長(zhǎng)248元，池底建造單價(jià)為每平方米80元，池壁的厚度忽略不計(jì)。試設(shè)計(jì)污水池的長(zhǎng)和寬，使總造價(jià)最低，并求出最低造價(jià)。解：設(shè)污水池長(zhǎng)為 x ，則寬為依題意：0 x160 16解之得：12.5x16y400(x ) 22248 80200總造價(jià)y為800(x ) 16000 5. 某工廠擬建一

10、座平面圖為矩形且面積為200平方米的令ux 設(shè)令ux 設(shè)答：當(dāng)污水長(zhǎng)為16米，寬為12.5米時(shí)； 總造價(jià)最低為45000元.u16 時(shí)ux 在區(qū)間12.5 , 16上是減函數(shù)答：當(dāng)污水長(zhǎng)為16米，寬為12.5米時(shí)； u16 時(shí)u 6. 一輛新汽車(chē)使用一段時(shí)間后，就值不到原來(lái)的價(jià)錢(qián)了。假若一輛新車(chē)價(jià)值18萬(wàn)元，按下列方式貶值：每年的車(chē)價(jià)是原來(lái)的 。問(wèn)：購(gòu)買(mǎi)18個(gè)月后，此車(chē)貶值多少？從購(gòu)買(mǎi)日起t個(gè)月后呢？（貶值量Q原價(jià)P汽車(chē)現(xiàn)在價(jià)值W）解：先建立汽車(chē)的現(xiàn)價(jià)W與使用時(shí)間t（t以月為單位） 的函數(shù)關(guān)系Wf（t）。當(dāng)t0時(shí)，即剛買(mǎi)來(lái)，顯然f（0）180000；當(dāng)t12時(shí)，即買(mǎi)了一年，f（12）18000

11、0 120000；當(dāng)買(mǎi)了兩年后，f（24）180000 80000；一般地，f（12n）180000 。設(shè)t12n，則f（t）180000 。 6. 一輛新汽車(chē)使用一段時(shí)間后，就值不到原來(lái)的價(jià)錢(qián)了。18個(gè)月后，W180000 98000，Q1800009800082000，即貶值了82000元。從購(gòu)買(mǎi)日起t個(gè)月后，Q180000 。18個(gè)月后，W180000 7.某工廠生產(chǎn)一種機(jī)器的固定成本為5000元，且每生產(chǎn)100部需要增加投入2500元，對(duì)銷(xiāo)售市場(chǎng)進(jìn)行調(diào)查后得知，市場(chǎng)對(duì)此產(chǎn)品的需求量為每年500部，已知銷(xiāo)售收入的函數(shù)為 H（x）=500 x x2 其中x是產(chǎn)品售出的數(shù)量，且0 x500

12、（1）若x為年產(chǎn)量，y表示利潤(rùn)，求y=f(x)的解析式； （2）當(dāng)年產(chǎn)量為何值時(shí)，工廠的年利潤(rùn)最大，其最大值是多少？ （3）當(dāng)年產(chǎn)量為何值時(shí)，工廠有盈利（已知： =4.65） 解：（1）當(dāng)0 x500時(shí)，產(chǎn)品全部售出；當(dāng)x500時(shí)，產(chǎn)品只能銷(xiāo)售500部，故利潤(rùn)函數(shù)為：125000(5000+25x) (x 500)f(x)=500 x x2(5000+25x) (0 x500) 7.某工廠生產(chǎn)一種機(jī)器的固定成本為5000元，且每生產(chǎn)（2）當(dāng)0 x500時(shí)， f(x)= 0. 5(x475)2+107812.5;當(dāng)x500時(shí)， f(x)=12000025x12000012500，即 f(x)0或

13、x50012000025x0解得10 x500 或500 x4800， 10 x4800.故當(dāng)年產(chǎn)量在10部到4800部時(shí), 工廠盈利.（2）當(dāng)0 x500時(shí)，當(dāng)x500時(shí)，即 f(x)解：（1）若按原來(lái)投資環(huán)境不變，則由知當(dāng)x=40時(shí)， =10.即每年只需從60萬(wàn)元專(zhuān)款中拿出40萬(wàn)元投資，可獲最大利潤(rùn)10萬(wàn)元，這10年的總利潤(rùn)的最大值為 8. 某地區(qū)地理位置偏僻，嚴(yán)重制約經(jīng)濟(jì)發(fā)展，某種土特產(chǎn)品只能在本地銷(xiāo)售，該地區(qū)政府每投資x萬(wàn)元，所獲利潤(rùn)為 萬(wàn)元。為順應(yīng)開(kāi)發(fā)大西北的宏偉決策，擬開(kāi)發(fā)此種土特產(chǎn)品，而開(kāi)發(fā)前后用于該項(xiàng)目投資的專(zhuān)項(xiàng)財(cái)政撥款每年都是60萬(wàn)元。若開(kāi)發(fā)該產(chǎn)品，必須在前5年中，每年從60

14、萬(wàn)元專(zhuān)款中拿出30萬(wàn)元投資修通一條公路，且5年可以修通。公路修通后該土特產(chǎn)品在異地銷(xiāo)售，每投資x萬(wàn)元，可獲利潤(rùn)問(wèn)從十年的總利潤(rùn)來(lái)看，該項(xiàng)目有無(wú)開(kāi)發(fā)價(jià)值？萬(wàn)元。解：（1）若按原來(lái)投資環(huán)境不變，則由知當(dāng)x=40時(shí)， （ 2）若對(duì)該產(chǎn)品開(kāi)發(fā)前5年每年可用于對(duì)該產(chǎn)品的投資只有30萬(wàn)元，而函數(shù) 在( 0, 30 上遞增， 所以當(dāng)x=30時(shí)， = 。前5年的總利潤(rùn)為 （萬(wàn)元）。設(shè)在后5年中，x萬(wàn)元用于本地銷(xiāo)售投資，60-x萬(wàn)元用于異地銷(xiāo)售投資，則總利潤(rùn)為當(dāng)x=30時(shí)，W2有最大值4500。十年的總利潤(rùn)有最大值： + 4500（萬(wàn)元）。而 + 4500100，故該項(xiàng)目具有極大的開(kāi)發(fā)價(jià)值。W=1010=100

15、（萬(wàn)元）。（ 2）若對(duì)該產(chǎn)品開(kāi)發(fā)而函數(shù) 9. 某商品在近30天內(nèi)每件的銷(xiāo)售價(jià)格P(元)與時(shí)間t(天)的函數(shù)關(guān)系是: t+20 (0t25 , tN) P= t+100 (25t30 , tN)該商品的日銷(xiāo)售量Q(件)與時(shí)間t(天)的函數(shù)關(guān)系是: Q= t+40 (0t30, tN), 求這種商品的日銷(xiāo)售金額的最大值.解: 設(shè)日銷(xiāo)售金額為y元, 則y=PQ，y=(t+20) (t+40) (0t0)，銷(xiāo)售數(shù)量就減少kx%（其中k為正常數(shù)）。目前，該商品定價(jià)為a元，統(tǒng)計(jì)其銷(xiāo)售數(shù)量為b個(gè)。（1）當(dāng) 時(shí)，該商品的價(jià)格上漲多少，就能使銷(xiāo)售總金額達(dá)到最大？（2） 在適當(dāng)?shù)臐q價(jià)過(guò)程中，求使銷(xiāo)售總金額不斷增加時(shí)k的取值范圍。解：依題意，價(jià)格上漲x%后，銷(xiāo)售總金額為： 10. 市場(chǎng)營(yíng)銷(xiāo)人員對(duì)過(guò)去幾年某商品的價(jià)格及銷(xiāo)售數(shù)量的關(guān)系（1）取x = 50 即商品價(jià)格上漲50%時(shí)，y最大為 （2）因?yàn)?此二次函數(shù)開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為： 在適當(dāng)漲價(jià)過(guò)程中，銷(xiāo)售總金額不斷增加，即要求此函數(shù)當(dāng)自變量x