數(shù)學建模五步法與靈敏度分析

1、簡介：研究與剖析一個系統(tǒng)（或模型）的狀態(tài)或輸出變化對系統(tǒng)參數(shù)或四周條件變化的敏感程度的方法。在最優(yōu)化方法中常常利用敏捷度剖析來研究原始數(shù)據(jù)不正確或發(fā)生變化時最優(yōu)解的穩(wěn)固性。經(jīng)過敏捷度剖析還能夠決定哪些參數(shù)對系統(tǒng)或模型有較大的影響。所以，敏捷度剖析幾乎在所有的運籌學方法中以及在對各樣方案進行評論時都是很重要的。用途：主要用于模型查驗和推行。簡單來說就是改變模型原有的假定條件以后，所獲取的結(jié)果會發(fā)生多大的變化。舉例（建模五步法）：一頭豬重200磅，每日增重5磅，飼養(yǎng)每日需花銷45美分。豬的市場價錢為每磅65美分，但每日降落1美分，求銷售豬的最正確時間。成立數(shù)學模型的五個步驟：提出問題選擇建模方法推

2、到模型的數(shù)學表達式求解模型回答下列問題第一步：提出問題將問題用數(shù)學語言表達。例子中包含以下變量：豬的重量w（磅），從此刻到銷售豬時期經(jīng)歷的時間t（天），t天內(nèi)飼養(yǎng)豬的花銷C（美元），豬的市場價格p（美元/磅），銷售生豬所獲取的利潤R（美元），我們最后要獲取的凈利潤P（美元）。還有一些其余量，如豬的初始重量200磅。（建議先寫不言而喻的部分）豬從200磅按每日5磅增添（w磅）=（200磅）+（5磅/天）*（t天）飼養(yǎng)每日花銷45美分（C美元）=（美元/天）*（t天）價錢65美分按每日1美分降落（p美元/磅）=（美元/磅）-（美元/磅）*（t天）生豬利潤（R美元）=（p美元/磅）*（w磅）凈利潤（

3、P美元）=（R美元）-（C美元）用數(shù)學語言總結(jié)和表達以下：參數(shù)設(shè)定：t=時間（天）w=豬的重量（磅）p=豬的價錢（美元/磅）C=飼養(yǎng)t天的花銷（美元）R=銷售豬的利潤（美元）P=凈利潤（美元）假定：w=200+5tC=p=目標：求P的最大值第二步：選擇建模方法本例采納單變量最優(yōu)化問題或極大極小化問題第三步：推導模型的數(shù)學表達式子P=R-C（1）R=p*w（2）C=（3）獲取R=p*p=（4）w=200+5t（5）獲取P=（令y=P是需最大化的目標變量，x=t是自變量，此刻我們將問題轉(zhuǎn)變?yōu)闀蟂=x:x=0上求函數(shù)的最大值：y=f（x）=（1-1）第四步：求解模型用第二步中確立的數(shù)學方法解出步驟

4、三。例子中，要求（1-1）式中定義的y=f（x）在區(qū)間x=0上求最大值。下列圖給出了（1-1）的圖像和導數(shù)（應用幾何畫板繪制）。在x=8為全局極大值點，此時f（8）=。所以（8，）為f在整個實軸上的全局極大值點，同時也是區(qū)間x=0上的最大值點。第五步：回答下列問題依據(jù)第四步，8天后銷售生豬的凈利潤最大，能夠獲取凈利潤美元。只需第一步中的假定成立，這一結(jié)果正確。數(shù)學建模五步方法總結(jié)：第一步：提出問題1）列出問題中波及的變量，包含適合的單位；2）注意不要混雜變量和常量；3）列出你對變量所做的所有假定，包含等式和不等式；4）檢查單位進而保證你的假定存心義；5）用正確的數(shù)學術(shù)語給出問題的目標。第二步：

5、選擇建模方法1）選擇解決問題的一個一般的求解方法；2）一般地，這一步的成功需要經(jīng)驗，技巧和熟習有關(guān)文件。第三步：推導模型的數(shù)學表達式1）將第一步中獲取的問題從頭表完成第二步選定的建模方法所需要的形式；2）將第一步中的一些變量名改成與第二步所用的記號一致；3）記下任何增補假定，這些假定是為了使第一步中描繪的問題與第二步中選定的數(shù)學構(gòu)造相適應而做出的。第四步：求解模型1）將第二步中所采納的一般求解過程應用于第三步獲取表達式的特定問題；2）注意你的數(shù)學推導，檢查能否有錯誤，你的答案能否存心義；3）采納適合的技術(shù)，計算機代數(shù)系統(tǒng)，圖形工具，數(shù)值計算的軟件等，都能擴大你能解決問題的范圍，并能減少計算錯誤

6、。第五步：回答下列問題1）用非技術(shù)性的語言將第四步的結(jié)果從頭表述；2）防止數(shù)學符號和術(shù)語；3）能理解出處提出的問題的人就應當能理解你給出的答案。敏捷度剖析數(shù)據(jù)是由丈量，察看有時甚至完整猜想獲取的，所以，我們要考慮數(shù)據(jù)不正確的可能性。上例中，生豬此刻的重量，此刻的價錢，每日飼養(yǎng)花銷都很簡單丈量，并且有相當大確實定性?？墒秦i的生長率則不那么確立，而價錢的降落率則確立性更低，記r為價錢的降落率，此刻假定r的實質(zhì)值不一樣，對幾個不一樣的r值重復前面的求解過程，我們會對問題的解對于r的敏感程度有所認識。下表給出了幾個不一樣r值求出的計算結(jié)果。依據(jù)表格繪制圖形，我們能夠看到售豬的最優(yōu)時間對參數(shù)r很敏感。r

7、（美元/天）x（天）對敏捷度的更系統(tǒng)的剖析是將r視為未知參數(shù)，按前面的步驟求解，寫出p=。獲取y=f（x）=（）（200+5x）。使得導數(shù)為0，獲取x=（7-500r）/25r，當x=0時，只需0r=0時，獲取g=。我們將敏捷度數(shù)據(jù)用相對改變量表示，比如：r降落10%以致了x增添了39%，而g降落了10%以致了x降落了34%。假如x的改變量x，則x/x表示相對改變量。假如r改變了r，以致了x有x的改變量，則相對改變量的比值為（x/x）/（r/r），令r0，我們有（x/x）/（r/r）（dx/dr）*（r/x）。我們稱這個極限值為x對r的敏捷度，即為S（x，r）。在售豬問題中，r=和x=8獲取d

8、x/dr=-7/25r2=-2800，所以S（x，r）=(dx/dr)*(r/x)=-2800*8)=-7/2，即若r增添2%，則x降落7%。因為dx/dg=245/2g2=,我們有S（x，g）=(dx/dg)*(g/x)=*（5/8）=。于是豬的生長率增添1%，會以致大概等候3%的時間再將豬售出。敏捷度剖析的成功應用要有較好的判斷力，往常即不行能對模型中的每個參數(shù)都計算敏捷度剖析，也沒有特其余要求。我們需要選擇那些有較大不確立性的參數(shù)進行敏捷度剖析。對敏捷度系數(shù)的解說還要依靠與參數(shù)的不確立程度，主要問題是數(shù)據(jù)的不確立程度影響答案的置信度。在這個問題中，我們往常以為豬的生長率g比價錢降落率r更

9、靠譜。假如我們察看了豬或許其余近似動物在過去的生長狀況，則g有25%的偏差會是很不平常的，但對r的預計有25%的偏差則不以為奇。數(shù)學模型的穩(wěn)重性一個數(shù)學模型稱為穩(wěn)重的，是指即便這個模型不完整精準，由其導出的結(jié)果也是正確的。在實質(zhì)問題中，我們不會有絕瞄正確的信息，即便能夠成立一個完滿的精準模型，我們也可能采納較為簡單和易于辦理的方法。出于數(shù)學辦理的方便和簡化的目的，常常要做一些假定，建模者有責任要觀察這些假定能否太特別，以致使模型的結(jié)果無效。上例中我們主假如假定豬的重量和每磅的價錢都是時間線性函數(shù)。假定一年后，豬的重量為200+5*365=2025磅，賣出利潤為美元/磅。一個更加實質(zhì)的模型應當考慮到這些函數(shù)的非線性性，又考慮到跟著時間的推移不確立性的增添。觀察售豬問題中的線性假定?；痉匠虨镻=。假如模型初始數(shù)據(jù)和假定沒有與實質(zhì)相差太遠，則售豬的最正確時間應當有令P求導為0獲取。計算后有pw+pw=，獲取只需豬價比飼養(yǎng)的花費增添快，就應臨時不賣出。此中，pw為價錢降落帶來的損失，pw為豬增重而增添的價值?？紤]更一般的模型的狀況，豬的將來增添和價錢的將來變化其實不確立。假定