【6年級(jí)奧數(shù)課本(上)】第16講 數(shù)論綜合提高二

1、 4/4【6年級(jí)奧數(shù)課本(上)】第16講 數(shù)論綜合提高二 小學(xué)奧數(shù)創(chuàng)新體系6年級(jí) （上冊(cè)授課課本） 最 新 講 義 小學(xué)奧數(shù) 第十六講 數(shù)論綜合提高二 本講知識(shí)點(diǎn)匯總： 一、約數(shù)、倍數(shù) 1 基本概念 （1） 如果a 能被b 整除（也就是），則b 是a 的約數(shù)（因數(shù)），a 是b 的倍數(shù)； （2） 約數(shù)具有“配對(duì)”性質(zhì)：大約數(shù)對(duì)應(yīng)小約數(shù) 2 約數(shù)個(gè)數(shù) （1） 分解質(zhì)因數(shù)，指數(shù)加1再相乘； （2） 平方數(shù)有奇數(shù)個(gè)約數(shù)，非平方數(shù)有偶數(shù)個(gè)約數(shù) 3 約數(shù)和公式 （1） 如果一個(gè)數(shù)的質(zhì)因數(shù)分解式為，則約數(shù)和為； （2） 如果一個(gè)數(shù)的質(zhì)因數(shù)分解式為，則約數(shù)和為； 二、公約數(shù)、公倍數(shù) 1 基本概念 （1） 如果

2、a 是若干個(gè)數(shù)公有的約數(shù)，則稱a 是它們的公約數(shù)，其中最大的叫做最大公約數(shù)； （2） 如果b 是若干個(gè)數(shù)公有的倍數(shù)，則稱b 是它們的公倍數(shù)，其中最小的叫做最小公倍數(shù)； （3） 公約數(shù)是最大公約數(shù)的約數(shù)，公倍數(shù)是最小公倍數(shù)的倍數(shù) 2 計(jì)算方法 （1） 短除法； （2） 分解質(zhì)因數(shù)法； （3） 輾轉(zhuǎn)相除法（只用于計(jì)算兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)） 3 基本性質(zhì) （1） ； （2） 兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)是它們和或差的約數(shù)； （3） 已知兩個(gè)未知數(shù)的最大公約數(shù)，可利用最大公約數(shù)把這兩個(gè)數(shù)表示出來(lái)： 例如，甲、乙的最大公約數(shù)是5，則可以把甲乙分別設(shè)為5a 和5b ，其中a 、b 互質(zhì)，此時(shí)甲乙的最小公倍數(shù)是5ab

3、4 兩個(gè)最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)的最大公約數(shù)、最小公倍數(shù)： (),a b a b a b ?=? ()()()2111a b c c +?+?+ 2a b c ? ()()22311a a b b b +?+ 23a b ? |b a ； 一、 約數(shù)、倍數(shù) 1 約數(shù)的配對(duì)思想； 2 約數(shù)個(gè)數(shù)與完全平方數(shù)的關(guān)系； 3 求約數(shù)個(gè)數(shù)； 4 求約數(shù)的和； 5 利用約數(shù)個(gè)數(shù)反推原數(shù)的質(zhì)因數(shù)分解形式 二、 公約數(shù)、公倍數(shù) 1 基本計(jì)算； 2 帶有應(yīng)用題背景的公約數(shù)公倍數(shù)計(jì)算； 3 有關(guān)最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的反求問(wèn)題； 4 最大公約數(shù)、最小公倍數(shù)的質(zhì)因數(shù)的分配 例1 慶祝高思學(xué)校4周歲的生日，預(yù)計(jì)在12月5日高思成立日的

4、當(dāng)天舉行大型的慶?；?動(dòng)，由編號(hào)1100的100名高思小明星們組成的方陣，開(kāi)始都面朝東方站立，第一次所有編號(hào)是1的倍數(shù)的向左轉(zhuǎn)，第二次所有編號(hào)是2的倍數(shù)的小朋友再向左轉(zhuǎn)，第三次編號(hào)是3的倍數(shù)的小朋友再向左轉(zhuǎn)，最后一次所有編號(hào)是100的倍數(shù)的小朋友再向左轉(zhuǎn)，最后所有小朋友中有多少名小朋友面朝南方？ 分析首先分析出轉(zhuǎn)幾次的人會(huì)面朝南方，這些次數(shù)排成一列，找出這組數(shù)列的規(guī)律 練習(xí)1、有2012盞燈，分別對(duì)應(yīng)編號(hào)為1至2012的2012個(gè)開(kāi)關(guān)現(xiàn)在有編號(hào)為1至2012的2012個(gè)人來(lái)按動(dòng)這些開(kāi)關(guān)已知第1個(gè)人按的開(kāi)關(guān)的編號(hào)是1的倍數(shù)，第2個(gè)人按的開(kāi)關(guān)的編號(hào)是2的倍數(shù)，第3個(gè)人按的開(kāi)關(guān)的編號(hào)是3的倍數(shù)，依次

5、做下去，第2012個(gè)人按的開(kāi)關(guān)的編號(hào)是2012的倍數(shù)如果最開(kāi)始的時(shí)候，燈全是亮著的，那么這2012個(gè)人按完后，還有多少盞燈是亮著的？ 經(jīng)典題型 ()a c a c b d b d ?=?, ()a c a c b d b d ?= ?, 例2一個(gè)數(shù)有15個(gè)約數(shù)，這個(gè)數(shù)最小是多少？第二小是多少？ 分析根據(jù)約數(shù)個(gè)數(shù)公式分析出含有15個(gè)約數(shù)的數(shù)的分解質(zhì)因數(shù)形式 練習(xí)2、有10個(gè)約數(shù)的自然數(shù)最小是多少？有8個(gè)約數(shù)的最小的奇數(shù)是多少？ 例3在35的倍數(shù)中，恰有35個(gè)約數(shù)的最小數(shù)是多少？（請(qǐng)寫(xiě)出質(zhì)因數(shù)分解式）分析所求數(shù)一定含有35的質(zhì)因數(shù)，再結(jié)合含有35個(gè)約數(shù)的數(shù)的分解質(zhì)因數(shù)形式即可找到解題的突破口 練習(xí)

6、3、42的倍數(shù)中，恰好有42個(gè)約數(shù)的數(shù)有多少個(gè)？ 例4三個(gè)自然數(shù)乘積為86400，且這三個(gè)數(shù)的約數(shù)個(gè)數(shù)分別為8、9、10個(gè)那么這三個(gè)自然數(shù)分別是多少？ 分析把含有8、9、10個(gè)約數(shù)的數(shù)的分解質(zhì)因數(shù)形式及86400中個(gè)質(zhì)因數(shù)的個(gè)數(shù)結(jié)合在一起進(jìn)行分析 練習(xí)4、三個(gè)自然數(shù)乘積為5184，且這三個(gè)數(shù)的約數(shù)個(gè)數(shù)分別為A個(gè)、A+1個(gè)、A+2個(gè)那么這三個(gè)自然數(shù)分別是多少？ 例5兩個(gè)整數(shù)的差為7，他們的最小公倍數(shù)和最大公約數(shù)的差是689，則這兩個(gè)數(shù)分別是多少？ 分析列不定方程求解 例6大雪后的一天，亮亮和爸爸從同一點(diǎn)出發(fā)沿同一方向分別步測(cè)一個(gè)圓形花圃的周長(zhǎng)，亮亮每步長(zhǎng)54厘米，爸爸每步長(zhǎng)72厘米，由于兩個(gè)人的

7、腳印有重合，所以雪地上只留下60個(gè)腳印問(wèn)：這個(gè)花圃的周長(zhǎng)是多少米？ 分析這是一道公約數(shù)、公倍數(shù)的問(wèn)題，首先回憶一下公約數(shù)、公倍數(shù)的求法，再思考一下題中各數(shù)據(jù)之間的關(guān)系 親和數(shù)（Amicable Pair） 親和數(shù)是一種古老的數(shù) 遙遠(yuǎn)的古代，人們發(fā)現(xiàn)某些自然數(shù)之間有特殊的關(guān)系：如果兩個(gè)數(shù)a和b，a的所有真因數(shù)之和等于b，b的所有真因數(shù)之和等于a，則稱a，b是一對(duì)親和數(shù)相傳，畢達(dá)哥拉斯的一個(gè)門(mén)徒向他提出這樣一個(gè)問(wèn)題：“我結(jié)交朋友時(shí)，存在著數(shù)的作用嗎？”畢達(dá)哥拉斯毫不猶豫地回答：“朋友是你的靈魂的倩影，要象220和284一樣親密什么叫朋友？就象這兩個(gè)數(shù)，一個(gè)是你，另一個(gè)是我”后來(lái)，畢氏學(xué)派宣傳說(shuō)：人

8、之間講友誼，數(shù)之間也有“相親相愛(ài)”從此，把220和284叫做“親和數(shù)”（也叫“朋友數(shù)”或叫“相親數(shù)”）這就是“親和數(shù)”這個(gè)名稱的來(lái)源畢達(dá)哥拉斯首先發(fā)現(xiàn)220與284就是一對(duì)親和數(shù)，在以后的1500年間，世界上有很多數(shù)學(xué)家致力于探尋親和數(shù)，面對(duì)茫茫數(shù)海，無(wú)疑是大海撈針，雖經(jīng)一代又一代人的窮思苦想，有些人甚至為此耗盡畢生心血，卻始終沒(méi)有收獲公元九世紀(jì)，伊拉克哲學(xué)、醫(yī)學(xué)、天文學(xué)和物理學(xué)家泰比特依本庫(kù)拉曾提出過(guò)一個(gè)求親和數(shù)的法則，因?yàn)樗墓奖容^繁雜，難以實(shí)際操作，再加上難以辨別真假，故它并沒(méi)有給人們帶來(lái)驚喜，或者走出困境數(shù)學(xué)家們?nèi)匀粵](méi)有找到第二對(duì)親和數(shù) 距離第一對(duì)親和數(shù)誕生2500多年以后，歷史的車

9、輪轉(zhuǎn)到十七世紀(jì)，1636年，法國(guó)“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”費(fèi)馬終于找到了第二對(duì)親和數(shù)17296和18416，這個(gè)發(fā)現(xiàn)也重新點(diǎn)燃尋找親和數(shù)的火炬兩年之后，“解析幾何之父”法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡爾于1638年3月31日宣布找到了第三對(duì)親和數(shù)9437506和9363584費(fèi)馬和笛卡爾在兩年的時(shí)間里，打破了二千五百年的沉寂，激起了數(shù)學(xué)界重新尋找親和數(shù)的波濤 在十七世紀(jì)以后的歲月，許多數(shù)學(xué)家投身到尋找新的親和數(shù)的行列，他們企圖用靈感與枯燥的計(jì)算發(fā)現(xiàn)新大陸可是，無(wú)情的事實(shí)使他們省悟到，已經(jīng)陷入了一座數(shù)學(xué)迷宮，不可能出現(xiàn)法國(guó)人的輝煌了 正當(dāng)數(shù)學(xué)家們真的感到絕望的時(shí)候，平地又起了一聲驚雷1747年，年僅39歲的瑞士數(shù)學(xué)家歐拉

10、竟向全世界宣布：他找到了30對(duì)親和數(shù)，后來(lái)又?jǐn)U展到60對(duì)，不僅列出了親和數(shù)的數(shù)表，而且還公布了全部運(yùn)算過(guò)程 時(shí)間又過(guò)了120年，到了1867年，意大利有一個(gè)愛(ài)動(dòng)腦筋，勤于計(jì)算的16歲中學(xué)生白格黑尼，竟然發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)大師歐拉的疏漏讓眼皮下的一對(duì)較小的親和數(shù)1184和1210溜掉了這戲劇性的發(fā)現(xiàn)讓數(shù)學(xué)家們大為驚嘆 在以后的半個(gè)世紀(jì)的時(shí)間里，人們?cè)谇叭说幕A(chǔ)上，不斷更新方法，陸陸續(xù)續(xù)又找到了許多對(duì)親和數(shù)到了1923年，數(shù)學(xué)家麥達(dá)其和葉維勒匯總前人研究成果與自己的研究所得，發(fā)表了1095對(duì)親和數(shù)，其中最大的數(shù)有25位同年，另一個(gè)荷蘭數(shù)學(xué)家里勒找到了一對(duì)有152位數(shù)的親和數(shù) 電子計(jì)算機(jī)誕生以后，結(jié)束了筆算尋找親和數(shù)的歷史，人們利用計(jì)算機(jī)，可以更有效率的尋找和分析親和數(shù)，但直到今天，親和數(shù)仍有許多未解之謎，等待著數(shù)學(xué)家和計(jì)算機(jī)專家來(lái)解決 作業(yè) 1.300共多少個(gè)約數(shù)？其中有多少個(gè)是6的倍數(shù)？有多少個(gè)不是4的倍數(shù)？ 2.把一張長(zhǎng)108厘米，寬84厘米的長(zhǎng)方形紙裁成同樣大小的正