《數(shù)值計算方法》課程教學(xué)大綱

1、數(shù)值計算方法課程教學(xué)大綱一、課程基本信息開課單位課程類別專業(yè)核心課程名稱數(shù)值計算方法Numerical Calculation Method課程編碼開課對象信息與計算科學(xué)開課學(xué)期5學(xué)時/學(xué)分總學(xué)時72、理論課學(xué)時62、實驗課學(xué)時10/4學(xué)分先修課程數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)、C語言程序設(shè)計、常微分方程課程簡介：（350字以內(nèi)）隨著計算科學(xué)與技術(shù)的進(jìn)步和發(fā)展，科學(xué)計算已經(jīng)與理論研究、科學(xué)實驗并列成為進(jìn)行科學(xué)活動的三大基本手段，科學(xué)計算已經(jīng)成為了人們進(jìn)行科學(xué)活動必不可少的科學(xué)方法和工具。數(shù)值計算方法是科學(xué)計算的核心內(nèi)容，主要介紹插值法、函數(shù)逼近與曲線擬合、線性方程組迭代解法、數(shù)值積分與微分、非線性方程組解

2、法以及矩陣特征值與特征向量數(shù)值計算，并特別加強實驗環(huán)節(jié)的訓(xùn)練以提高學(xué)生動手能力。通過本課程的學(xué)習(xí)，不僅能使學(xué)生初步掌握數(shù)值計算方法的基本理論知識，了解算法設(shè)計及數(shù)學(xué)建模思想，而且能使學(xué)生具備一定的科學(xué)計算能力和分析與解決問題的能力，不僅為學(xué)習(xí)后繼課程打下良好的理論基礎(chǔ)，也為將來從事科學(xué)計算、計算機應(yīng)用和科學(xué)研究等工作奠定必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，為高素質(zhì)應(yīng)用型人才的培養(yǎng)提供優(yōu)質(zhì)的教學(xué)支撐。二、課程教學(xué)目標(biāo)數(shù)值計算方法是大規(guī)?？茖W(xué)模擬計算領(lǐng)域的一門重要的基礎(chǔ)課，具有很強的應(yīng)用性。通過對本課程的學(xué)習(xí)及上機實習(xí)，使學(xué)生掌握掌握數(shù)值計算的基本概念、基本方法及其原理，培養(yǎng)應(yīng)用計算機從事科學(xué)與工程計算的能力。具體能

3、力目標(biāo)如下：具有應(yīng)用計算機進(jìn)行科學(xué)與工程計算的能力；具有算法設(shè)計和理論分析能力；熟練掌握并使用數(shù)學(xué)軟件，處理海量數(shù)據(jù)，進(jìn)行大型數(shù)值計算的能力。三、教學(xué)學(xué)時分配數(shù)值計算方法課程理論教學(xué)學(xué)時分配表章次主要內(nèi)容學(xué)時分配教學(xué)方法或手段第一章數(shù)值分析與科學(xué)計算引論4課堂講授第二章插值法12課堂講授第三章函數(shù)逼近與快速傅里葉變換12課堂講授第四章數(shù)值積分與數(shù)值微分10課堂講授第五章解線性方程組的直接方法12課堂講授第六章解線性方程組的迭代法6課堂講授第七章非線性方程與方程組的數(shù)值解6課堂講授合計62數(shù)值計算方法課程實驗內(nèi)容設(shè)置與教學(xué)要求一覽表序號實驗項目名稱實驗內(nèi)容教學(xué)要求學(xué)時分配實驗類別實驗類型每組人數(shù)

4、1插值法編制插值算法的Matlab計算程序。利用插值處理實際問題掌握插值法的基本思路和步驟，通過計算機解決實際問題。2必做設(shè)計性12數(shù)據(jù)擬合編制擬合算法的Matlab計算程序。利用擬合處理實際問題掌握最小二乘法的基本原理，通過計算機解決實際問題。2必做設(shè)計性13數(shù)值積分與微分編制求積公式的Matlab計算程序；利用求積公式處理實際案例掌握求積公式的基本思路和迭代步驟；會編寫用求積公式的Matlab計算程序。2必做設(shè)計性14解線性方程組的消去法編制Gauss消元法；列（全）選主元素Gauss消去法的Matlab計算程序；掌握用直接法求解線性方程組的有關(guān)理論和方法；會編制列主元高斯消去法。2必做設(shè)

5、計性15上機綜合試驗估計水塔流量； 掌握數(shù)學(xué)建?；舅悸泛筒襟E；會綜合利用科學(xué)計算方法求解實際問題。2必做綜合性1四、教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)要求第一章 數(shù)值分析與科學(xué)計算引論（4學(xué)時）（一）教學(xué)要求1.了解誤差的來源以及舍入誤差、截斷誤差的定義；2.理解并掌握絕對誤差、相對誤差、誤差限和有效數(shù)字的定義和相互關(guān)系；3.了解函數(shù)計算的誤差估計，誤差傳播、積累帶來的危害和提高計算穩(wěn)定性的一般規(guī)律。（二）教學(xué)重點與難點教學(xué)重點：誤差理論的基本概念教學(xué)難點：誤差限和有效數(shù)字的相互關(guān)系，誤差在近似值運算中的傳播（三）教學(xué)內(nèi)容第一節(jié) 數(shù)值分析的對象、作用與特點1數(shù)學(xué)科學(xué)與數(shù)值分析2計算數(shù)學(xué)與科學(xué)計算3. 計算方法與

6、計算機4. 數(shù)值問題與算法第二節(jié) 數(shù)值計算的誤差1誤差的來源與分類2誤差與有效數(shù)字3. 數(shù)值運算的誤差估計第三節(jié) 誤差定性分析與避免誤差危害1算法的數(shù)值穩(wěn)定2病態(tài)問題與條件數(shù)3. 避免誤差危害第四節(jié) 數(shù)值計算中算法設(shè)計的技術(shù)1多項式求值的秦九韶算法2迭代法與開方求值本章習(xí)題要點：要求學(xué)生完成作業(yè)10-15題。其中概念題15%，證明題5%，計算題60%，上機題20%第二章 插值法（12學(xué)時）（一）教學(xué)要求1.掌握插值多項式存在唯一性條件；2.熟練掌握Lagrange插值多項式及其余項表達(dá)式，掌握基函數(shù)及其性質(zhì)；3.能熟練使用均差表和差分表構(gòu)造Newton插值公式；4.能理解高次插值的不穩(wěn)定性并熟

7、練掌握各種分段插值中插值點和分段的對應(yīng)關(guān)系；5.熟練掌握三次樣條插值的條件并能構(gòu)造第一和第二邊界條件下的三次樣條插值。（二）教學(xué)重點與難點教學(xué)重點：掌握Lagrange插值多項式和牛頓插值多項式及三次樣條插值教學(xué)難點：構(gòu)造第一和第二邊界條件下的三次樣條插值（三）教學(xué)內(nèi)容第一節(jié) 引言1插值問題的提出2多項式插值第二節(jié) 拉格朗日插值1線性插值與拋物線插值2拉格朗日插值多項式3. 插值余項與誤差估計第三節(jié) 均差與牛頓插值多項式1插值多項式的逐次生成2均差及其性質(zhì)3. 牛頓插值多項式4. 差分形式的牛頓插值多項式第四節(jié) 埃爾米特插值1重節(jié)點均差與泰勒插值2兩個典型的埃爾米特插值第五節(jié) 分段低次插值1高

8、次插值的病態(tài)性質(zhì)2分段線性插值第六節(jié) 三次樣條插值1三次樣條函數(shù)2樣條插值函數(shù)的建立3. 誤差界與收斂性第七節(jié) 工程案例分析1黃河小浪底調(diào)水調(diào)沙問題本章習(xí)題要點：要求學(xué)生完成作業(yè)15-25題。其中概念題10%，證明題10%，計算題50%，上機題30%第三章 函數(shù)逼近與快速傅里葉變換（12學(xué)時）（一）教學(xué)要求1. 掌握函數(shù)逼近的有關(guān)概念；2了解函數(shù)逼近的意義和推導(dǎo)過程；3掌握求解最佳平方逼近函數(shù)的方法；4掌握求連續(xù)函數(shù)的最佳平方逼近及由離散點求曲線擬合的方法；5掌握正交多項式特點及性質(zhì) , 會求連續(xù)函數(shù)的最佳一致多項式逼近；6掌握曲線擬合的最小二乘法。（二）教學(xué)重點與難點教學(xué)重點：數(shù)值逼近方法，

9、最佳平方逼近，勒讓德多項式與契比雪夫多項式教學(xué)難點：最小二乘原理（三）教學(xué)內(nèi)容第一節(jié) 函數(shù)逼近的基本概念1函數(shù)逼近與函數(shù)空間2范數(shù)與賦范線性空間3. 內(nèi)積與內(nèi)積空間4. 最佳逼近第二節(jié) 正交多項式1正交函數(shù)族與正交多項式2勒讓德多項式3. 切比雪夫多項式4. 切比雪夫多項式零點插值5. 其它正交多項式第三節(jié) 最佳平方逼近1最佳平方逼近及其計算2用正交函數(shù)族作最佳平方逼近3. 切比雪夫級數(shù)第四節(jié) 曲線擬合的最小二乘法1最小二乘法及其計算2用正交多項式作最小二乘擬合第五節(jié) 工程案例分析1材料學(xué)中混凝土泌水率的曲線擬合2. 用曲線擬合方法解決軋鋼板型問題本章習(xí)題要點：要求學(xué)生完成作業(yè)16-22題。其

10、中概念題5%，證明題5%，計算題60%，上機題30%第四章 數(shù)值積分與數(shù)值微分（10學(xué)時）（一）教學(xué)要求1.熟練掌握求積公式代數(shù)精確度的定義；2.能應(yīng)用定義確定求積公式的系數(shù)和節(jié)點，并能判斷一個求積公式的代數(shù)精確度；3.理解插值型求積公式的原理和Newton-Cotes公式的構(gòu)造，并熟練掌握梯形公式和Simpson公式及其余項的表達(dá)式和代數(shù)精確度；4.熟練掌握復(fù)合梯形公式和復(fù)合Simpson公式及其余項，能使用這些公式計算積分近似值并估計誤差，能根據(jù)精度要求確定積分區(qū)間的等分?jǐn)?shù)；5.掌握兩點和三點數(shù)值微分公式的用法。（二）教學(xué)重點與難點教學(xué)重點：掌握求積公式代數(shù)精確度的定義、梯形公式和Simp

11、son公式、復(fù)化梯形公式和復(fù)化Simpson公式教學(xué)難點：高斯求積公式（三）教學(xué)內(nèi)容第一節(jié) 數(shù)值積分概論1數(shù)值積分的基本思想2代數(shù)精度的概念3. 插值型的求積公式4. 求積公式的余項5. 求積公式的收斂性與穩(wěn)定性第二節(jié) 牛頓-柯特斯公式1柯特斯系數(shù)與辛普森公式2偶階求積公式的代數(shù)精度3. 辛普森公式的余項第三節(jié) 復(fù)合求積公式1復(fù)合梯形公式2復(fù)合辛普森求積公式第四節(jié) 高斯求積公式1一般理論2高斯-勒讓德求積公式3. 高斯-切比雪夫求積公式第五節(jié) 數(shù)值微分1中點方法與誤差分析2插值型的求導(dǎo)公式第六節(jié) 工程案例分析1吸收塔填料層高度的計算本章習(xí)題要點：要求學(xué)生完成作業(yè)20-25題。其中概念題5%，證

12、明題5%，計算題50%，上機題40%第五章 解線性方程組的直接方法（12學(xué)時）（一）教學(xué)要求1掌握解線性方程組的 Gauss 消元法、列主元法、 LU 分解，掌握線性變換的概念及運算，會求給定線性變換在一組基下的矩陣；2理解上述方法的構(gòu)造過程和特點；3掌握全主元消元法、平方根法；4掌握解特殊線性方程組的追趕法；5. 掌握向量范數(shù)、矩陣范數(shù)的基本概論與性質(zhì)，學(xué)會用范數(shù)來分析方程組的性態(tài)及穩(wěn)定性；6掌握直接解法的誤差分析及病態(tài)方程組概念。（二）教學(xué)重點與難點教學(xué)重點：列主元消去法和矩陣的三角分解法教學(xué)難點：各種算法的原理與基本思想、誤差分析（三）教學(xué)內(nèi)容第一節(jié) 高斯消去法1高斯消去法2矩陣的三角分

13、解3. 列主元消去法第二節(jié) 矩陣的三角分解法1直接三角分解法2平方根法3. 追趕法第三節(jié) 向量和矩陣的范數(shù)1向量范數(shù)2矩陣范數(shù)第四節(jié) 誤差分析1矩陣的條件數(shù)2迭代改善法第五節(jié) 案例分析1小行星軌道方程計算問題本章習(xí)題要點：要求學(xué)生完成作業(yè)10-15題。其中概念題15%，證明題5%，計算題50%，上機題30%第六章 解線性方程組的迭代法（6學(xué)時）（一）教學(xué)要求1熟練掌握雅可比迭代法、高斯-塞德爾迭代法的計算分量形式、矩陣形式和它們的迭代矩陣表示式； 2理解迭代法收斂的充要條件； 3會用迭代陣的譜半徑判斷迭代的收斂性；4掌握迭代法的漸近收斂速度的定義和計算。（二）教學(xué)重點與難點教學(xué)重點：Jacob

14、i迭代法，GS迭代法教學(xué)難點：Jacobi迭代法和GS迭代法的構(gòu)造和收斂性分析（三）教學(xué)內(nèi)容第一節(jié) 迭代法的基本概念1向量序列與矩陣序列的極限2迭代法及其收斂性第二節(jié) Jacobi迭代法和GS迭代法1Jacobi迭代法2GS迭代法3. Jacobi迭代法和GS迭代法的收斂性第三節(jié) 案例分析1回歸問題本章習(xí)題要點：要求學(xué)生完成作業(yè)10-15題。其中概念題5%，證明題15%，計算題50%，上機題30%第七章 非線性方程與方程組的數(shù)值解（6學(xué)時）（一）教學(xué)要求1. 熟練掌握解非線性方程的簡單迭代法的構(gòu)造和收斂性判別方法；2. 掌握迭代法的收斂階的概念；3.了解并掌握Newton迭代法及其變形：至少具

15、有平方收斂速度的Newton迭代法的構(gòu)造，Newton迭代法的變形（簡化Newton法，弦截法）；4. 掌握求非線性方程根的二分法；5.了解非線性方程迭代法的加速：Aitken加速，Steffensen迭代法，會使用迭代法的加速技術(shù)。（二）教學(xué)重點與難點教學(xué)重點：方程求根的迭代法中迭代格式的構(gòu)造及其斂散性教學(xué)難點：如何分析判斷迭代格式的斂散性（三）教學(xué)內(nèi)容第一節(jié) 方程求根與二分法1引言2二分法第二節(jié) 不動點迭代法及其收斂性1不動點與不動點迭代法2不動點的存在性與迭代法的收斂性3. 局部收斂性與收斂階第三節(jié) 迭代收斂的加速方法1埃特金加速收斂方法2Steffensen迭代法第四節(jié) 牛頓法1牛頓法及其收斂性2牛頓法應(yīng)用舉例3. 簡化牛頓法與牛頓下山法第五節(jié) 案例分析1養(yǎng)老保險問題本章習(xí)題要點：要求學(xué)生完成作業(yè)8-12題。其中概念題15%，證明題5%，計算題60%，上機題20%五、教學(xué)方法或手段1、教學(xué)方法：講授法、啟發(fā)式、討論式、案例式、探究式等。2、教學(xué)手段：傳統(tǒng)講授、多媒體、移動課堂和MOOC等網(wǎng)絡(luò)教學(xué)手段相結(jié)合。六、考核方式及評價要求本課程教學(xué)嚴(yán)格按照理論課程教學(xué)大綱、實驗課程教學(xué)大綱課程教學(xué)進(jìn)程安排進(jìn)行日常教學(xué)，采取課堂講授、課堂討論、課外自主實踐等多種形式完成教學(xué)任務(wù)。課程總評成績由以下三部分構(gòu)