高等數(shù)學(xué)方明亮版數(shù)學(xué)課件101常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念與性質(zhì)

1、高等數(shù)學(xué)多媒體課件牛頓（Newton）萊布尼茲（Leibniz）9/26/20221第十章 無(wú)窮級(jí)數(shù)（Infinite Series）第一節(jié) 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念與性質(zhì)第二節(jié) 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法第三節(jié) 冪級(jí)數(shù)第四節(jié) 函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)第五節(jié) 函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式的應(yīng)用 第六節(jié) 傅立葉級(jí)數(shù)主 要 內(nèi) 容9/26/20222第一節(jié) 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì) 第十章 （Conception and property of constant term series）一、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基本概念二、收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)三、小結(jié)與思考練習(xí)9/26/20223一、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基本概念定義給定一個(gè)數(shù)列將各項(xiàng)依即稱(chēng)上式為無(wú)窮級(jí)

2、數(shù)，其中第 n 項(xiàng)叫做級(jí)數(shù)的一般項(xiàng),級(jí)數(shù)的前 n 項(xiàng)和次相加, 簡(jiǎn)記為稱(chēng)為級(jí)數(shù)的部分和.則稱(chēng)無(wú)窮級(jí)數(shù)9/26/20224收斂 ,并稱(chēng) S 為級(jí)數(shù)的和,記作當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí), 稱(chēng)差值為級(jí)數(shù)的余項(xiàng).則稱(chēng)無(wú)窮級(jí)數(shù)發(fā)散 .顯然9/26/202259/26/20226例3 討論等比級(jí)數(shù) (又稱(chēng)幾何級(jí)數(shù))( q 稱(chēng)為公比 ) 的斂散性. 解: 1) 若從而因此級(jí)數(shù)收斂 ,從而則部分和因此級(jí)數(shù)發(fā)散 .其和為9/26/202272) 若因此級(jí)數(shù)發(fā)散 ;因此n 為奇數(shù)n 為偶數(shù)從而綜合 1)、2)可知,時(shí), 等比級(jí)數(shù)收斂 ;時(shí), 等比級(jí)數(shù)發(fā)散 .則級(jí)數(shù)成為不存在 , 因此級(jí)數(shù)發(fā)散.9/26/20228二、收斂級(jí)數(shù)的

3、基本性質(zhì)性質(zhì)1 若級(jí)數(shù)收斂于 S ,則各項(xiàng)乘以常數(shù) c 所得級(jí)數(shù)也收斂 ,證: 令則這說(shuō)明收斂 , 其和為 c S . 說(shuō)明: 級(jí)數(shù)各項(xiàng)乘以非零常數(shù)后其斂散性不變 .即其和為 c S .9/26/20229性質(zhì)2 設(shè)有兩個(gè)收斂級(jí)數(shù)則級(jí)數(shù)也收斂, 其和為證: 令則這說(shuō)明級(jí)數(shù)也收斂, 其和為9/26/2022109/26/202211性質(zhì)3 在級(jí)數(shù)前面加上或去掉有限項(xiàng), 不會(huì)影響級(jí)數(shù)的斂散性.證: 將級(jí)數(shù)的前 k 項(xiàng)去掉,的部分和為數(shù)斂散性相同. 當(dāng)級(jí)數(shù)收斂時(shí), 其和的關(guān)系為類(lèi)似可證前面加上有限項(xiàng)的情況 .極限狀況相同, 故新舊兩級(jí)所得新級(jí)數(shù)9/26/202212性質(zhì)4 收斂級(jí)數(shù)加括弧后所成的級(jí)數(shù)

4、仍收斂于原級(jí)數(shù)的和.證: 設(shè)收斂級(jí)數(shù)若按某一規(guī)律加括弧,則新級(jí)數(shù)的部分和序列 為原級(jí)數(shù)部分和序列 的一個(gè)子序列,推論: 若加括弧后的級(jí)數(shù)發(fā)散, 則原級(jí)數(shù)必發(fā)散.注意: 收斂級(jí)數(shù)去括弧后所成的級(jí)數(shù)不一定收斂.但發(fā)散.因此必有例如，用反證法可證例如9/26/202213證: 可見(jiàn): 若級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)不趨于0 , 則級(jí)數(shù)必發(fā)散 .例如,其一般項(xiàng)為不趨于0,因此這個(gè)級(jí)數(shù)發(fā)散.9/26/202214注意:并非級(jí)數(shù)收斂的充分條件.例如, 調(diào)和級(jí)數(shù)雖然但此級(jí)數(shù)發(fā)散 .事實(shí)上 , 假設(shè)調(diào)和級(jí)數(shù)收斂于 S , 則但矛盾!所以假設(shè)不真 .課本給出了另外兩種證法！9/26/202215例6 判斷級(jí)數(shù)的斂散性:解: 考

5、慮加括號(hào)后的級(jí)數(shù)發(fā)散 ,從而原級(jí)數(shù)發(fā)散 .9/26/202216內(nèi)容小結(jié)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基本概念: 常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)、 收斂、發(fā)散、等比級(jí)數(shù)、調(diào)和級(jí)數(shù) 3. 級(jí)數(shù)收斂的判別方法2. 收斂級(jí)數(shù)的5個(gè)性質(zhì)課外練習(xí)習(xí)題101 3（偶數(shù)題）； 49/26/202217思考與練習(xí)答:（1）若二級(jí)數(shù)都發(fā)散 ,不一定發(fā)散.例如, （2） 若兩級(jí)數(shù)中一個(gè)收斂一個(gè)發(fā)散 , 則必發(fā)散 . (用反證法可證)9/26/202218解: (1) 所以級(jí)數(shù) (1) 發(fā)散 ;技巧:利用 “拆項(xiàng)相消” 求和2、 判別下列級(jí)數(shù)的斂散性:9/26/202219(2) 所以級(jí)數(shù) (2) 收斂, 其和為 1 .技巧:利用 “拆項(xiàng)相消” 求和9/26/2022203、 判斷下列級(jí)數(shù)的斂散性, 若收斂求其和:解: (1) 令則故從而這說(shuō)明級(jí)數(shù)(1)