談?wù)剶?shù)學(xué)思維靈活性的培養(yǎng)

1、談?wù)剶?shù)學(xué)思維靈活性的培養(yǎng)龍川縣鐵場(chǎng)中學(xué)戴彩華在數(shù)學(xué)的教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的靈活性是極其重要的，學(xué)生 有了這種思維品質(zhì)，在遇到較難的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，就有多向、變通等解決 問(wèn)題的對(duì)策。如何才能更好地培養(yǎng)學(xué)生思維靈活性呢？我在教學(xué)實(shí)踐中 作了一些探索：一、引導(dǎo)學(xué)生思維發(fā)散，培養(yǎng)思維靈活性。發(fā)散思維是理解教材、靈活運(yùn)用知識(shí)所必須的，也是迎接信息時(shí)代、 適應(yīng)未來(lái)生活所應(yīng)具備的能力。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，注意引導(dǎo)學(xué)生思維發(fā)散 通過(guò)一題多解、一題多思、一題多變等方式，提高學(xué)生思維的靈活性。l 、一題多解，培養(yǎng)思維的靈活性。在教學(xué)過(guò)程中，用多種方法，從各個(gè)不同角度和不同途徑去尋求問(wèn)題的答案，用一題多解來(lái)培養(yǎng)學(xué)生思維的

2、靈活性。例：已知實(shí)數(shù)x,y滿足:(x + y) 2 + (y - 3)2 = 4 ,請(qǐng)學(xué)生用不同的方法求x + y的最大值和最小值。學(xué)生提供的不同的解法為：(1)數(shù)形結(jié)合法：設(shè)x + y = t 則由圓心(-1,3)到直線x + y = t 的距 -1+3-t離d = J2 ,從而x + y 的最大值和最小值分別是2+2J2和2-242 。(2)三角換元法：設(shè)x = - 1 + 2cosa,y = 3 + 2sina, a C 0 , 2 兀,則有x + y = 2 + 2(cosa + sina) =2 + 2* sin(a+ -).當(dāng) sin(a+ 4 尸 1 時(shí)，x + y取得最大值和最

3、小值，分別是2 + 2 / 和2 - 2 啦(3)均值不等式法：利用基本不等式I a + b I 2(a2 + b2 )得I (x+1)+(y-3) I V2(x+1) 2 + (y-3) 2 =2 爽即 | x+y-2 | 2 v2 于是 可知x + y的最大值和最小值分別是2 + 2 / 和2 - 2 由。用一題多解可以拓寬思路，增強(qiáng)知識(shí)間聯(lián)系，學(xué)會(huì)多角度思考解題的 方法和靈活的思維方式。2、一題多思，培養(yǎng)思維的靈活性。牛頓說(shuō)過(guò)：“沒(méi)有大膽的猜想就做不出偉大的發(fā)現(xiàn)?！敝袑W(xué)生的想象 力豐富，因此，可以通過(guò)例題所提供的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，鼓勵(lì)、引導(dǎo)學(xué)生大膽地 猜想，以培養(yǎng)學(xué)生思維品質(zhì)。例：已知：sin

4、sin 1 (1) , cos cos 1 (2),由此可得到哪些結(jié)34論？讓學(xué)生進(jìn)行探素，然后相互討論研究，各抒己見(jiàn)。想法一：(1)想法一：(1)2+ (2)2可得8$()263 (兩角差的余弦公式)。288想法二:(1) X(2),再和差化積:sin()cos(1112想法三:想法四;想法五:結(jié)合想法一可知：sin(2-(2) 2再和差化積:結(jié)合想法一可知：可得2cos(cos(2425)cos(7251想法二:(1) X(2),再和差化積:sin()cos(1112想法三:想法四;想法五:結(jié)合想法一可知：sin(2-(2) 2再和差化積:結(jié)合想法一可知：可得2cos(cos(2425)c

5、os(72517144s,再和差化積約去公因式可得:(2)求：sin(tg,進(jìn)而用萬(wàn)能公式可)、cos( )、tg(由 sin2cos21消去得：4sin3cos2524消去可得4sin消去可得4sin25 一一3cos 25 (消參思想)24想法六:(1)+(2)并逆用兩角和的正弦公式:sin( 4)-(2)并逆用兩角差的正弦公式:sin(想法七：(1)X 3-(2) X4: 3sin 4cos3sin4cossin( /想法六:(1)+(2)并逆用兩角和的正弦公式:sin( 4)-(2)并逆用兩角差的正弦公式:sin(想法七：(1)X 3-(2) X4: 3sin 4cos3sin4cos

6、sin( /07 一 224224sin(2k 則 sin( 通過(guò)一題多思,4、sin( ) 0 ( arctg -), (與已知矛盾舍去)或)、cos( )、tg(即 2sin)均可求。2cos222k 2 (k Z)不但能開(kāi)闊學(xué)生的解題思路，而且啟發(fā)學(xué)生建立了課本例題，習(xí)題之間的聯(lián)系，使學(xué)生在做題時(shí)做到“遇新題，憶舊題，多思 考，善聯(lián)想、多變換、找規(guī)律”。從而培養(yǎng)了學(xué)生的思維靈活性。3 、一題多變，培養(yǎng)學(xué)生的靈活性。一題多變是指改變?cè)瓉?lái)例題中的某些條件或結(jié)論，使之成為一個(gè)新例 題。對(duì)問(wèn)題的條件和結(jié)論進(jìn)行發(fā)散，進(jìn)而從不同角度和用不同知識(shí)來(lái)解決 問(wèn)題。例：求函數(shù)y = x 2 - 4x + 3

7、 (x C R)的最小值為我將條件進(jìn)行如下變式：變區(qū)間：將區(qū)間(xCR)”變?yōu)椤?1&X&4”或“-1&X&0”或 “30 x&4” ；變系數(shù)：將“系數(shù)4”變?yōu)椤癮”即“ y x2 ax 3 ” ；變自變量：將“ x”變?yōu)椤皊inx”即“y sin2x 4sinx 3” ；變系數(shù)、自變量：將“ y x2 4x 3 ”變?yōu)椤?y sin2 x a sin x 3 ”在這種由簡(jiǎn)到繁的變式中，學(xué)生對(duì)二次函數(shù)求最值的理解更深刻了， 增強(qiáng)了學(xué)生解綜合題的能力，其思維的靈活性得到了提高。二、以思維靈活性的提高帶動(dòng)思維其他品質(zhì)的提高，以思維其他品質(zhì) 的培養(yǎng)來(lái)促進(jìn)思維靈活性的培養(yǎng)。思維的靈活性、廣闊性、敏捷供

8、、深刻性、獨(dú)創(chuàng)性和批判性等幾個(gè)方 面是彼此聯(lián)系、密不可分的，處于有機(jī)的統(tǒng)一體中，思維的靈活性是建立 在思維廣闊性和深刻性的基礎(chǔ)上，并為思維敏捷性、獨(dú)創(chuàng)性和批判性提供 保證的良好品質(zhì)。所以，思維其他品質(zhì)的培養(yǎng)能有力地促進(jìn)思維靈活性的 提圖。1、思維的深刻性指思維過(guò)程的抽象程度，指是否善于從事物的現(xiàn)象 中發(fā)現(xiàn)本質(zhì)，是否善于從事物之間的關(guān)系和聯(lián)系中揭示規(guī)律。例：方程 sinx =lgx 的解有()個(gè)。(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4學(xué)生習(xí)慣于通過(guò)解方程求解，而此方程無(wú)法求解常令學(xué)生手足無(wú)措。若能運(yùn)用靈活的思維換一個(gè)角度思考：此題的本質(zhì)為求方程組y sinx的公共解。運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想轉(zhuǎn)化

9、為求函數(shù)圖象交點(diǎn)問(wèn)題，尋求幾何性曲Wgx 代數(shù)方程之間的內(nèi)在聯(lián)系。通過(guò)知識(shí)串聯(lián)、橫向溝通牢牢抓住事物的本 質(zhì)，在思維深刻性的基礎(chǔ)上，思維靈活性才有了用武之地。、思維的廣闊性是指善于抓住問(wèn)題的各個(gè)方面，又不忽視其重要細(xì) 節(jié)的思維品質(zhì)。要求學(xué)生能認(rèn)真分析題意，調(diào)動(dòng)和選擇與之相應(yīng)的知識(shí)， 尋找解答關(guān)鍵。例：已知拋物線在y軸上的截距為3,對(duì)稱軸為直線x=1,在x軸 上截得線段長(zhǎng)為4,求拋物線方程。解法一：截距為3,可選擇一般式方程：y ax2 bx c(a 0),顯然有c = 3,利 用其他條件可列方程組求a, b值。解法二：由對(duì)稱軸為直線x=1,可選擇頂點(diǎn)式方程：y a(x m)2 k (a 0)

10、顯然有 m 1,利用其他條件可列方程組求 a, k的值。另外，由圖象對(duì)稱性可知 x軸 上交點(diǎn)為(l , 0)和(3, 0)。解法三：由截距為3,即過(guò)三點(diǎn)(0, 3)、(l , 0)和(一3, 0),可選擇一般式方程：y ax2 bx c(a 0),代入點(diǎn)坐標(biāo)，列方程組求 a, b, c值。解法四：由一元二次方程與一元二次函數(shù)關(guān)系可選擇兩根式y(tǒng) a(x x1)(x x2) (a 0)(必須與 x軸有交點(diǎn))，顯然；xi = -3, x2= 1。由截距 3,可求a值。在把握整體的前提下，側(cè)重某一條件作為解答突破口，在思維廣闊性 的基礎(chǔ)上，充分運(yùn)用思維靈活性調(diào)動(dòng)相關(guān)知識(shí)、技能尋找解題途徑。、思維的敏捷

11、性指思維活動(dòng)的速度。它的指標(biāo)有二個(gè)：一是速度， 二是正確率。具有這一品質(zhì)的學(xué)生能縮短運(yùn)算環(huán)節(jié)和推理過(guò)程。思維靈活 性對(duì)于思維速度和準(zhǔn)確率的提高起著決定性作用。例：已知數(shù)列Xn滿足X2Xn一(Xn 12Xn 2),n 3,4,.若 lim %X2,則X1(A. 32解法一：二B.C.D.Xn 1X令 例：已知數(shù)列Xn滿足X2Xn一(Xn 12Xn 2),n 3,4,.若 lim %X2,則X1(A. 32解法一：二B.C.D.Xn 1X令 bnXn 1Xn2(Xn12是以(X2Xn ,則 bnXnX1 (X2 X1)(X3XiX1(5)(X1 12Xi lim XnXXn1 2(XXnXn 12

12、 ),即Xn 1 Xn 2Xi )為首項(xiàng),b1qn 1(X2x2)(x1、2，)X1(21,(-)n121、2)X121為公比6的等比數(shù)列,21X1)(-)2Xn 1),1n 1( -)nX121.n 1 (7)X121( 2)lim 2X1 ( 1)n 1x 322X1(3生&L2 ,X13 ,故選 B.33由于高考的時(shí)間有限，是否有其他更簡(jiǎn)單的、快速的解法呢？選擇題 重結(jié)果不重過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生思考，得另一種解法。解法二：特殊值法，當(dāng)X1 3時(shí)，X23,X3 9,X4竺,X5 33,X6 632481632由此可推測(cè)lim Xn 2,故選B.此題解法充分體現(xiàn)了思維靈活性，以簡(jiǎn)馭繁，用X特殊化思

13、想求解，解題迅速、正確。4、思維的獨(dú)創(chuàng)性指思維活動(dòng)的獨(dú)創(chuàng)程度，具有新穎善于應(yīng)變的特 點(diǎn)。思維的靈活性為思維的獨(dú)創(chuàng)性提供了肥沃的土壤，為解題“靈感”的 閃現(xiàn)提供了燃料。在教學(xué)實(shí)踐中，我常發(fā)現(xiàn)，學(xué)生提出富有個(gè)性的見(jiàn)解的時(shí)候，往往是“思維火花”閃爍的時(shí)候.例：求值：sin210 sin250 sin10sin50一般解法： 左 1 - (cos200 cos1000) sin 100 sin5002nn 1nn.cos6n cos4n ( cos6n cos4n )234獨(dú)特靈活的解法：令 x sin210n sin2 5nn sin10nsin50n , TOC o 1-5 h z 20200nn

14、n 1y cos in cos 5。 cosin cos5n ,則x y 2 cos40 , x y cos40 -233即2x 415由A B 知：A 不可能！即415由A B 知：A 不可能！即cosA 一取不到。故只有一解cosC 一。565學(xué)生對(duì)結(jié)論的可靠程度進(jìn)行懷疑，在獨(dú)立分析的基礎(chǔ)上，靈活運(yùn)用三 角函數(shù)的單調(diào)性來(lái)確定三角形內(nèi)角的取值范圍，嚴(yán)密論證了三角函數(shù)值取 值的可能性。三、靈活新穎的教法探求和靈活扎實(shí)的學(xué)法指導(dǎo)。教師的教法常常影響到學(xué)生的學(xué)法。靈活多變的教學(xué)方法對(duì)學(xué)生思維 靈活性的培養(yǎng)起著潛移默化的作用，而富有新意的學(xué)法指導(dǎo)能及時(shí)為學(xué)生 注人靈活思維的活力。“導(dǎo)入出新”一一良好

15、的開(kāi)端是成功的一半。引人入勝的教學(xué)導(dǎo)入可 以激發(fā)學(xué)習(xí)興趣和熱情。以“創(chuàng)設(shè)情境”，“敘述故事”、“利用矛 盾”、“設(shè)置懸念”、“引用名句”、“巧用道具”等新穎多變的教學(xué)手 段，使學(xué)生及早進(jìn)入積極思維狀態(tài)。4構(gòu)造對(duì)偶式求解，思維靈活頗有獨(dú)創(chuàng)性。靈活的構(gòu)想獨(dú)特巧妙，數(shù)形結(jié)合思想得到充分體現(xiàn)。我在教學(xué)中比較 注重學(xué)生解題思路的獨(dú)創(chuàng)性、新穎性的肯定和提倡，充分給予嘗試、探索 的機(jī)會(huì)，以活躍思維、發(fā)展個(gè)性。5 、思維的批判性指思維活動(dòng)中獨(dú)立分析的程度，是否善于嚴(yán)格地估 計(jì)思維材料和仔細(xì)地檢查思維過(guò)程。我在數(shù)學(xué)教學(xué)中，鼓勵(lì)學(xué)生提出不同 的甚至懷疑的意見(jiàn)，注意引導(dǎo)和啟發(fā)，提倡獨(dú)立思考能力的培養(yǎng)。 TOC o

16、1-5 h z 35例：/ ABC, sin A 一，cosB 一 ,求 cosC513大部分學(xué)生如此解：由sin A 3可得cosA4;由cosB 9可得sin B,進(jìn)551313而可求 cosC 16 或 cosC 56。6565i有學(xué)生提出異議：由sin A - m可知：A 3-或A ,同理可知B 。52444“錯(cuò)解剖析”一一提供給學(xué)生題解過(guò)程，但其中有錯(cuò)誤的地方。讓學(xué) 生反串角色，扮演教師批改作業(yè)。換一個(gè)角度來(lái)考察學(xué)生的知識(shí)掌握情 況，尋找錯(cuò)誤產(chǎn)生的原因，從而更好的加深對(duì)知識(shí)的掌握。“例題變式”一一從例題入手，變換條件尋求結(jié)論的不同之處；變換 結(jié)論尋求條件的不同之處；變換提出問(wèn)題的背景，尋求多題一解；變換問(wèn) 題的思考角度，尋求一題多解；以“變”來(lái)培養(yǎng)學(xué)生靈活的思維?！熬幹圃嚲怼币灰涣谐隹疾橹R(shí)點(diǎn)、考查重點(diǎn)、試題類型，讓學(xué)生自 己編制一份測(cè)驗(yàn)試卷.并給出解答。使學(xué)生站在老師的角度體驗(yàn)出題心 理，更好的掌握知識(shí)結(jié)構(gòu)和