線性規(guī)劃企業(yè)利潤最大化

1、引 言線性規(guī)劃主要用用于解決生活活、生產(chǎn)中的的資源利用、人人力調(diào)配、生生產(chǎn)安排等問問題，它是一一種重要的數(shù)數(shù)學模型簡簡單的線性規(guī)規(guī)劃指的是目目標函數(shù)含兩兩個自變量的的線性規(guī)劃，其其最優(yōu)解可以以用數(shù)形結合合方法求出。涉涉及更多個變變量的線性規(guī)規(guī)劃問題不能能用初等方法法解決。線性性規(guī)劃問題的的難點表現(xiàn)在在三個方面：一是將實際際問題抽象為為線性規(guī)劃模模型；二是線線性約束條件件和線性目標標函數(shù)的幾何何表征；三是是線性規(guī)劃最最優(yōu)解的探求求。線性規(guī)劃的發(fā)展展史法國 HYPERLINK /view/66878.htm 數(shù)學家 JJ.- B.- J.傅傅里葉和 CC.瓦萊普普森分別于11832和11911年獨

2、獨立地提出線線性規(guī)劃的想想法，但未引引起注意。 1939年年 HYPERLINK /view/6824.htm 蘇聯(lián)數(shù)學家.康托托羅維奇在生生產(chǎn)組織與計計劃中的數(shù)學學方法一書書中提出線性性規(guī)劃問題，也也未引起重視視。 1947年年 HYPERLINK /view/2398.htm 美國數(shù)學家GG.B. HYPERLINK /view/802623.htm 丹齊齊克提出線性性規(guī)劃的一般般 HYPERLINK /view/76167.htm 數(shù)學模型和求求 HYPERLINK /view/1009698.htm 解線性規(guī)劃劃問題的通用用方法 HYPERLINK /view/471090.htm 單

3、單純形法，為為這門學科奠奠定了基礎。 1947年年美國數(shù)學家家J.vonn諾伊曼提出出 HYPERLINK /view/6653.htm 對偶理論,開開創(chuàng)了線性規(guī)規(guī)劃的許多新新的研究領域域，擴大了它它的應用范圍圍和解題能力力。 1951年年美國經(jīng)濟學學家T.C.庫普曼斯把把線性規(guī)劃應應用到經(jīng)濟領領域，為此與與康托羅維奇奇一起獲19975年 HYPERLINK /view/29959.htm 諾貝貝爾經(jīng)濟學獎獎。 50年代后后對線性規(guī)劃劃進行大量的的理論研究，并并涌現(xiàn)出一大大批新的 HYPERLINK /view/7420.htm 算法法。例如，11954年CC.萊姆基提提出對偶單純純形法，19

4、954年S.加斯和T.薩迪等人解解決了線性規(guī)規(guī)劃的 HYPERLINK /view/113149.htm 靈敏度度分析和參數(shù)數(shù)規(guī)劃問題，11956年AA.塔克提出出互補松弛定定理，19660年G.BB.丹齊克和和P.沃爾夫夫提出分解算算法等。 線性規(guī)劃的的研究成果還還直接推動了了其他 HYPERLINK /view/3821790.htm 數(shù)學規(guī)規(guī)劃問題包括括 HYPERLINK /view/135921.htm 整數(shù)規(guī)劃、隨隨機規(guī)劃和 HYPERLINK /view/319487.htm 非非線性規(guī)劃的的算法研究。由由于 HYPERLINK /view/303224.htm 數(shù)字電子子計算機

5、的發(fā)發(fā)展，出現(xiàn)了了許多線性規(guī)規(guī)劃 HYPERLINK /view/37.htm 軟件，如MPPSX，OPPHEIE，UUMPIREE等，可以很很方便地求解解幾千個變量量的線性規(guī)劃劃問題。 1979年年蘇聯(lián)數(shù)學家家L. G. Khacchian提提出解線性規(guī)規(guī)劃問題的橢橢球算法，并并證明它是 HYPERLINK /view/613580.htm 多多項式時間算算法。 1984年年美國貝爾電電話實驗室的的 HYPERLINK /view/2174.htm 印度數(shù)學家NN.卡馬卡提提出解線性規(guī)規(guī)劃問題的新新的多項式時時間算法。用用這種方法求求解線性規(guī)劃劃問題在變量量個數(shù)為50000時只要要單純形法所

6、所用時間的11/50。現(xiàn)現(xiàn)已形成線性性規(guī)劃多項式式算法理論。550年代后線線性規(guī)劃的應應用范圍不斷斷擴大。隨著經(jīng)濟的發(fā)展展，關于線性性規(guī)劃在企業(yè)業(yè)中的應用越越來越廣泛。林林海明早在11996年就就立足于較強強的普及性，從從經(jīng)濟常識的的角度來認知知線性規(guī)劃問問題的解法，初初步論述這一一問題；熊福福力、張曉東東等在20004年作了基基于利潤最大大化的油田開開發(fā)非線性規(guī)規(guī)劃一文，他他們根據(jù)油田田開發(fā)的實際際情況，將油油田和利潤細細分為幾個部部分，以獲得得最大利潤為為目標，建立立了油田開發(fā)發(fā)的數(shù)學模型型；吳海華和和王志江在關于影子價格作為企業(yè)資源配置依據(jù)的探討根據(jù)線性規(guī)劃模型資源影子價格的經(jīng)濟意義，討

7、論了在企業(yè)以收入最大化和利潤最大化兩種情況下，影子價格作為企業(yè)資源配置依據(jù)時存在的問題。胡徐勝、劉娟和汪發(fā)亮在最優(yōu)控制在汽車企業(yè)利潤最大化中的應用一文中從汽車企業(yè)職工結構角度出發(fā)，研究在企業(yè)提供職工工資總量不超過某一限定值的情況下,如何分配汽車企業(yè)中普通職工與高級職工的比例來達到實現(xiàn)汽車企業(yè)利潤最大化的目標。隨著經(jīng)濟社會的的發(fā)展，線性性規(guī)劃在資源源配置和企業(yè)業(yè)管理方面發(fā)發(fā)揮著獨特的的作用。在企企業(yè)的各項管管理活動中，例例如計劃、生生產(chǎn)、運輸、技技術等問題，從從各種限制條條件的組合中中，通過對實實際數(shù)據(jù)的分分析處理和數(shù)數(shù)學模型的建建立，選擇出出最為合理的的計算方法，建建立線性規(guī)劃劃模型從而求求得

8、最佳結果果，給出了更更多的決策參參考信息。這這也將成為未未來企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)與管理的普普遍方法。 不單如如此，企業(yè)現(xiàn)現(xiàn)如今更著重重于對各種條條件組合中限限制條件作局局部調(diào)整以達達到對獲得利利潤的一種控控制，而這恰恰恰也是線性性規(guī)劃問題中中靈敏度分析析所研究的對對象。本文共分為四章章。在第一章章，介紹本文的的背景和線性性規(guī)劃的發(fā)展展狀況；在第第二章，介紹線性規(guī)劃劃本身和一系系列相關性質(zhì)質(zhì)問題及企業(yè)業(yè)利潤最大化化數(shù)學模型的的基礎知識；在第三章，介介紹利用線性性規(guī)劃建立企業(yè)利潤潤最大化數(shù)學學模型；最后，求解解模型最優(yōu)解解。第2章線性規(guī)劃劃問題本章主要介紹線線性規(guī)劃本身身和一系列相相關性質(zhì)問題題，并相應舉舉

9、出一些簡單單的例子更好好的闡述了線線性規(guī)劃問題題。本章主要要借鑒于胡運運權、郭耀煌煌等編著，清清華大學出版版社出版的運運籌學教程（第第二版）的的內(nèi)容。2.1線性規(guī)劃劃模型及標準準型211線性性問題的數(shù)學學模型例1：美佳公司司計劃制造，兩種家電產(chǎn)產(chǎn)品。已知各各制造一件時時分別占用的的設備A，BB的臺時、調(diào)調(diào)試工序及每每天可用于這這兩種家電的的能力、各售售出一件時的的獲利情況，如如表1所示。問問該公司應制制造兩種家電電各多少件，使使獲取的利潤潤為最大。表1項目每天可用能力設備A（h）0515設備B（h）6224調(diào)試工序（h）113利潤（元）21 對上例用和分分別表示美佳佳公司制造家家電和的數(shù)量。這

10、這時此例數(shù)學學模型可表示示為 由此例可以看出出，規(guī)劃問題題的數(shù)學模式式型由三個要要素組成：變量，或稱稱決策變量，是是問題中要確確定的未知量量，它用以表表明規(guī)劃中的的用數(shù)量表示示的方案、措措施，可由決決策者決定和和控制；目標函，它它是決策變量量的函數(shù)，按按優(yōu)化目標分分別在這個函函數(shù)前加上或；約束條件，指指決策變量取取值時受到的的各種資源條條件的限制，通通常表達為含含決策變量的的等式或不等等式。假定線性規(guī)劃問問題中含個變變量，分別用用（）表示，在在目標函數(shù)中中的系數(shù)為（通常稱為價價值系數(shù)），的取值受項資源的限制，用（）表標第種資源的擁有量，用表示變量取值為1個單位時所消耗或含有的第種資源的數(shù)理量，

11、通常稱為技術系數(shù)或工藝系數(shù)。剛上述線性規(guī)劃問題的數(shù)學模型可表示為：上述模型的簡寫寫形式為用向量形式表達達時，上述模模型可寫為：式中；用矩陣和向量形形式來表示可可寫為：稱為約束方程組組（約束條件件）的系數(shù)矩矩陣。 變量的的取值一般配配為非負，即即；從數(shù)學意意義上可以有有。又如果變變量表示第種產(chǎn)品品期內(nèi)產(chǎn)量相相對于前期產(chǎn)產(chǎn)量的增加值值，則的取值值范圍為，稱稱取值不受約約束，或無約約束。21122線性規(guī)劃問問題的標準形形式線性規(guī)是問題的的標準形式如如下：標準形式的線性性規(guī)劃模型中中，目標函數(shù)數(shù)為求極大值值，約束條件件全為等式，約約束條件右端端常數(shù)項全為為非負值，變變量的取值全全為非負值。對對不符合標

12、準準形式的線笥笥規(guī)劃問題，可可分別通過下下列方法化為為標準形式。1）目標函數(shù)為為求極小值，即即為：因為求等價于求求，令，即化為為：2）約束條件的的右端項時，只只需將等式或或不等式兩端端同乘（-11），則等式式右端項必大大于零。3）約束條件為為不等式。當當約束條件為為“”時，如如，可令，得，顯然。當約約束條件為“”時，如有有，可令，得，。和是新加上去去的變量，取取值均為非負負，加到原約約束條中去的的變量其目的的是使不等式式轉化為等式式，其中稱為為松弛變量，一般配稱為剩余變量，但也有稱松弛變量的。松弛變量或剩余變量在實際問題中分別表示未被充分利用的資源和超出的資源數(shù)，均未轉化為價值和利潤，所以引進

13、模型后它們在目標函數(shù)中的系數(shù)均為零。4）取值無約束束的變量是。如如果變量代表表某產(chǎn)品當年年計劃數(shù)與上上一年計劃數(shù)數(shù)之差，顯然然的以值可能能是正也可能能是負，這時時可令，其中中，將其代入入線性規(guī)劃模模型即可。5）對的情況，令令，顯然。22線性規(guī)劃劃模型的求解解221線性性規(guī)劃問題的的基與解 線性無關：對于于n維空間的的一組向量，若若數(shù)域F中有有一組不全為為0的數(shù)（），使 成成立，則稱這這組向量在FF上線性相關關。否則稱這這組向量在FF上線性無關關。秩：設A是mn矩陣。若若A的n個列列向量中有rr個線性無關關（），而所所有個數(shù)大于于r的列向量量組都線性相相關，則稱數(shù)數(shù)r為矩陣AA的列秩。類似可定久

14、矩陣陣A的行秩。矩矩陣A的列秩秩與行秩一定定相等，它也也稱為矩陣AA的秩?；阂阎狝是約約束條件的mmn系數(shù)矩陣陣，其秩為mm。若B是AA中mm非奇異子子矩陣（即可可逆矩陣，有有），則稱BB是線性規(guī)劃劃問題的一個個基，B是由由A中m個線線性無關的系系數(shù)列向量組組成的?；蛄浚築中一一列（共m個個）基變量非基向量：B外外（A中）一一列（共nm個）非基變量可行解：滿足、的解最優(yōu)解：滿足的可行解基本解：令所有有非基變量=0，求出的的滿足的解基本可行解：滿滿足的基本解最優(yōu)基本可行解解：滿足的基本可行行解基本解退化的基本解：有基變量=0的基本解解退化的基本可行行解退化的最優(yōu)化基基本可行解222線性性規(guī)劃

15、的圖解解法適于求解二維問問題不必化為標準型型22111圖解法步驟驟例2： 1）由全部約束束條件作圖求求出可行域2）作出一條目目標函數(shù)的等等值線3）平移目標函函數(shù)等值線，作作圖得最優(yōu)點點，再算出最最優(yōu)值 圖1最優(yōu)點Q： ；最優(yōu)值ZZ： .22122從圖解法看看線性規(guī)劃問問題解的幾種種情況1）有唯一最優(yōu)優(yōu)解（一般情情況）2）有無窮多組組最優(yōu)解（平平行；最優(yōu)值值相同）對例2，修改為為：無可行解（可行行域空集）對例2，增加一一個約束條件件：無有限最優(yōu)解（無無界域；取決決于求還是？）對例2，去掉第第一個約束條條件線性規(guī)劃的可行行域為凸集，特特殊情況下為為無界域（有有有限個頂點點）或空集。線性規(guī)劃若有最最

16、優(yōu)解，一定定可在可行域域頂點上得到到。223單純純形法22311單純形法迭迭代原理1）確定初始基基可行解 當線性性規(guī)劃問題的的所有約束條條件均為號是，松弛弛變量對應的的系數(shù)矩陣即即為單位矩陣陣，以松弛變變量為基變量量可確定基可可行解。 對約束束條件含或號時，可可構造人工基基，人為產(chǎn)生生一個單位矩矩陣，用大法法或兩階段法法獲得初始基基可行解。2）最優(yōu)性檢驗驗與解的判別別（目標函數(shù)數(shù)極大型） 當所有有變量對應的的檢驗數(shù)均非非正時，現(xiàn)有有的基可行解解即為最優(yōu)解解。若存在某某個非基變量量的檢驗數(shù)為為零時，線性性規(guī)劃問題有有無窮多最優(yōu)優(yōu)解；當所有有非基變量的的檢驗數(shù)均嚴嚴格小于零時時，線性規(guī)劃劃問題具有

17、唯唯一最優(yōu)解。 若存在在某個非基變變量的檢驗數(shù)數(shù)大于零，而而該非基變量量對應的系數(shù)數(shù)均非正，則則該線性規(guī)劃劃問題具有無無界解（無最最優(yōu)解）。 當存在在某些非變量量的檢驗數(shù)大大于零，需要要找個一個新新的基可行解解，即要進行行基變換。22322單純形法迭迭代步驟1）求出初始可可行解，列出出初始單純形形表。 設為為基變量，為非基變量量基100001002）計算檢驗數(shù)數(shù)進行最優(yōu)性性檢驗。 若已獲得最優(yōu)解解（或確定無無最優(yōu)解），則則停止；否則則進行下一步步。3）換基。根據(jù)的原則，確確定為換入變變量，計算（），按規(guī)則則，確定為換出出變量。4）通過初等行行變換將系數(shù)數(shù)矩陣中變量量對應列變換換為第個元素素為1

18、的單位位列向量，用用代為新的基變變量，列出新新的單純形表表，回到第二二步驟。例3：用單純形形法求解線性性規(guī)劃問題 解 先將上述問問題化成標準準形式有 其約束條件系數(shù)數(shù)矩陣的增廣廣矩陣為 是單位矩陣，構構成一個基，對對應變量是基基變量。令非非基變量等于于零，即找到到一個初始基基可行解以此列出初始單單純形表記作作表2如下：表221000基0150510002462010051100121000因表中有大于零零的檢驗數(shù)，故故表中基可行行解不是最優(yōu)優(yōu)解。因，故故確定為換入入變量。將列列除以的同行行數(shù)字得，由由此6為主元元素，作為標標志對主元素素6加上方括括號 ，主主元素所在行行基變量為換換出量。用替替

19、換基變量，得得到一個新的的基，按上述述單純形法計計算步驟第三三步，可以找找到新的基可可行解，并列列出新的單純純形表，記作作表3如下：表321000基015051002412/601/600104/60-1/6101/30-1/30由于上表中還存存在大于零的的檢驗數(shù)，故故重復上述步步驟得下表，記記作表4：表421000基015/20015/4-15/227/21001/4-1/213/2010-1/43/2000-1/4-1/2上表中所有，且且基變量中不不含人工變量量，故表中的的基可行解為為最優(yōu)解，代代入目標函數(shù)數(shù)得。223對偶偶單純形法22311單純形法計計算的矩陣描描述對稱形式線性規(guī)規(guī)劃問題

20、的矩陣表達式加加上松弛變量量后為： (1)上式中為松弛變變量，為單位矩陣。單純形法計算時時，總選取為為初始基，對對應基變量為為。設迭代若若干步后，基基變量為，在初始單純純形表中的系系數(shù)矩陣為。將將在初始單純純形表中單獨獨列出，而中中去掉后的若若干列后剩下下的列組成矩矩陣，這樣(1)的初始單單純形表可列列成如表5的形式。 表5項目非基變量基變量00當?shù)舾刹剑兞繛闀r，則則該步的單純純形表中由系系數(shù)組成的矩矩陣為。又因因單純形法的的迭代是對約約束增廣矩陣陣進行的行的的初等變換，對對應的系數(shù)矩矩陣在新表中中應為。故當當基變量為時時，新的單純純形表具有表表6形式。 表6項目基變量非基變量10從

21、表5和表6看看出，當?shù)蠡兞繛闉闀r，其在初初始單純形表表中的系數(shù)矩矩陣為，則有有：1）對應初始單單純形表中的的單位矩陣，迭迭代后的單純純形表中為； 2）初始單純形形表中基變量量,，迭代后后的表中；3）初始單純形形表中約束系系數(shù)矩陣為，迭代后后的表中約束束系數(shù)矩陣為為，。4）若初始矩陣陣中變量的系系數(shù)向量為迭迭代后為，則則有 （22）5）當為最優(yōu)解解時，在表66中應有 （33） （4） 因的檢驗數(shù)可可寫為 （55） 故(3)(5)式可重寫寫為 （66） （7）稱為單純乘子，若若令 則（66）、（7）式可改寫為 （88） 時若數(shù)對一將入的值 出題時偶行者的值22322對偶問題的的基本性質(zhì) 1

22、）弱對偶性。如如果是原問題題的可行解，是其對偶問題的可行解，則恒有 由弱對偶性，可可得出以下推推論： 原問問題任一可行行解的目標函函數(shù)值是其對對偶問題目標標函數(shù)值的下下界；反之對對偶問題任一一可行解的目目標函數(shù)值是是其原問題目目標函數(shù)值的的上界。 如原原問題有可行行解且目標函函數(shù)值無界(具有無界解解)，則其對對偶問題無可可行解；反之之對偶問題有有可行解且目目標函數(shù)值無無界，則其原原問題無可行行解(注意：本點性質(zhì)的的逆不成立，當當對偶問題無無可行解時，其其原問題或具具有無界解或或無可行解，反反之亦然)。 若原原問題有可行行解而其對偶偶問題無可行行解，則原問問題目標函數(shù)數(shù)值無界；反反之對偶問題題有

23、可行解而而其原問題無無可行解，則則對偶問題的的目標函數(shù)值值無界。2）最優(yōu)性。如如果是原問題題的可行解, 是其對偶偶問題的可行行解，且有 則是原問題的最最優(yōu)解，是對對偶問題的最最優(yōu)解。3）強對偶性(或稱對偶定定理)。若原原問題及其對對偶問題均具具有可行解，則則兩者均具有有最優(yōu)解，且且它們最優(yōu)解解的目標函數(shù)數(shù)值相等。4）互補松弛性性。在線性規(guī)規(guī)劃問題的最最優(yōu)解中，如如果對應某一一約束條件的的對偶變量值值為非零，則則該約束條件件取嚴格等式式；反之如果果約束條件取取嚴格不等式式，則其對應應的對偶變量量一定為零。也也即 若，則則有， 即， 若，即即，則有， 因此一一定有。將互補松弛性質(zhì)質(zhì)應用于其對對偶問

24、題時可可以這樣敘述述：如果有，則；如果有, 則。22333對偶單純形形法的基本思思路 求解線線性規(guī)劃的單單純形法的思思路是：對原原問題的一個個基可行解，判判別是否所有有檢驗數(shù)。若若是，又基變變量中無非零零人工變量，即即找到了問題題最優(yōu)解；若若為否，再找找出相鄰的目目標函數(shù)值更更大的基可行行解，并繼續(xù)續(xù)判別，只要要最優(yōu)解存在在，就一直循循環(huán)進行到找找出最優(yōu)解為為止。根據(jù)對偶問題的的性質(zhì)，因為為，當，即有或，也即其對對偶問題的解解為可行解，由由此原問題和和對偶問題均均為最優(yōu)解。反反之，如果存存在一個對偶偶問題的可行行基，即對，有或，這時只要要有，即原問問題的解也為為可行解，即即兩者均為最最優(yōu)解。否

25、則則保持對偶問問題為可行解解，找出原問問題的相鄰基基本解，判別別是否有，循循環(huán)進行，一一直使原問題題也為可行解解，從而兩者者均為最優(yōu)解解。對偶單純形法的的基本思路：先找出一個個對偶問題的的可行基，并并保持對偶問問題為可行解解條件下，如如不存在，通通過變換到一一個相鄰的目目標函數(shù)值較較小的基本解解(因對偶問問題是求目標標函數(shù)極小化化)，并循環(huán)環(huán)進行，一直直到原問題也也為可行解(即)，這時時對偶問題與與原問題均為為可行解。22344對偶單純形形法的計算步步驟設某標準形式的的線性規(guī)劃問問題 （10） 存在一個對對偶問題的可可行基，不妨妨設，列出單單純形表（見表7）。 表7基100010001000

26、表表7中必須有有，的值不要求求為正。當對對，有時，即表中中原問題和對對偶問題均為為最優(yōu)解。否否則，通過變變換一個基變變量，找出原原問題的一個個目標函數(shù)值值較小的相鄰鄰基本解。1）確定換出基基的變量因為總存在00的，令，其對應應變量為換出出基的變量。2）確定換入基基的變量為了使下一個個表中第行基基變量為正值值，因而只有有對應的非基基變量才可以以考慮作為換換入基的變量量。為了使下一個個表中對偶問問題的解仍為為可行解，令令 （111）稱為主元素，為為換入基的變變量。設下一個表中的的檢驗數(shù)為，由由式 （112）分兩種情況說明明滿足（111）式來選取取主元素時，式式（12）中（對）。（a）對 ，因因 故

27、 ，又又因主元素，故故，由此式（122）方括弧內(nèi)內(nèi)的值0，故有。（b）對，因，故故有。 3）用換入變量量替換換出變變量，得到一一個新的基。對對新的基再檢檢查是否所有有。如是，找找到了兩者的的最優(yōu)解，如如為否，回到到第1步再循環(huán)進進行。因為由對偶問題題的基本性質(zhì)質(zhì)知，當對偶偶問題有可行行解時，原問問題可能有可可行解，也可可能無可行解解。對出現(xiàn)后后一種情況的的判斷準則是是：對，而對對所有有。因為這種種情況，若把把表中第行的的約束方程列列出有 （113）因，又，故不可可能存在的解解。故原問題題無可行解，這這時對偶問題題的目標函數(shù)數(shù)值無界。第三章線性規(guī)劃劃中靈敏度分分析31含義和研研究對象311什么么

28、是靈敏度分分析？是指研究線性規(guī)規(guī)劃模型的某某些參數(shù)（）或或限制量（，約約束條件）的的變化對最優(yōu)優(yōu)解的影響及及其程度的分分析過程也也稱為優(yōu)化后后分析。 312靈敏敏度分析的研研究對象目標函數(shù)的系數(shù)數(shù)變化對最優(yōu)優(yōu)解的影響；約束方程右端系系數(shù)變化對最最優(yōu)解的影響響；約束方程組系數(shù)數(shù)矩陣變化對對最優(yōu)解的影影響；綜合體現(xiàn)在兩個個問題上：這些系數(shù)在什么么范圍內(nèi)發(fā)生生變化時，最最優(yōu)解不變？系數(shù)變化超出上上述范圍，如如何用最簡便便的方法求出出新的最優(yōu)解解？32進行靈敏敏度分析的基基本原則 在最終單純純形表的基礎礎上進行。 盡量減少附附加的計算工工作量。33靈敏度分分析的步驟1）將參數(shù)的改改變通過計算算反映到最

29、終終單純形表上上來；2）檢查是否仍仍為原問題的的可行解；3）檢查是否仍仍為對偶問題題的可行解；4）依據(jù)表8所所列情況決定定繼續(xù)計算或或得到結論。表8原問題對偶問題結論或繼續(xù)計算算的步驟可行解可行解問題的最優(yōu)解或或最優(yōu)基不變變可行解非可行解用單純形法繼續(xù)續(xù)迭代求最優(yōu)優(yōu)解 非可行解可行解用對偶單純形法法繼續(xù)迭代求求最優(yōu)解 非可行解非可行解引進人工變量，編編制新的單純純形表重新計計算34靈敏度分分析的主要內(nèi)內(nèi)容341分析析的變化線性規(guī)劃目標函函數(shù)中變量系系數(shù)的變化僅僅僅影響到檢檢驗數(shù)的變化化.所以將的的變化直接反反映到最終單單純形表中,只可能出現(xiàn)現(xiàn)如表8中的前兩種種情況.下面舉例說明。例3 在例11

30、的美佳公司司例子中，（11）若加電的利潤降至至1.5元/件，而家電電的利潤增至至2元/件時時，美佳公司司最優(yōu)生產(chǎn)計計劃有何變化化；（2）若若加電的利潤不變變，則加電的利潤在什么么范圍內(nèi)變化化時，則該公公司的最優(yōu)生生產(chǎn)計劃將不不發(fā)生變化。 解 （1）將將家電，的利潤變化化直接反映到到最終單純形形表（表4）中得表9。 表91.52000基015/200 15/4-15/21.57/21001/4-1/223/2010-1/43/20001/8-9/4因變量的檢驗數(shù)數(shù)大于零，故故需繼續(xù)用單單純形法迭代代計算得表110。表10基0600 4/51-61.5210-1/50123011/50000-1/

31、100-3/2即美佳公司隨加加電，的利潤變化化應調(diào)整為生生產(chǎn)2件，3件。 （2）設設家電的利潤為（）元元，反映到最最終單純形表表中，得表111。表11項 目2000基015/200 15/4-15/227/21001/4-1/23/2010-1/43/2000為使表11中的的解仍為最優(yōu)優(yōu)解，應有 , 解得 即加電的利潤潤的變化范圍圍應滿足 342分析析的變化右端項的變化在在實際問題中中反映為可用用資源數(shù)量的的變化。由式式看出變化反映映到最終單純純形表上將引引起列數(shù)字的的變化，在表表8中可能出現(xiàn)現(xiàn)第一或第三三的兩種情況況。出現(xiàn)第一一種情況時，問問題的最優(yōu)基基不變，變化化后的列值為為最優(yōu)解。出出現(xiàn)

32、第三種情情況時，用對對偶單純形法法迭代繼續(xù)找找出最優(yōu)解。例4 述的(備序力設能3分優(yōu)化若能則能范時最因 終中21000基035/200 15/4-15/2211/21001/4-1/21-1/2010-1/43/2000-1/4-1/2因表12中原問問題為非可行行解，故用對對偶單純形法法繼續(xù)計算得得表13。 表1321000基01505 1002511001020-401-60-100-2由此美佳公司的的最優(yōu)計劃改改為只生產(chǎn)加加電5件。（2）設調(diào)試工工序每天可用用能力為（）小時，因有有終中字 當時問題的最優(yōu)優(yōu)基不變，解解得。由此調(diào)調(diào)試工序的能能力應在4小小時6小時時之間。343增加加一個變量的

33、的分析增加一個變量在在實際問題中中反映為增加加一種新的產(chǎn)產(chǎn)品。其分析析步驟為：1）計算2）計算3）若，原最優(yōu)優(yōu)解不變，只只需將計算得得到的和直接寫入最最終單純形表表中；若，則則按單純形法法繼續(xù)迭代計計算找出最優(yōu)優(yōu)。例5 在美佳佳公司例子中中，設該公司司又計劃推出出新型號的家家電，生產(chǎn)一件件所需設備、及調(diào)試工序序的時間分別別為3小時、44小時、2小小時，該產(chǎn)品品的預期盈利利為3元件件，試分析該該種產(chǎn)品是否否值得投產(chǎn)；如投產(chǎn)，對對該公司的最最優(yōu)生產(chǎn)計劃劃有何變化。解 設該公司生生產(chǎn)家電件，有，。 將其反映到最終終單純形表（表表4）中得表144。表14210 003 基015/20015/4-15/

34、2-727/21001/4-1/2013/2010-1/43/22000-1/4-1/21因 ，故用單單純形表繼續(xù)續(xù)迭代計算得得表15。表15210 003 基b051/407/213/8-9/4027/21001/4-1/2033/401/20-1/83/410-1/20-1/8-5/40由表15，美佳佳公司新的最最優(yōu)生產(chǎn)計劃劃應為每天生生產(chǎn)件家電II，件家電。344分析析參數(shù)的變化化的變化使線性規(guī)規(guī)劃的約束系系數(shù)矩陣發(fā)生生變化。若變變量在最終單單純形表中為為非基變量，其其約束條件中中系數(shù)的變化化分析步驟可可參照本節(jié)之之三，若變量量在最終單純純形表中為基基變量，則的的變化將使相相應的和發(fā)生變

35、化，因因此有可能出出現(xiàn)原問題和和對偶問題均均為非可行解解的情況。出出現(xiàn)這種情況況時，需引進進人工變量將將原問題的解解轉化為可行行解，再用單單純形法求解解，下面舉例例說明。例6 在美佳佳公司的例子子中，若家電電每件需設備備，和調(diào)試工時時變?yōu)?小時時、4小時、11小時，該產(chǎn)產(chǎn)品的利潤變變?yōu)?元件件，試重新確確定該公司最最優(yōu)生產(chǎn)計劃劃。解 先將生產(chǎn)產(chǎn)工時變化后后的新家電看作是一種種新產(chǎn)品，生生產(chǎn)量為，仿仿本節(jié)三的步步驟直接計算算和并反映到最最終單純形表表中。其中： 將其反映到最終終單純形表(表4)中得表16。 表16213 000 基015/20011/215/4-15/227/2101/20 1/

36、4-1/213/2011/20-1/43/2003/20-1/4-1/2因已變換為，故故用單純形法法將替換出基基變量中的，并并在下一個表表中不再保留留，得表17。表1723000基0-900 14-24221001/2-233010-1/230001/2-5表17中原問題題與對偶問題題均為非可行行解，故先設設法使原問題題變?yōu)榭尚薪饨?。?7第1行的的約束可寫為為 （14）式（14）兩端端乘以（-11），再加上上人工變量得得 （15）將式（15）替替換表17的第l行得得表18。表 1823000基900-1 -4241221001/2-2033010-1/230000因對偶問題為非非可行解，用用

37、單純形法計計算得表19。表 1923000基03/800-1/24 -1/611/24211/410-1/121/601/12315/8011/800-1/800-5/24-1/30由表19知，美美佳公司的最最優(yōu)生產(chǎn)計劃劃為每天生產(chǎn)產(chǎn)件家電，件新家電。345增加加一個約束條條件的分析增加一個約束條條件在實際問問題中相當增增添一道工序序。分析的方方法是先將原原問題最優(yōu)解解的變量值代代入新增的約約束條件，如如滿足，說明明新增的約束束未起到限制制作用，原最最優(yōu)解不變。否否則，將新增增的約束直接接反映到最終終單純形表中中再進一步分分析。 例7 仍以美佳佳公司為例，設設家電，經(jīng)調(diào)試后，還還需經(jīng)過一道道環(huán)

38、境試驗工工序。家電每件須環(huán)境境試驗3小時時，家電每件2小時時，又環(huán)境試試驗工序每天天生產(chǎn)能力為為12小時.試分析增加加該工序后的的美佳公司最最優(yōu)生產(chǎn)計劃劃。 解 先將原問題題的最優(yōu)解, 代入環(huán)境試試驗工序的約約束條件。因因，故原問題題最優(yōu)解不是是本例的最優(yōu)優(yōu)解。 在試驗驗工序的約束束條件中加松松弛變量得 （166） 以為基基變量，將式式(16)反映到到最終單純形形表(表4)中得表200。表20210 000基015/20015/4-15/20 27/21001/4-1/2013/2010-1/43/20012320001000-1/4-1/20上表中、列不是是單位向量，故故需進行變換換，得表2

39、11。表21中第，行同原表第第行，表表中第行由以下初初等變換得到到=32。 表 21210 000基015/20015/4-15/20 27/21001/4-1/2013/2010-1/43/200-3/2000-1/4-3/21000-1/4-1/20因表21中對偶偶問題為可行行解，原問題題為非可行解解，故用對偶偶單純形法迭迭代計算得表表22表22210 000 基015 0015/20-5 241001/30-1/310010-1/201010001/61-2/3000-1/60-1/3由表22知，添添加環(huán)境試驗驗工序后，美美佳公司的最最優(yōu)生產(chǎn)計劃劃為只生產(chǎn)44件家電。35靈敏度分分析的應

40、用1）投入產(chǎn)出法法中靈敏度分分析 可可以用來研究究采取某一項項重大經(jīng)濟政政策后將會對對國民經(jīng)濟的的各個部門產(chǎn)產(chǎn)生怎樣的影影響。例如，美美國政府曾經(jīng)經(jīng)利用投入產(chǎn)產(chǎn)出表研究了了提高職工工工資10對對國民經(jīng)濟各各部門商品價價格的影響。研研究的結果表表明，在職工工工資增加110時，建建筑業(yè)產(chǎn)品的的價格將上漲漲7，農(nóng)產(chǎn)產(chǎn)品的價格將將上漲1.33，其余各各部門產(chǎn)品價價格將上漲11.37不等,生活活費用將上升升3.8，職職工的實際得得益為6.22。2）方案評價中中靈敏度分析析 可以用來來確定評價條條件發(fā)生變化化時備選方案案的價值是否否會發(fā)生變化化或變化多少少。例如，在在利用評價表表進行評價時時，需要確定定每

41、一個分目目標的權重系系數(shù)和各分目目標的評分數(shù)數(shù)。這中間或或多或少地會會存在當事人人的主觀意識識，不同的人人可能會有截截然不同的價價值觀念。因因此就必須考考慮當分配的的權重系數(shù)或或評分數(shù)在某某一個范圍內(nèi)內(nèi)變化時，評評價的結果將將會產(chǎn)生怎樣樣的變化。3）定貨批量的的靈敏度分析析 在分析析整批間隔進進貨模型中，經(jīng)經(jīng)濟訂貨批量量可用下式計計算： 式中為單位時間間需求量，為為每次訂貨的的固定費用，為單位時間內(nèi)每單位物資的保管費。它們一般都是根據(jù)統(tǒng)計資料估算的，與實際情況有所出入，需要進行靈敏度分析。用，和分別表示實際的需求量、訂貨量、保管費和調(diào)整后的經(jīng)濟訂貨批量。，,和分別代表需求量、訂貨量、保管費和經(jīng)

42、濟訂貨批量的相對變化值，即： 通過計算后可得得 代入具體的數(shù)值值后便可用上上式說明, 和對訂貨批量的的綜合影響程程度。第四章利用線性性規(guī)劃建立企企業(yè)利潤最大大化數(shù)學模型型企業(yè)管理是一種種典型的復雜雜系統(tǒng)，利用用模型描述這這類系統(tǒng)是一一件非常困難難的工作，為為此建模和求求解過程中對對研究對象做做出一些簡化化是非常必要要的，這也各各類線性模型型受到重視和和廣泛應用的的原因之一，盡盡管經(jīng)濟系統(tǒng)統(tǒng)是非常復雜雜的，但應用用線性模型仍仍然能夠描述述和解決大量量的實際問題題。本章就企企業(yè)經(jīng)營管理理中的目標利潤最大大化和目標成本最小小化問題數(shù)學學模型的構造造作了介紹，并并舉出一些相相應的例子闡闡述這一問題題。

43、41企業(yè)利潤潤最大化原則則廠商從事生產(chǎn)或或出售商品的的目的是為了了賺取利潤。如如果總收益大大于 HYPERLINK /view/173009.htm 總成本，就會會有剩余，這這個剩余就是是利潤。值得得注意的是，這這里講的利潤潤，不包括正正常利潤，正正常利潤包括括在總成本中中，這里講的的利潤是指超超額利潤。如如果總收益等等于總成本，廠廠商不虧不賺賺，只獲得正正常利潤，如如果總收益小小于總成本，廠廠商便要發(fā)生生虧損。廠商從事生產(chǎn)或或出售商品不不僅要求獲取取利潤，而且且要求獲取最最大利潤，廠廠商 HYPERLINK /view/1291466.htm 利潤最大大化原則就是是產(chǎn)量的 HYPERLINK

44、 /view/351293.htm 邊際際收益等于邊邊際成本的原原則。邊際收收益是最后增增加一單位銷銷售量所增加加的收益，邊邊際成本是最最后增加一單單位產(chǎn)量所增增加的成本。如如果最后增加加一單位產(chǎn)量量的邊際收益益大于邊際成成本，就意味味著增加產(chǎn)量量可以增加總總利潤，于是是廠商會繼續(xù)續(xù)增加產(chǎn)量，以以實現(xiàn)最大利利潤目標。如如果最后增加加一單位產(chǎn)量量的邊際收益益小于邊際成成本，那就意意味著增加產(chǎn)產(chǎn)量不僅不能能增加利潤，反反而會發(fā)生虧虧損，這時廠廠商為了實現(xiàn)現(xiàn)最大利潤目目標，就不會會增加產(chǎn)量而而會減少產(chǎn)量量。只有在邊邊際收益等于于邊際成本時時，廠商的總總利潤才能達達到極大值。所所以成為利潤潤極大化的條

45、條件，這一利利潤極大化條條件適用于所所有類型的市市場結構。42利潤最大大化模型421問題題提出：某工廠用甲，乙乙兩種原料生生產(chǎn)A，B，CC，D四種產(chǎn)產(chǎn)品，每種產(chǎn)產(chǎn)品的利潤現(xiàn)現(xiàn)有原料數(shù)量量及每種產(chǎn)品品消耗原料的的定額如下表表：每萬件產(chǎn)品所用用原料（KGG）ABCD現(xiàn)有原料（KGG）甲3210418乙0020.53每件產(chǎn)品利潤985019問應怎樣組織生生產(chǎn)才能使總總利潤最大？如果產(chǎn)品AA的價格有波波動問波動應應限制在什么么范圍內(nèi)，才才能使原最優(yōu)優(yōu)解不變？422問題題分析：這個問題的目標標是在滿足條條件的情況下下，使得工廠廠就生產(chǎn)出的的產(chǎn)品獲得的的總利潤最大大，所要做的的決策是組織織生產(chǎn)的方案案，即

46、工廠分分別要生產(chǎn)多多少數(shù)量的AA，B，C，DD四種產(chǎn)品。決決策主要受到到2個條件的的限制：原料料甲的數(shù)量、原原料乙的數(shù)量量。423模型型建立：42311決策變量組織生產(chǎn)A、BB、C、D四四種產(chǎn)品的數(shù)數(shù)量分別記作作（單位萬件件）42322目標函數(shù)記工廠就生產(chǎn)出出的產(chǎn)品獲得得的總利潤為為,產(chǎn)品A、BB、C、D每每件利潤分別別是9元、88元、50元元、19元，故故。42333約束條件生產(chǎn)四種產(chǎn)品所所消耗的原料料甲不超過現(xiàn)現(xiàn)量18KGG，即。生產(chǎn)四種產(chǎn)品所所消耗的原料料乙不超過現(xiàn)現(xiàn)量3KG，即即。當然還有非負實實數(shù)約束，為為非負實數(shù)。綜上可得：為非負實數(shù)。這就是該問題的的基本模型，由由于目標函數(shù)數(shù)和約

47、束條件件均為線性且且決策變量是是連續(xù)的非負負實數(shù)，所以以這是一個純純線性規(guī)劃模模型（LP）。424模型型求解原問題一般形式式 轉化為標準形： 利用單純形法可可得其最優(yōu)解解基對應單純純形表如下98501900基19224/3012/3-10/3501-1/2-1/310-1/64/3-4-2/300-13/3-10/3從上表我們得出出最優(yōu)解是生生產(chǎn)1萬件產(chǎn)產(chǎn)品C，生產(chǎn)產(chǎn)2萬件產(chǎn)品品D，不生產(chǎn)產(chǎn)A，B兩種種產(chǎn)品問可得得最大總利潤潤為88萬元元。討論：1）現(xiàn)假設上題題的工廠要引引進新產(chǎn)品EE，已知生產(chǎn)產(chǎn)E產(chǎn)品1萬萬件要消耗材材料甲3KGG，材料乙1KKG，問E的的利潤應為多多少時，投入入才有利？解：

48、設生產(chǎn)E產(chǎn)產(chǎn)品萬件，11萬件產(chǎn)品EE的利潤是萬萬元。則原問題的數(shù)學學模型變?yōu)椋?標準化后變?yōu)?因為是原題標準準型的一個最最優(yōu)解，那么么是這個新問問題的一個可可行解。 當時，即即也就是時，EE的投入才有有利。.下面討論該變化化的最優(yōu)解。假設，則得到對應的單純純形表如下：9850190017基19224/3012/3-10/3-4/3501-1/2-1/310-1/64/35/6-4-2/300-13/3-10/32/3上表中，所以不不是最優(yōu)解。應應用單純形法法進行換基迭迭代得新基對對應的單純形形表如下：9850190017基1918/56/54/58/512/5-6/50176/5-3/5-2/

49、56/50-1/58/51-18/5-2/5-4/50-21/5-22/50則最優(yōu)解為對應的目標函數(shù)數(shù)值為即當每萬件新產(chǎn)產(chǎn)品E的利潤潤為17萬元元時，應生產(chǎn)產(chǎn)品18/55萬件產(chǎn)品DD，6/5萬萬件產(chǎn)品E，不不生產(chǎn)A，BB，C，這時時可得最大總總利潤萬元，比比原最優(yōu)方案案增加利潤44/5萬元。2）如果原問題題中產(chǎn)品的利利潤發(fā)生改變變，即模型目目標函數(shù)中變變量系數(shù)變化化時，又會給給最優(yōu)解造成成怎么樣的影影響。由原題的最優(yōu)解解知： 現(xiàn)假設目標函數(shù)數(shù)中有改變，令令則對應的單純形表表：8501900基19224/3012/3-10/3501-1/2-1/310-1/64/3-2/300-13/3-10/

50、3如果要原最優(yōu)解解不變，根據(jù)據(jù)最優(yōu)判別準準則，應有即又于是即當時，原問題題的最優(yōu)解仍仍然是新問題題的最優(yōu)解，最最大總利潤仍仍為88萬元元。 當每萬件件產(chǎn)品A的利利潤超過133萬元，即時時，則，原優(yōu)優(yōu)解已不是最最優(yōu)的，用單單純形法進行行換基迭代，可可得新基對應應的單純形表表如下表：8501900基112/301/21/3-5/3503/20011/401/200如果使為最優(yōu)基基，應有 得 即當時時最優(yōu)解變是對應的目標函數(shù)數(shù)值為： 即因此，每萬件產(chǎn)產(chǎn)品A的價格格在13-115萬之間變變化時，原最最優(yōu)生產(chǎn)方案案應改變?yōu)樯a(chǎn)1萬件產(chǎn)產(chǎn)品A，生產(chǎn)產(chǎn)1.5萬件件產(chǎn)品C，這這時最大總利利潤在88-90萬元

51、之之間。3）我們再來探探討原料限制制發(fā)生改變的的情況，例如如：假設有變變動時，令。由由于得改變與與最優(yōu)判別準準則無關，只只影響最優(yōu)基基B，對應的的單純形表中中是否非負。如如果非負，那那么B仍為最最優(yōu)基。因此，當變動時時，如果原來來的所得的基基仍為最優(yōu)基基，應有。此時：解方程組 則時，原來的基基仍為最優(yōu)基基，但是最優(yōu)優(yōu)解和目標函函數(shù)最優(yōu)解都都是的函數(shù)。此此時，最優(yōu)方方案為生產(chǎn)萬萬件D，萬件件C，可得最最大總利潤萬元（或）時，由對偶單純形法法得到對應單單純形表：98501900基19600410283/21-301/2-4-30-20-4-6要使成為新的最最優(yōu)基，應有有： ，即即或時新得到的基變?yōu)?/p>

52、為最優(yōu)基：對應的目標函數(shù)數(shù)值為：例如：材料甲的的限用量為550KG（即即）時，材料料乙的限用量量不變時，就就應該生產(chǎn)113萬件產(chǎn)品品B，6萬件件產(chǎn)品D，這這時最大額利利潤為2188萬元。當時時，上表表中，類似前前面分析。4）最后如果模模型又有新的的約束條件出出現(xiàn)時，現(xiàn)在在假設原題中中的這個工廠廠又增加用電電不能超過88KW的限制制，而生產(chǎn)AA，B，C，DD四種產(chǎn)品各各一萬件分別別需要用電44KW，3KKW，5KWW，2KW，問問是否需要改改變原來的最最優(yōu)方案。此時，原問題的的數(shù)學模型變變?yōu)椋合葘⒃瓎栴}的最最優(yōu)解代入用用電限制的約約束條件。因因，故原問題題最優(yōu)解不是是現(xiàn)在問題的的最優(yōu)解。標準化后

53、：對應的單純形表表：985019000基19224/3012/3-10/30501-1/2-1/310-1/64/30084352001-4-2/300-13/3-10/30經(jīng)過初等變換后后985019000基19224/3012/3-10/30501-1/2-1/310-1/64/300-15/2200-1/201-4-2/300-13/3-10/30因為表中對偶問問題為可行解解，原問題為為非可行解，所所以應用對偶偶單純形方法法，以為軸心心項進行換基基迭代得：985019000基192/316/34010-10/34/3504/3-4/3-11004/3-1/302-5-40010-2-77

54、/3-18000-10/3-26/3即添加新約束條條件之后，最最優(yōu)方案生產(chǎn)產(chǎn)產(chǎn)品D為萬萬件，生產(chǎn)產(chǎn)產(chǎn)品C為萬件件，可得總利利潤萬元。43成本最小小化模型431問題題提出結論與展望局限性；1線性規(guī)劃它它是以價格不不變和技術不不變?yōu)榍疤釛l條件的，不能能處理涉及到到時間因素的的問題。因此此，線性規(guī)劃劃只能以短期期計劃為基礎礎。2在生產(chǎn)活動動中，投入產(chǎn)產(chǎn)出的關系不不完全是線性性關系，由于于在一定的技技術條件下，報報酬遞減規(guī)律律起作用，所所以要滿足線線性假定是不不可能的。在在線性規(guī)劃解解題中，常常常把投入產(chǎn)出出的非線性關關系轉化為線線性關系來處處理，以滿足足線性的假定定性，客觀上上產(chǎn)生誤差。3線性規(guī)劃本

55、本身只是一組組方程式，并并不提供經(jīng)濟濟概念，它不不能夠代替人人們對現(xiàn)實經(jīng)經(jīng)濟問題的判判斷。致謝四年的時間轉瞬瞬即失，回顧顧自己大學的四年時間里，在在老師、同學學的熏陶和幫幫助下，無論論是為人處事事，還是學習習方面，都有有著更加成熟熟的思維。最最為重要的是是，在他們的的影響下，我我樹立了終生生學習的思想想。在此，我我向他們表示示由衷的謝意意。首先我要感謝我我的導師何廣老師。何老師就是一一名對學術很很執(zhí)著、有著著良好科學素素養(yǎng)的優(yōu)秀學學者和老師。他不僅有著淵淵博的學識，更更有著博大的的胸懷。他嚴嚴謹?shù)闹螌W態(tài)態(tài)度，高尚的的敬業(yè)精神，以以及平易近人人，誨人不倦倦的品格使我我終生受益，籍籍此論文完成成之

56、際，謹向向辛勤培育我我的老師致以以最誠摯的感感謝。同時感謝陪我一一路走來的朋朋友、同學，他他們在學習和和生活上給了了我很大的幫幫助，和他們們愉快的度過過了大學四年年的歲月，是是我人生的一一大財富，我我會好好珍惜惜。最后，我我要感謝我的的父母，沒有有他們就沒有有現(xiàn)在的我。他他們二十多年年來一直默默默地關愛和支支持著我，讓讓我安心學習習，是他們給給了我所擁有有的一切。作者:年 月 日日參考文獻1 張干宗宗. 線性規(guī)劃MM. 武漢:武漢大學出版版社,20042 王景琰琰，李桂榮.經(jīng)濟應用數(shù)數(shù)學 線性代代數(shù)與線性規(guī)規(guī)劃M. 延吉:延邊大學出版版社,19983 解心江江. 線性規(guī)規(guī)劃模型減少少約束時的靈靈敏度分析J. 農(nóng)農(nóng)業(yè)系統(tǒng)科學學與綜合研究究, 20002.18(3):1778-17994 楊玉英英. 線性規(guī)規(guī)劃問題的